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两个函数中的存在性和任意性问题的辨析

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两个函数中的存在性和任意性问题的辨析 安徽省太和县太和中学 岳 峻 236600 邮箱： 手机：

高考中经常出现两个变量的任意性或存在性问题，是高考的热点之一．此类问题中，特别是全称量词“任意”和特称量词“存在”插足函数，使得函数问题扑朔迷离，意深难懂，同时题目也因此显得富有变化和新意，往往让学生们混淆不清、不知所措． 事实上，揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，需要深刻理解问题的本质，善于运用数形结合、转化与化归的思想，利用函数与导数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较，从而转化为我们熟悉的问题． 本文通过研究具体函数及其图象，谈谈函数中有关任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，希望对同学们有所启发． 类型1.任意x，使得()fxgx，只需min()min0.hxfxgx其等价转化的基本思想是：给定任意一个x的值，函数()yfx的对应函数值都大于ygx的对应函数值.（如图1）

类型2.存在x，使得()fxgx，只需max()max0hxfxgx.其等价转化的基本思想是：存在一个x的值，函数()yfx的对应函数值大于ygx的对应函数值.（如图2）

fx

gx

图1

fx

gx

图2 【例1】（2014年陕西理科21改编）设函数()ln1,(),()fxxgxaxfxfx是()fx的导函数. （1）若对于任意0x，总有(),fxgx求实数a的取值范围； （2）若存在0x，使得(),fxgx求实数a的取值范围. 【解析】（1）设()ln10.1axhxfxgxxxx 22

11.111axahxxxx





当1a时，0.hxhx在0,上单调递增，min00,hxh所以，0hx在

0,

上恒成立，即()fxgx在0,上恒成立； 当1a时，对于0,1xa有0.hxhx在0,1a上单调递减，100,hah此时存在0x，使得0hx，即()fxgx在0,上不恒成立； 综上可知，实数a的取值范围,1. （2）由（1）可知，当1a时，存在0x，使得()fxgx； 当1a时，1001001.ahee必存在0x，使得()fxgx； 综上可知，实数a的取值范围,. 类型3.若1122,xDxD，使得12fxgx等价于函数fx在1D上的值域A与gx在2

D

上的值域B的交集不空，即.AB其等价转化的基本思想是：函数()yfx的某一个函数值等于函数ygx的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值. （如图3）

fx

gx

图3

fx

gx

图4 类型4.对1122,xDxD,使得12fxgx等价于函数fx在1D上的值域A是gx在2D上的值域B的子集，即.AB其等价转化的基本思想是：函数()yfx的任意一个函数值都等于函

数ygx的某一个函数值，即函数()yfx的函数值都在函数ygx的值域之中. （如图4） 【例2】（2014年天津文科19改编）已知函数232(),0,.3fxxaxaxR 2

1.1gxxx

（1）若121,1,,2xx，使得12fxgx，求实数a的取值范围. （2）当32a时，证明：对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()fxgx. 【解析】（1）因为2323fxxax，所以22221fxxaxxax. 令0fx得0x或1a. 因为当0x时，fx单调递减，当10xa时，fx单调递增，当1xa时，fx单调递减，3002ff

a.

所以，fx在,1上单调递减，fx在,1上的值域为21,.3a 又21.1gxxx2222332313232.1xxxgxxxxxxx 当12x时，0,gxgx单调递增，18.23gxggx在1,2上的值域为8,.

3

若121,1,,2xx，使得12fxgx，则：2851,.332aa

故实数a的取值范围50,.2 （2）因为23fxxx，所以222333fxxxxx. 分析可知，fx在(1,)单调递减，且10.f 所以fx在(2,)上的值域为,4；

又fx在(1,)单调递减，且0.fx2111gxxxfx在(1,)上单调递增，

所以211gxxx在(1,)上的值域为,0； 因为,4,0. 对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()fxgx. 类型5.对12,,xxD使得12fxgx，且,fxgx是在闭区间D上的连续函数等价于minmax.fxgx其等价转化的基本思想是：函数()yfx的任意一个函数值均大于函数ygx的

任意一个函数值. （如图5）

类型6. 存在12,xxD使得12fxgx，等价于maxmin.fxgx其等价转化的基本思想是：函数()yfx的某一个函数值大于函数ygx的某些函数值，都是只要求有这样的函数值，并不要求所有的函数值. （如图6）

