5-1概率论

常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 T 分布（一）均匀分布 ξ～U(a,b)▪ 实际背景：随机变量 X 仅在一个有限区间（a,b ）上取值；随机变量 X 在其内取值具有“等可能”性，则 ξ～U(a,b)。

“等可能”表现在： 若a ≤c<c+l ≤b ，则P{c<ξ<c+l } 与位置无关，只与长度有关设ξ具有概率密度：则称ξ在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为ξ ~U(a,b)。

例1：设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900Ώ~1100Ώ，求R 的概率密度及R 落在 950Ώ~1050Ώ的概率。

解：按题意，R 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=].,[,0];,[,1)(b a x b a x a b x p ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=.,1;,;,0)(b x b x a a b a x a x x F ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0110090090011001)(x x p 5.02001}1050950{1050950==<<⎰dr R P例2 ξ ~ U (2, 5). 现在对 ξ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = { ξ > 3 },则 P (A ) = P ( ξ> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y ~ B (3, 2/3)，所求概率为P (Y ≥2) =P (Y =2)+P (Y =3)=20/27（二）正态分布(normal distribution )记为ξ ~ N (μ, σ2),其中σ >0， μ 是任意实数.➢ μ 是位置参数➢ σ 是尺度参数.正态分布的性质(1) p (x ) 关于μ 是对称的. 在μ 点 p (x ) 取得最大值.(2) 若σ 固定, μ 改变, p (x )左右移动, 形状保持不变.(3) 若μ 固定, σ 改变,σ 越大曲线越平坦; σ 越小曲线越陡峭标准正态分布N (0, 1)密度函数记为 ϕ(x ),分布函数记为 Φ(x ).Φ(x ) 的计算(1) x ≥ 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用 若 ξ ~ N (0, 1), 则(1) P (ξ < a ) = Φ(a );(2) P (ξ≥a ) =1-Φ(a );(3) P (a ≤ξ<b ) = Φ(b )Φ-(a );(4) 若a ≥ 0, 则P (|ξ|<a ) = P (-a <ξ<a ) = Φ(a )Φ-(-a ) = Φ(a )- [1- Φ(a )] = 2Φ(a )-1230233*********C C =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(),22x p x x μσ⎧⎫-⎪⎪=--∞<<∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭R x dt e x F x t ∈=⎰∞---,21)(222)(σμσπ1(1) (0),2Φ=(2)()1()x x Φ-=-Φ()1().x x Φ=-Φ-例2.5.1 设 ξ ~ N (0, 1), 求P (ξ>-1.96) , P (|ξ|<1.96)解: P (ξ>-1.96)= 1- Φ(-1.96) = 1-(1- Φ(1.96)) = Φ(1.96)= 0.975 (查表得)P (|ξ|<1.96)= 2 Φ(1.96)-1= 2 ⨯0.975-1= 0.95例2.5.2 设 ξ ~ N (0, 1), P (ξ ≤ b ) = 0.9515, P (ξ ≤ a ) = 0.04947, 求 a , b . 解: Φ(b ) = 0.9515 >1/2,所以 b > 0,反查表得: Φ(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66而 Φ(a ) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0,Φ(-a ) = 0.9505, 反查表得:Φ(1.65) = 0.9505,故 a = - 1.65一般正态分布的标准化 结论1 设 ξ ~ N (μ, σ 2), 结论2:若 ξ ~ N (μ, σ 2), 则 若 ξ ~ N (μ, σ2), 则P (ξ<a ) = ， P (ξ>a ) = 例2.5.3 设ξ ~ N (10, 4), 求 P (10<ξ<13), P (|ξ-10|<2).解: P (10<ξ<13) = Φ(1.5)Φ-(0) = 0.9332 - 0.5= 0.4332P (|ξ -10|<2) = P (8<ξ<12)= 2Φ(1)-1= 0.6826例2.5.4 设 ξ ~ N (μ, σ 2), P (ξ ≤ -5) = 0.045,P (ξ ≤ 3) = 0.618, 求 μ 及 σ.解:μ = 1.76σμξη-=()x F x μσ-=Φ⎛⎫ ⎪⎝⎭a μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭1a μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭5 1.6930.3μσμσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩σ =4课堂练习(1)已知ξ~ N(3, 22), 且P{ξ>k} = P{ξ≤k}, 则k = ( ).课堂练习(2)设ξ~ N(μ, 42), η~ N(μ, 52), 记p1 = P{ξ≤μ-4}，p2 = P{η≥μ +5}, 则( )①对任意的μ，都有p1 = p2②对任意的μ，都有p1 < p2③只个别的μ，才有p1 = p2④对任意的μ，都有p1 > p2课堂练习(3)设ξ~ N(μ , σ2), 则随σ的增大，概率P{| ξ-μ | <σ} ( )①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定▪例假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的身高ξ(cm)服从正态分布，ξ~ N (170,36)，问车门高度至少应为多高?实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。

Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0

公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程

例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。