曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
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量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第7章
其中 Py 和 Pz 为任意实数，
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案第5章-1
量⼦⼒学第四版卷⼀（曾谨⾔著）习题答案第5章-1第五章：对称性及守恒定律P248设粒⼦的哈密顿量为 )(2??2r V p H+=µ。
（１）证明V r p p r dtd ??-=?µ/)(2。
（２）证明：对于定态 V r T ??=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ++=?，运⽤⼒学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21],[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=µ（２）分动量算符仅与⼀个座标有关，例如xi p x ??=，⽽不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z yy x x +++++=µµµ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：222?2??x x x p i p i p i =+= （４）xVxi ??=?? （５）将（４）（５）代⼊（３），得：代⼊（１），证得题给公式：V r pp r dt d ??-=? µ2?)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的⼒学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r A ?= 则0)??(*2=??-==V r p d p r p r dt d τµτψψ（７）但动能平均值 µτψµψτ22?*22p d p T =≡由前式 V r T ??=21 P249 设粒⼦的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维⾥定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应⽤于特例：（１）谐振⼦ T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维⾥定理：假设粒⼦所在的势场是直⾓坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场⽤直⾓坐标表⽰的函数，可以表⽰为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是⽆理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满⾜：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
量子力学第四版卷一(曾谨言著)知识题目解析第4章
4.29——6.14.29证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。
） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==说明y x l l ˆˆ不是厄密的。
2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，利用基本对易式 L i L L =⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴ 同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。
附量子力学答案 曾谨言
公式，并导出角动量量子化条件：
J n , n 1, 2,3,...
索莫非（Sommerfeld）将量子化条件推广：
pdq nh
q是电子的一个广义坐标，p是对应的广义动量。回路积分是沿运动轨道积分。
目录 退出 24
4、Bohr量子论的局限性： （1）、该理论只能解释氢原子光谱的规律 性，而不能合理解释其余原子。 （2）、不能系统解决谱线的强度。 （3）、只能处理简单的周期运动而不能处理非束缚态问题。 （4）、并没有从根本上解决能量不连续性的本质。
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录 退出 21
目录 退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以 能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
目录 退出 25
0．1．4 德布罗意（de Brolie）物质波及波粒二象性
德布罗意根据几何光学中的费马（Fermat）原理与动力学中的最 小作用原理的相似之处，并在光具有波粒二象性的启发下，提出象电 子这类实物粒子（静止质量m≠0）也具有波的性质，即称为德布罗意 物质波，该粒子的能量和动量与其波长和频率满足如下关系：
J n , n 1, 2,3,...
索莫非（Sommerfeld）将量子化条件推广：
pdq nh
q是电子的一个广义坐标，p是对应的广义动量。回路积分是沿运动轨道积分。
目录 退出 24
4、Bohr量子论的局限性： （1）、该理论只能解释氢原子光谱的规律 性，而不能合理解释其余原子。 （2）、不能系统解决谱线的强度。 （3）、只能处理简单的周期运动而不能处理非束缚态问题。 （4）、并没有从根本上解决能量不连续性的本质。
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录 退出 21
目录 退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以 能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
目录 退出 25
0．1．4 德布罗意（de Brolie）物质波及波粒二象性
德布罗意根据几何光学中的费马（Fermat）原理与动力学中的最 小作用原理的相似之处，并在光具有波粒二象性的启发下，提出象电 子这类实物粒子（静止质量m≠0）也具有波的性质，即称为德布罗意 物质波，该粒子的能量和动量与其波长和频率满足如下关系：
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第11章
t
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞
t= ∞ 1
ε e = 0 (ez )k 'k i iω
=
[ iω
k 'k
t − ]t τ
t= ∞
k 'k
−
1 t= 0 τ
（7）
ε0
[ω
k 'k
i + ] τ
( ez ) k 'k
iω
k 'k
（前式中利用了 e
t
= 1）
ψ k ( x) =
2 kπ x sin a a
（ 1）
根据此式计算矩阵元：
x k 'k =
2 a k 'π x kπ x 1 a (k ' − k )π x (k ' + k )π x sin ⋅ x ⋅ sin dx = x [cos − cos ]dx a ∫ x= 0 a a a ∫ x= 0 a a sin px cos px ⋅ x+ p p2
W 2 n ,1 =
1024 qa 2 n2 ( ) ρ (ω 3 h (4n 2 − 1)4
2 n ,1
)
