全国高中数学 青年教师展评课 圆锥曲线起始课教学设计(江西南昌二中)

“圆锥曲线起始课”教学设计 一．【教学内容解析】 1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继学习了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法． 2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想． 3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的学习对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值． 本节课的内容是选自北师大出版社《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课． 二．【教学目标设置】 1．知识与技能目标 本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）． 2．过程与方法目标 初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主 动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法． 3．情感、态度与价值观目标 通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观． 4．重难点 重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义． 难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义． 三．【学生学情分析】 1．这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还学习了解析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理问题的能力．在方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想． 2．学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是通过Dandelin双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题． 四．【教学策略分析】 1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔． 2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象. 思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用． 3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一 系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解． 4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性． 五．【教学过程】 环节 教学过程和师生活动 意图，理念与备注 1．课题引入 通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线． 师生活动：让学生踊跃发言． 1．从实际生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在头脑中产生各种曲线的初步印象，为下一步的数学抽象做准备． 2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象． 2．复1.复习圆锥的形成 1.对以前知识 习和准备 2.由圆锥的形成过 程引入圆锥面 注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下知识. 师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。 回顾，教师引导，学生回顾。 2.注意新旧知识的联系与发展，注重知识的系统性，使学生带着为什么要复习这个知识的疑惑走入课堂。

3．新课传授 介绍圆锥曲线的发展史 1．最初发现 PPT播放结合教师的介绍： 圆锥曲线的发展史：1．最初发现早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能尺规作图问题.化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积．立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积．三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角．欧几里得（公元前330-公元前275，古希腊数学家）高斯（1777年-1855年，德国数学家，物理学家） 教师附加介绍：这些问题在两千多年的时间里，有多数学本课以圆锥曲线的发展史为主线，在其中创设各种情景，引导学生进入圆锥曲线的学习 1．由第一个环节“最初发现”中的古老问题的提出来介绍圆锥曲线的发现，即增加了学生的兴趣和探索欲望，又能让 大师研究过，比如早到欧几里得，晚到高斯．直至19世纪，这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出．不知什么缘故，数学的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的，人们屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑跳出尺规作图的框框，而是借助于另外一些曲线，是不是可解决这些问题呢？我们今天学习的圆锥曲线，就是从这里开始被发现的。 教师附加介绍：不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角，锐角和钝角，但都是拿和母线垂直的平面截圆锥，从而形成不同的曲线，这就是圆锥曲线的“雏形”． 2．奠基工作 学生感受到数学发展过程中的魅力． 2．引出圆锥曲线的“雏形”为了让学生明白探知的过程，进一步激发学生的好奇和兴趣．为下一步的“圆锥曲线” 的定义做好铺垫． 3.总结古希腊对圆锥曲线的认识,说出不足,为学生以后用解析的方法进一步学习圆锥曲线的理由顺理成章. 4．创设情景,突破1.实验:利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板,观察影子的变化 师生活动:让学生参与,看到现象,探究原因. 1.学生对手机和绕线筒非常熟悉,这个试验马上能引起学 概念(一) 这里学生很容易认识到这个模型,把圆和椭圆说出,但是对于抛物线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚.这没有关系,等下还有定性分析. 2.探讨 问题1：用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？ 师生活动:学生很容易回答 “点”,容易忽视“两条相交直线” 问题2：用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？ 师生活动:学生也很容易回答出“圆” 思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时， 还能得到哪些不同的截线？ 师生活动:通过学生上台来控制动画,直观认识不同平面截圆锥得出的曲线 3.定性的分析总结: 圆锥曲线的定义 师生互动：这里对学生而言理解会有一定的困难,教师的讲解要清晰,细致,不要着急. 生注意,也定会感叹设计的巧妙和数学的无处不在. 2.利用身边的实物来做个试验,揭示三种曲线的形成,但对抛物线和双曲线的显示不足,这为我们下面的定性分析做了铺垫 3.从特殊位置考虑，培养学生分类讨论的思想，提高数学的严密性. 4.学生先有直观感受，让学生动手实验，通过自主探索活动，让学生参与到教学活动的全过程中来，体现 学生参与的主体地位，使学生手，脑，口并用，主动地获取知识，培养学生自主探究学习的能力 5.重点的突破在这里显得很自然,但是对于学生理解上还是有一定难度,教师要注意好这个环节.

5．创设情景,突破概念(二) 1.回到圆锥曲线的发展史,阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现 2.联系中国古代的事物和数学家的介绍,用一个刘徽传授椭圆画法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出椭圆的画法. 3.画椭圆 学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆. 引导学生在画的过程中要注意的细节,如绳子要绷直,两个钉子要稳定等细节. 1.利用史料和传说小故事,引出椭圆的画法,能提高学生学习的兴趣和积极性,又能普及数学史培养正确的价值观. 2. 在处理画椭圆的环节，创造 安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的. 在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问题:老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段. 借此教师那那组的纸板加以解释,当绳子的长度和两个定点距离相等时,画出的只是一条线段, 继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢? 学生马上反应过来,这时应该画不出任何图形. 4.总结: 椭圆的定义: 一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 用数学表达式体现:)2(22121FFaaMFMF 对为什么用a2的表示常数,我们后面会知道它的作用(为求标准方程打下基础) 5.论证: 论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆 在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非常著名的一位.19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆定义的一种巧妙的方法. Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解． 3.有意安排画出不同的椭圆为随后的椭圆的性质研究累计素材.还安排一种特殊情况让学生自己发现并提出问题,加深学生的印象,培养学生思维的严密性.

4.学会有数学