第一章
量子力学的诞生
设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用
)]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===⋅⎰Λ )(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222
1
)(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a
a
a
a
==⋅=-=-=⋅⎰⎰
⎰+-+-222222222)21(22πωπ
ωωω
得ω
ωπm n
m nh a η22
=
=
（3） 代入（2），解出 Λη,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-⎰
arcsin 2222
22
2
设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()⎰==⋅Λ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
Λ,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m
p p p m E z
y x z y x n n n z
y x ηπ Λ,3,2,1,,=z y x n n n
设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
Λ==⎰
n nh d p π
ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
ϕ=。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。
它的角动量.
ϕϕI p =（广义动量），ϕp 是运动惯量。按量子化条件
Λ,3,2,1,220
===⎰
m mh p dx p ϕ
π
ϕπ
mh p =∴
ϕ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
η==ϕ，
Λ,3,2,1=m
有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单
位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
r
mv c Bev 2
= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角ϕ
nh mrv mrvd pdq ===⎰⎰
πϕπ
220
(2)
即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=
mc
n
Be mv 2212η= 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能
=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, r
v
v π2=,代入前式得
运动电荷的磁势能=mc
n
Be 2η (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mc
n
Be 2η ( 3,2,1=n )
，未找到答案
（1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
α
α2
2
1
1
sin sin n n =
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ 认为mv p =则⎰=0pdl δ这将导得下述折
射定律
α
α1
3
3
1
sin sin n n =
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c
Ev
p =仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有⎰=0pdl δ
，你怎样解决矛盾
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A 到定点B 的路
径是两段直线：光程
QB AQ I n n 21+=
设A ，B 到界面距离是a,b(都是常量)有
αα2211sec sec b a I n n +=
又AB 沿界面的投影c 也是常数，因而
α1
，α
2
存在约束条件：
c btg atg =+αα21 （2）
求(1)的变分,而将
α1
,α
2
看作能独立变化的,有以下极值条件
0sec sec 22221111=+=ααααααδd tg b tg a I n d n (3)
再求（2）的变分 0sec sec
222
112
==+c d b a d δαααα