【例3】已知2()0,ln.afxxagxxxx （1）若对任意的12,1,,xxe都有12fxgx成立，求实数a的取值范围； （2）存在12,1,,xxe使得12fxgx，求实数a的取值范围. 【解析】（1）对任意的12,1,,xxe都有12fxgx成立，等价于1,xe时， minmax.fxgx

fx

gx

图5

fx

gx

图6 当1,xe时，110,gxx所以gx在1,e上单调递增，所以max1.gxgee 只需证min1fxe，即22211axeaexxx在1,e上恒成立即可. 令21.hxexx 当1,xe时，21hxexx的最大值为211.22eeh 所以221,2ea即1.2ea 故实数a的取值范围是1,.2e （2）存在12,1,,xxe使得12fxgx，等价于1,xe时，minmax.fxgx 当1,xe时，110,gxx所以gx在1,e上单调递增，所以max1.gxgee

又2()0afxxax在0,a单调递减，,a单调递增. 当01a时，fx在1,e单调递增，2min111.fxfae符合题意； 当1ae时，fx在1,a单调递减，,ae单调递增，min2.fxfaa 此时，21ae，解得11;2ea

当ae时，fx在1,e单调递减，2min.afxfeee此时，21aeee，即ae，与ae矛盾，不符合题意； 综上可知，实数a的取值范围是10,.2e 类型7. 对1122,xDxD,使12fxgx,等价于函数fx在1D上的最小值大于gx在2D上的最小值即minminfxgx（这里假设minmin,fxgx存在）．其等价转化的基本思想是：函

数()yfx的任意一个函数值大于函数ygx的某一个函数值，但并不要求大于函数ygx的所有函数值. （如图7） 类型8. 对1122,xDxD,使12fxgx,即maxmaxfxgx.其等价转化的基本思想是：函数()yfx的任意一个函数值小于函数ygx的某一个函数值，但并不要求小于函数ygx

的所有函数值. （如图8） 【例4】(2010年山东)已知函数1ln1.afxxaxaRx (1)当12a时，讨论fx的单调性; (2)设224gxxbx，当14a时，若对任意10,2,x存在21,2x，使12fxgx，求实数b的取值范围. 【解析】（1）略； （2）依题意fx在0,2上的最小值不小于gx在1,2上的最小值,即minminfxgx，于是问题转化为最值问题. 当14a时，13ln144fxxxx，

所以2213113,444xxfxxxx 则当01x时，0,fx当12x时，0,fx所以当0,2x时，min11.2fxf 又224gxxbx， ①当1b时，可求得min152,gxgb则1522b，解得：11.4b这与1b矛盾. ②当12b时，可求得2min4,gxgbb则2142b，解得：29.2b这与12b矛盾. ③当2b时，可求得min284,gxgb，由184,2b得17.8b.

fx

gx

图7

fx

gx

图8

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高考数学一轮复习突破双变量“存在性或任意性”问题

高考数学一轮复习突破双变量“存在性或任意性”问题


不必要条件.故选C.
13.已知p：｜x＋a｜＜2，q：x≥a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值
范围是（
）
A.（－∞，－1]
B.（－∞，－1）
C.[1，＋∞）
D.（1，＋∞）
解析：A p：｜x＋a｜＜2，即p：－a－2＜x＜－a＋2，记为A＝{x｜－a－2＜x
＜－a＋2}.q：x≥a，记为B＝{x｜x≥a}.因为p是q的充分不必要条件，所以
.
⁠
解析：当x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1，2]时，g（x）max＝g
1
1
1
（1）＝ －m，由f（x）min≥g（x）max，得0≥ －m，所以m≥ .
2
2
2
1
2
答案： , + ∞
⁠
⁠
1.（2023·开封模拟）命题“∀x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定为
A.∀x∈R，x＋｜x｜＜0
3
2−2,2−
2
，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2－2k＞
3
1
4
1或2－ k＜0，解得k＜ 或k＞ ，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是
2
2
3
1 4
,
2 3
.
答案：
1 4
,
2 3
三、形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，使f（x1）＞g（x2）成立”
【例3】 已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，
C.若2x为偶数，则x∈N
D.π是无理数
解析：B 对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有
全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1
高考数学函数中存在性和任意性问题分类解析