11.4——10.4 11.5——10.5 11.6——10.6 11.7 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、 电场沿 z 轴方向 可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
1
r
r
∫
e 4 − 2a r e dr ⋅ ∫ sin 2 θ cos θ dθ ⋅ ∫ e − iϕ dϕ 4 8π a 0 ϕ =0
3r
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞
t= ∞ 1
ε e = 0 (ez )k 'k i iω
=
[ iω
k 'k
t − ]t τ
t= ∞
k 'k
−
1 t= 0 τ
（7）
ε0
[ω
k 'k
i + ] τ
( ez ) k 'k
iω
k 'k
（前式中利用了 e
t
= 1）
ψ k ( x) =
2 kπ x sin a a
（ 1）
根据此式计算矩阵元：
x k 'k =
2 a k 'π x kπ x 1 a (k ' − k )π x (k ' + k )π x sin ⋅ x ⋅ sin dx = x [cos − cos ]dx a ∫ x= 0 a a a ∫ x= 0 a a sin px cos px ⋅ x+ p p2
W 2 n ,1 =
1024 qa 2 n2 ( ) ρ (ω 3 h (4n 2 − 1)4
2 n ,1
)
11.4——10.4 11.5——10.5 11.6——10.6 11.7 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、 电场沿 z 轴方向 可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
1
r
r
∫
e 4 − 2a r e dr ⋅ ∫ sin 2 θ cos θ dθ ⋅ ∫ e − iϕ dϕ 4 8π a 0 ϕ =0
3r
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案
第二章：函数与波动方程P69 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([2222=-+ψψx V E mdx d将方程式左边加减相等的量ψC 得:0]})([]{[2222=+-++ψψC x V C E mdx d这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。
(证)E =υT = = =用高斯定理 中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0>T 因此 V V T E >+=,能让能量平均值V V min >因此V E min >令ψψn=(本征态)则EnE =而VE nmin>得证2.1设一维自由粒子的初态()/00,x ip ex =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m p x p i et x ψ2.2对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d ep t x i E px ip )()(21),(-∞-∞=⎰=φπψ （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 ex px i∞)0,(ψx δ)(将（2）（3(ψ，代入（4）(ψ p d eet x p i mx p m it timx ⎰∞-∞=--=)2(22221),(πψ利用积分απξαξ=⎰∞∞--d e 2： ti m et x ti m x ππψ221),(22=写出共轭函数（前一式i 变号）：ti m et x timx -=-ππψ221),(22 t mt m t x πππψ22)2(1),(22=⨯=本题也可以用Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为：dp tmx p m t i dp t mx p m t 22)](2[sin )](2[cos ---⎰⎰∞∞-∞∞-用课本公式得timxetm i t x t x 2*2)1(21),(),(ππψψ=，两者相乘，可得相同的结果。
量子力学第四版卷一(曾谨言著)习题集规范标准答案第3章-补充
补充3.5）设粒子处于半壁高的势场中⎪⎩⎪⎨⎧><<-<∞=ax a x V x V ,00,x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。
求至少存在一条束缚能级的体积。
解：分区域写出eq s .:ax ,0)()(a x 0 ,0)()(22"212'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）其中 ()22022'2k ,2ηηE E V k μμ-=+=（3） 方程的解为kxkxx ik x ik DeCe x Be Ae x --+=+=)()(21''ψψ （4）根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则0=C当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是ax , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kxDe x a x k F x ψψ （5）在a x =处，波函数及其一级导数连续，得ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）上两方程相比，得 kk a k tg ''-= （7）即 ()E E V E V atg +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0022ημ（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=(10)9) ( 2220a V ctg ημηξξξη（10）式是以a V r 202ημ=为半径的圆。
对于束缚态来说，00<<-E V ，结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。
（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚态能级。
当2π≥r ，即222πμ≥a V η，亦即 82220ηπμ≥a V （11）时，至少存在一个束缚态能级。
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案第3章-补充
2
2
代入边界条件 (b) 0 ,得 2
(b) sin(kb ) 0,kb n 2
因而 kb n , 2 (x) C sin[k(x b) n ]
C sin k(x b)
或 2(x)
(2)
C sin k(x b)
和V0 情形相同,C=A ,偶宇称解是
1(x) Asin k(x b)
x 2 2m(m 1 ) m2 2 1
2
a2
(m 1 ) 2m(m 1 ) m2 2 (m 1 )
2
2
m 2
m(m 1) 2
测不准关系中的不准度是：
p 2
* m
(
i
)
2
d 2 m dx 2
dx
2mE
m2 2
x2
2m(m
1 ) 2
m2 2
1 a2
(m 1 ) 2m(m 1 ) m2 2 (m 1 )
ka n , kb n
相减得 k(b a) (n n) n
n 是整数,可作为能级编号.
kn
n ba
因此能级是
En
2 2 2m
( n )2 ba
是二度简并的
注: 在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现, 和实际上是同一个函数,只是的取值 范围不同.
