八年级下册第18章《平行四边形》
常考题培优练习（二）
1．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝6，EF：BF＝2：1，求菱形AEBD的面积．
2．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
3．如图，?ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．
（1）求证：?ABCD是矩形．
（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求?ABCD的面积．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝；
（2）当t＝时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
5．如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
6．如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．
7．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
8．如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F（点E，F在正方形ABCD的外部），满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，sin∠AFE＝，则四边形AECF的面积是．
9．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，
DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝30°，时，求D，F两点间的距离．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵BD＝DA，
∴AD＝BE，且AD∥BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD＝BD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB＝AB＝3，EF＝DF，
∵EF：BF＝2：1，
∴EF＝2BF＝6，
∴DE＝2EF＝12，
∴菱形AEBD的面积＝AB?DE＝×6×12＝36 2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴AF⊥CE，
∵CD＝DE，
∴AE＝AC，EF＝CF，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠AFC，
∴∠CAD＝∠CF A，
∴AC＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF，
∴四边形ACFE是菱形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，
∵AB＝2，CD＝DE，
∴BC＝2，CE＝4，
∴BE＝＝2，
∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝EG，
∴BG＝BE＝．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△DAO和△CBO中
∴△DAO≌△CBO（SSS），
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵△DAO≌△CBO，∠DOC＝60°，
∴∠DOA＝∠COB＝（180°﹣∠DOC）＝60°，∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝30°，
∵AD＝3，
DO＝2AO，
由勾股定理得：AO2+32＝（2AO）2，
解得：AO＝，
∴AB＝2AO＝2，
∴?ABCD的面积是AB×AD＝2＝6．4．解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S
＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
△ABP
②当点P在CD上运动时，
S
＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
△ABP
③当点P在AD上运动时，
S
＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；△ABP
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∴PD＝DC﹣PC＝12﹣2t，
∴＝，
解得t＝．
综上所述：t＝2s或t＝3s或t＝s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EFGH是菱形．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵AE⊥BD，∠AFE＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF＝，
∴BE＝＝＝，
由（1）得：DF＝BE＝，
∴BD＝BE+EF+DF＝2+，
∴△ABD的面积＝BD×AE＝×（2+）×＝+．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．
8．证明：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，AC⊥EF，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝4，
∵sin∠AFE＝＝，
∴＝，
∴AF＝2，
∴OF＝＝4，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝4×8＝32．
故答案为：32．
9．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：作EN⊥BD于N，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：∵∠C＝30°，AB＝AC，四边形BDEF为平行四边形；
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝∠NBE＝∠C＝30°，
∴△BDE、△BEF是等腰三角形，
∴BE＝DE＝BF，
∵EN⊥BD，
∴BN＝BD＝，
∴EN＝＝1，
∴BF＝BE＝2EN＝2，
∴FM＝BF＝1，
∴BM＝FM＝，
∴DM＝BM+BD＝3，
由勾股定理得：DF＝＝＝2，即D，F两点间的距离为2．
10．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝＝3，∴OE＝OA＝3．