最新高考数学第一轮复习 导数概念和几何意义汇总

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念，凸显数学抽象的核心素养．2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数 称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． （三）导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． （四）特别提醒（3）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． （4）曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线可能有多条． （五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1) 211()'x x=-； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．【常考题型剖析】题型一：导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念例1.（2022·全国·高三专题练习（理））2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t ]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q 与时间t 的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在[t 1，t 2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； ②在[t 2，t 3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； ③在t 2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[t 2，t 3]的平均分出量最大． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】利用平均变化率的含义，即看这段时间内的变化量，由此判断①②④的正误；根据瞬时变化率的含义，判断出③的正误，可得答案. 【详解】①在1[t ，2]t 这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误． ②在2[t ，3]t 这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确． ③在2t 时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误． 故选：B ．例2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】 ()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③例3．（2008·北京·高考真题（理））如图，函数()f x 的图象是折线段()f x ，其中A B C，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =________ ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆_________．（用数字作答）【答案】 2 -2 【解析】 【详解】f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆－2.【规律方法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S (t )对时间的导数．题型二： 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则例4.（2018·天津·高考真题（文））已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：11()ln ln x x x f x e x e e x x x '⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， 则11(1)ln11f e e '⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即()'1f 的值为e ，故答案为e .例5．（2013·江西·高考真题（理））设函数f (x )在(0,＋∞)内可导，且f (ex )＝x ＋ex ，则()1f '＝__________．【解析】 【详解】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2．例6．（2020·全国·高考真题（文））设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值 【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.例7.（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.【答案】6 【解析】由3()2(1)3f x x f x '=+-，得2()32(1)f x x f ''=+，令1x =，得(1)32(1)f f ''=+，解得(1)3f '=-. 所以2()36f x x '=-. 所以(2)6f '=. 故答案为：6【点评】赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； （2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； （4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导． 2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三： 导数的几何意义--求曲线的切线方程例8．（2020·全国高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.例9．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1e y x = 1ey x =-【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-； 故答案为：1e y x =；1ey x =-例10．（2016·全国·高考真题（文））已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x = 【解析】 【详解】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =． 【总结提升】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．题型四：导数的几何意义--求切点坐标例11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例12．（2015·陕西·高考真题（理））设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____． 【答案】【解析】【详解】 设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 题型五：导数的几何意义--求参数的值(范围)例13．（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.例14．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．例15．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a或0a >, ∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞, 故答案为：()(),40,-∞-+∞【规律方法】 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．题型六：两曲线的公切线问题例16.（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则= 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.例17．（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．【答案】1ln2-【解析】【详解】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f x g x x x --. 题型七：导数几何意义相关的应用问题例18．（2013·全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像. 由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-.故选：D例19．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 【答案】0,1【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0x x x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩， 所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x x AM BN k e k e =-=, 所以12121,0x x e e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x x e e x x e AM e y M x -+=---+， 所以1x AM ，同理2B x N ,所以()10,1x e N AMB ===∈. 故答案为：0,1例20.（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【点睛】 本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.【规律方法】求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围．(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．。

诊断练习
• 1． 对于函数 3 h 3 近于0时， h 3 f '(3) = 6 ．
f ( x) x
，当h无限趋 3 无限趋近 6 ，
• 2．如图，函数 y f ( x)的图象在点P处的切
线方程是
，则 y x 8
= f (5) f ． 2 2t 2运动（s，t分
2 x 1 处的瞬时变化率为________
) • 2．已知P（2，4）， Q (2 x, 4 y是曲
线 C： C的割线 y 上的两点，那么曲线 x
2
y PQ的斜率 =________ ，曲线 C在P点处 4 x x 的切线的斜率为 ________ 4
f '(2) 4
积 S 2a 1 ，求a的值。
2
a=1
解题反思
• 1、利用导数的定义求函数的导函数的解 题步骤是什么？ • 2、利用导数的物理意义求变化率；
• 3、利用导数的几何意义求切线的斜率 。
别为位移和时间），则在时间段 质点运动的平均速度为 的瞬时速度为 ． 2
[2, 2 t ] 内，
2 ，在 t t=2时
2 y x x 2 上点（1，4）处的 • 4．抛物线
切线的斜率是
3
，该切线方程
为 3x y 1 0 ．
范例导析
2x 1 f ( x) x • 例1．利用导数的定义求函数
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
4x y 4 0 或 x y 2 0
（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程．
3x-3y+2=0和x-y+2=0
1 • 例3．证明：曲线上 y 任意一点处的 x 切线与坐标轴构成的三角形面积是2．

第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e|4x ky ='==，所以()e e 124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=−lns 0<<1,lns >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2),l 1:y-y 1=-11(x-x 1),①l 2:y-y 2=12(x-x 2),②①-②得x P =1−2+211+12,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1),∵l 1⊥l 2,∴-11·12=-1,∴x 1x 2=1,∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2=12·(1−2+2)21+212=12·(−ln 1−ln 2+2)21+2=12·[−ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1,∴x 1+x 2>212=2,∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线,则()A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a答案D 解法一:当x →-∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于0,当x →+∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x 轴上方,且在曲线y =e x 的下方,∴0<b <e a ,故选D .解法二:易知曲线y =e x 在点P (t ,e t )处的切线方程为y -e t =e t (x -t ),∵切线过点(a ,b ),∴b -e t =e t (a -t ),整理得e t (t -a -1)+b =0.令f (t )=e t (t -a -1)+b ,则f '(t )=e t (t -a ),当t <a 时,f '(t )<0,当t >a 时,f '(t )>0,∴f (t )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,∴当t =a 时,f (t )取得最小值f (a )=-e a +b.由已知得,f (t )的零点的个数即为过点(a ,b )的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0, ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2r1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x1=1,x2=1-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即−ln+2−1,−ln,∵A、B在直线y=kx+b上,∴2−ln=1+b,−ln=b1+b⇒=1−ln2, =2.评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+1,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|J0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-102,则有k1k2=-1,即1·−解得02=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=1(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.21.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).。

当 x< 0 时 y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由 y′＝1x，所以 y′|x ＝x1＝x11，所以切线方程为 y－ln(－x1)＝x11(x－x1)，
又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝x11(－x1)，解得 x1＝－e，所以切 线方程为 y－1＝－1e(x＋e)，即 y＝－1ex.
角度2 求切点坐标或参数的值(范围)
[例2] (1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x
＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 则a的取值范围是______________________________________________．
答案：e2
4．函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝________. 解析：∵f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋21f′π3，∴f′π3＝43π，∴f π6＝3π62＋23π. 答案：3π62＋23π
[一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
022x2 ＋ 021
1 xln
2，D
正确．
答案：A B D
2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系 式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为 ( )