考察V0 为有限值情形的解,先设 E<V0 设区间 (a, b) 中的解是
区间 (b,a) ，设波函数：Байду номын сангаас
再考虑
2 (x) b sin(kx ) (5) (x a)x b 在二点的连续条件得
代入
B sin(ka ) 0, B sin(kb ) 0
得: ka p , kb p ,但 p, p 整数,因此区间 (b,a) 的波函数:
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第4章-2
4.29——6.14.29证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。
） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==说明y x l l ˆˆ不是厄密的。
2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，利用基本对易式 L i L L =⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社 课后答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25第三章：一维定态问题……………………26——80第四章：力学量用符表达…………………80——168第五章：对称性与守衡定律………………168——199第六章：中心力场…………………………200——272第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289第八章：自旋………………………………290——340* * * * *参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
19812．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
19815．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
19586．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
19488．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 196510. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958量子力学常用积分公式 (1) dx e x an e x a dx e x ax n ax n ax n ⎰⎰--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e axax-+=⎰ (3) =⎰axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (5) =⎰axdx x sin 2ax a x aax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)⎰=+dx c ax 2)arcsin(222x c a a c c ax x --++ (a<0) ⎰20sin πxdx n 2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数) (9) = ⎰20cos πxdx n !!!)!1(n n - (=n 正奇数)2π (0>a ) (10)⎰∞=0sin dx xax 2π-(0<a ) (11)) 10!+∞-=⎰n n ax a n dx x e (0,>=a n 正整数) (12) adx e ax π2102=⎰∞- (13) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n an dx e x π (14) 10122!2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x (15) 2sin 022a dx xax π⎰∞= (16) ⎰∞-+=0222)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ⎰∞-+-=022222)(c o s b a b a b x d x xe ax (0>a )。
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第8章
(13)
cos θ sin θ e − iϕ c 2 c2 = λ iϕ − cos θ c 2 c2 sin θ e σ ⋅ n 的本征矢是： θ i (δ − ϕ ) cos e 2 1= , 2= θ iδ sin e 2
或
（5 ）
(cos θ − λ )c1 + sin θ e − iϕ ⋅ c 2 = 0 iϕ sin θ e ⋅ c1 − (cos θ + λ )c 2 = 0
（ 6）
（6）具有非平凡解（平凡解 c1 = 0 ， c 2 = 0 ）条件是久期方程式为零，即
cos θ − λ sin θ e iϕ
)
是 (θ , ϕ ) 方向的单位
解：在 δ z 表象中， δ 的矩阵表示为
σ
因此，
x
0 1 = 1 0 ， σ
n
y
0 − i = i 0 ， σ
z
1 0 = 0 − 1
（1 ）
σ
= σ ⋅ n = σ x nx + σ y ny + σ z nz nz = n + in y x n x − in y cos ϕ = iϕ − nz sin θ e a sin θ e − iϕ − cos ϕ
(2)
c1 , c 2 待定常数，又设 σˆ x 的本征值 λ ，则 σˆ x 的本征方程式是：
σˆ x χ = λ χ
将（2）代入（3）：
(3)
σˆ x ( c1α + c 2 β ) = λ ( c1α + c 2 β
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第6章-2
（11）
因而
u( r ) = F (
（12）
完整的径向波函数是
ψ ( r ,ϕ ) = R( r )e lmϕ
= 常数δ
m
e− a 2r 2 2
1 k2 F( + − , m + 1, a 2 r 2 ) 2 2 2 4a
m
（13）
由于合流超几何级数收敛性质和 e i 相似，故其无穷级数形式不适于作为波函数的解，欲使其能作为 波函数的一个因式，这个级数要中断，设最高幂 p,由（11）可知 a ξ +p=0
e2 ， n = nr + l + 1 ， n r = 0,1,2, ⋯ En = − 2n 2 a
将 l 换成 l ' ，即得价电子的能级：
（ 5）
E nl = −
通常令
e2 2n a
l '2
， n ' = nr + l ' + 1
（ 6）
l' = l + ∆
（7）
n ' = nr + l + ∆ l + 1 = n + ∆
12
（1）
a 为 Bohr 半径，求价电子的能级。 1 1 8λ 提示：令 l ( l + 1) − 2λ = l l + 1 ，解出 l = − + l + 1 − 2 2 ( 2l + 1) 2
'
(
'
)
'
解：取守恒量完全集为 H , L2 , L z ，其共同本征函数为
e imϕ = e im (ϕ + 2 xπ ) m是整数
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-2
x=x＇+vt＇y=y＇z=z＇
t＇=t⑴
势能在K＇K两坐标系中的表示式有下列关系
V＇（x＇,t＇）=V＇(x-vt,t)=V(x,t)⑵
证明若在K＇中薛定谔方程式是
则在K＇中：
其中： ⑶
[证明]从伽利略变换定义可知，在⑴式中当t=0时，x=x＇，t=t＇，因此在时刻t=0一点的波函数 与 相重合，这个关系和§5.1⑵的海森伯，薛定谔表象变换:
沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
（14）
据此， 系和 系中相应的平面波波函数为
， （15）
（1）、（14）代入（15），即得
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
5.16——2.1
5.17——2.2
5.17设Hamilton量 。证明求和规则
是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。
证： （ ）
又
，
。
不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。
5.18——2.4
5.18设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
（1）
证：式（1）左端
（2）
计算中用到了公式 。
5.15——参考7.17
5.15证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动（沿 轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：
。（1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
（2）
证明schrödinger方程在 参照系中表为
本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.