高考数学函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性与任意性问题分类解析全称量词、特称量词以及全称命题与特称命题在近几年新课标高考卷与模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题、特别就是全称量词”任意”与特称量词”存在”与函数情投意合风火情深,火借风势、风助火威,大有逾演逾烈之势、两种量词插足函数,使得函数问题意深难懂神秘莫测,问题显得更加扑朔迷离难度大增,同时题目也因此显得富有变化与新意、解决这类问题的关键就是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目,本文通过典型题目分类解析供参考、1、,,使得,等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空,即、例1已知函数与函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围就是()解设函数与在上的值域分别为与,依题意、当时,,则,所以在上单调递增,所以即、当时,,所以单调递,所以即、综上所述在上的值域、当时,,又,所以在在上单调递增,所以即,故在上的值域、因为,所以或解得,故应选、2、对,,使得,等价于函数在上的值域就是函数在上的值域的子集,即、例2(2011湖北八校第二次联考)设,、①若,使成立,则实数的取值范围为＿＿＿;②若,,使得,则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就就是函数的值域、设,则问题转化为求函数的值域,由均值不等式得,,故实数的取值范围就是、②依题意实数的取值范围就就是使得函数的值域就是函数的值域的子集的实数的取值范围、由①知,易求得函数的值域,则当且仅当即,故实数的取值范围就是、例3已知,它们的定义域都就是,其中就是自然对数的底数,、(1)求的单调区间;(2)若,且,函数,若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围、解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就就是使得在区间上的值域就是的值域的子集实数的取值范围、当时,由得,故在上单调递减,所以即,于就是、因,由得、①当时,,故在上单调递增,所以即,于就是、因为,则当且仅当,即、②当时,同上可求得、综合①②知所求实数的取值范围就是、3、已知就是在闭区间的上连续函,则对使得,等价于、例4已知,其中、(1)若就是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的都有成立,求实数的取值范围、解(1)略;(2) 对,有,等价于有、当时,,所以在上单调递增,所以、因为,令得,又且,、①当时,,所以在在上单调递增,所以、令得这与矛盾。

高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中双变量存在性和任意性问题(含)

高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中双变量存在性和任意性问题(含)

第 07 讲：导数中的双变量存在性和随意性问题的【知识重点】在平常的数学学习和高考取，我们常常会碰到不等式的双变量的存在性和随意性问生因为关于这种问题理解不清，很简单和不等式的恒建立问题混杂，很棘手，或在解题中出现知识性错误.1、双存在性问题“存在x1( a, b ) ，存在 x2(c, d ) ，使得 f ( x1 )g( x2 ) 建立”称为题，存在x1( a,b) ，存在x2( c, d ) ，使得f ( x1 )g( x2 ) 建立，即起码有一个值 f ( x ) 比函数g ( x) 在区间( c, d ) 内的一个函数值小. ，（见下列图1）“存在x1(a, b) ，存在x2( c, d ) ，使得f ( x1 )g( x2 ) 建立”，即一个值 f ( x) 比函数g ( x) 在区间(c, d ) 内的一个函数值大，即 f ( x) 2）个值 f ( x) 比函数g ( x) 在区间( c, d ) 内的随意一个函数值都要大, 即3、存在随意性问题“存在x1(a, b) ，对随意的x2(c, d ) ，使得 f ( x1 )g ( x2 ) 建立”意性问题.存在x1(a,b) ，对随意的x2( c, d) ，使得 f ( x1 )g (间 ( a, b) 内起码有一个值 f ( x) 比函数g( x) 在区间(c, d ) 内的随意一f ( x)min g( x)min.（见下列图3）“存在x1(a, b) ，对随意的x2(c, d ) ，使得 f (x1 )g ( x2 ) 建立”内至少有一个值f (x ) 比函数 g (x ) 在区间 (c, d ) 内的任意一f ( x)max g (x) max.（见下列图 4 ）【方法讲评】(a , b) 内起码有一个值 f ( x) 比函数g (x ) 在区间( c, d )f (x) maxg ( x) min.【例 1】已知函数 f x4ln xa3a0 . axx（Ⅰ）议论 f x的单一性；（Ⅱ）当 a1时，设 g x2e x 4 x2a，若存在x1， x21，2 2实数 a 的取值范围. （ e 为自然对数的底数，e271828 ）当 0 a 1 时，0 ， x1 x24 a 30 ， x1 x20a a2 a 1 a 42 a 1 a 4x10 , x20a a当 x0 ，x1时，h x0 ， f x 单一递减，当 x x1，x2时，h x0 ， f x 单一递加，。

函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中的任意性与存在性问题
例1已知函数]1,0[,2)(2∈+=x k x k x f ，函数]0,1[,5)1(23)(22-∈+++-=x x k k x x g ， 1：存在]1,0[1∈x ]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求k 的取值范围.
2：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ， )()(12x f x g =成立，求k 的取值范围.
3：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g <成立，求k 的取值范围.
4
例 2 已知，其中.，若对任意的都有成立，求实数的取值范围.
[][].
".)()(,0,1,1,01221的取值范围求成立使得存在k x f x g x x <-∈∈
1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数
在上的值域的交集不空，即.
2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数
在上的值域的子集，即.
3 若对，，使，等价于在上的最小值不小于在
上的最小值即（这里假设存在）。

4
使得等价于
5 已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等
价于
.
1 函数22(),()1f x x g x x ax ==-+，若对[][]12121,3,1,2,()()x x f x g x ∀∈-∃∈≥，求实数a 的取值范围
2
若存在正数x 使x 2(x-a)<1成立,则a 的取值范围是
3已知21(),()()2
x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ．
4 将上题中的任意改为存在。