t＇=t⑴
势能在K＇K两坐标系中的表示式有下列关系
V＇（x＇,t＇）=V＇(x-vt,t)=V(x,t)⑵
证明若在K＇中薛定谔方程式是
则在K＇中：
其中： ⑶
[证明]从伽利略变换定义可知，在⑴式中当t=0时，x=x＇，t=t＇，因此在时刻t=0一点的波函数 与 相重合，这个关系和§5.1⑵的海森伯，薛定谔表象变换:
沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
（14）
据此， 系和 系中相应的平面波波函数为
， （15）
（1）、（14）代入（15），即得
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
5.16——2.1
5.17——2.2
5.17设Hamilton量 。证明求和规则
是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。
证： （ ）
又
，
。
不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。
5.18——2.4
5.18设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
（1）
证：式（1）左端
（2）
计算中用到了公式 。
5.15——参考7.17
5.15证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动（沿 轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：
。（1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
（2）
证明schrödinger方程在 参照系中表为
本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第11章
1s 态
ψ
100
=
1
π a3
e
−
r a
（1）
2s 态
ψ
200
=
r − ( 2 − )e 2 a a 32π a 3 r − ( )e 2 a sin θ ⋅ e iϕ 8 π a3 a 1
r
1
r
（2）
2p 态
ψ
211
=
1
r
（3a）
ψ
21, − 1
r − = ( )e 2 a sin θ ⋅ e − iϕ 8 π a3 a = r − ( )e 2 a cos θ 32π a 3 a 1
=
r − 2a − a 3 ( 2 − )e r d r ⋅ ∫ cos θ sin θ dθ ∫ a 32π a 3 r = 0 0
∞
π
2π
∫ dϕ
0
= 0
（8）
1s向2 s 的跃迁不存在。再考察 (1s → 2 p ) 的跃迁， 代入（4）中知道 C 200,100 = 0, W200,100 = 0即自
1
r
=
r= ∞
r= 0
∫
r e
4
dr ⋅
π
θ =0
∫
cos θ sin θ dθ ⋅
2
2π
ϕ =0
∫ dϕ
=
⋅ 4!⋅ (
π − 2a 5 1 ) ⋅ (− cos 3 θ ) 2π 0 3 3
（11）
=
将三种值分别代入（7），得 C 211,100 = 0, C 21− 1,100 = 0
C 210,100 =
t
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞
量子力学第四版卷一[曾谨言著]习题答案解析
![量子力学第四版卷一[曾谨言著]习题答案解析](https://img.taocdn.com/s1/m/dc12f6ddb8f67c1cfbd6b82a.png)
第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。
a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。
有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
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曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。
这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。
动量分布概率：1 波包的频谱分析具有一定波长的平面波可表示为：()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1）波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包221()exp()2x a x ψ=-(A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1x a <区域中.所以波包宽度可近似估计为:1/x a ∆ (A1.3)波包可以看成许多不同波数(长)的平面波的叠加,这就是波包的傅里叶分析或频谱分析.()x ψ的傅里叶变换()k φ定义如下:()()exp()x k ikx dkψφ+∞=⎰ (A1.4a)其逆变换为:()()exp()k x ikx dx φψ+∞=-⎰ (A1.4b)例如,高斯包波的傅里叶变换为:2222111()exp()exp(/2)2k a x ikx dx k a a φ+∞=--=-⎰(A1.5) ()k φ代表波包()x ψ中所含波数为k 的分波的波幅, 2()k φ代表该分波的成分.对于高斯波包, 2()k φ的图形如图A.1所示,仍为一高斯波包.波数k 主要集中在k a <范围中,因此, ()k φ的宽度可粗略估计为:~k a ∆ (A1.6) 这样~1x k ∆⋅∆ (A1.7)此关系式不限于高斯波包,对任何波包都适用,它是人波包的频谱分析得出的一般结论.与上类似,时间的函数()f t 也可作傅里叶分析,()()exp()f tg i x d ωωω+∞=⎰ (A1.8a) ()()exp()g f t i t dt ωω+∞=-⎰(A1.8b)2 动量分布概率按上述波函数《量子力学》卷II （第三版）科学出版社波函数的统计诠释是能把波动粒子两象性统一起来的惟一符合实验的方案1 实验已确切证明,微观粒子具有波粒一同两象性;（个人注：为什么粒子会具有波粒二象性：量子现象本身无法用经典语言描述，但又必须借助于经典语言进行描述）2 对波动粒子二象性做认真分析后发现,实验观测中所展现出来的“粒子性”，只不过是微观粒子的“原子性”或“颗粒性”，即粒子是具有确切的内禀属性（电荷、质量等）的一个客体；但并不意味着粒子在空间运动具有确切的轨道，轨道是经典力学中粒子在空间运动的特性，也双缝干涉实验中显示出的粒子的波动性是不相容的；另一方面，实验观测到的微观粒子的“波动性”，只不过是波动现象最本质的要素，即波的“相干叠加性”，但并不意味着这种波动一定是某种实在的物理量的波动（如密度波、压强波等）。
3 能把实物粒子的“原子性”和波动的“相干叠加性”统一起来的，惟一自洽的方案是玻尔提出的“概率波”概念，即波函数的统计解释。
这已为无数实验所确证。
4 对于多粒子体系，波函数描述的是6维位形空间中的波动，除了给予概率诠释外，别无它途，因为“6维空间中的实在物理量的波动”是难以理解的。
5 波函数的统计解释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概念有本质不同。
日常生活中，是因为所处理的问题太复杂、决定事物进程的因素较多，人们无法根据已掌握的事物现状去准确预测事物随后将出现的结果，不得不借助于概率统计的方法进行预测；量子力学中，波函数必须采用统计解释是由波动-粒子两象性导致的。
波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期，并非粒子已经具有那样的分布（既成事实）等待人们去观测。
这涉及到纯态（纯系综）和混合态（混合系综）的概念。
6 认为量子力学对事物的描述总是概率性的看法是片面的。
量子力学中，对于用波函数描述的微观粒子，并非对所有物理量的测量结果的预言都是概率性的。
这要看测量的是哪一个力学量，其中对某些力学量的观测结果的预言只能是概率性的，而对另外某些力学量的观测的预言则可能是决定论性的，即只能出现唯一的结果，概率为1。
这里就涉及力学量的本征态的概念和本征态的相干叠加的概念。
这也可以认为是“互补性原理”的一个重要方面。
7 考虑到波粒二象性，微观粒子的力学量必定有与经典粒子本质上不同的特征。
首先，按德布罗意关系/p h λ=，粒子的动量与波长成比例，波长是表征波动随空间地点变化快慢的量，所以一般说来，“在空间某一点的波长”的提法，就没有严格的意义；同样，“微观粒子局域于空间某一点的动量”的提法也无严格的意义。
这表面在直接用波函数来计算动量的平均值时，不得不引进动量（梯度）算符，并可以看出，动量的平均值是也波函数的梯度（而不是与波函数在某点的局域值）相联系。
这个梯度越大，就表现为波长越短，因而动量平均值就越大。
这在物理图像上是很清楚的。
（个人注：这里可以作为量子力学直观性的一个说明）8 动量在直角坐标中各分量算符与坐标各分量满足对易关系:,j k jk x p i δ⎡⎤=⎣⎦是量子力学最基本的对易关系,是波粒二象性的反映.凡有经典对应的力学量之间的对易关系,均可由它导出.如粒子的角动量ˆˆL r p=⨯ 的分量之间的对易关系 ˆˆˆ[,]L L i L αβαβγγε=其中, αβγε为Levi-civita 符号.9 波粒二象性的另一个集中表现就是海森伯提出的坐标-动是不确定度关系.事实上,对于任何波动(无论经典波或概率波),都可以证明:(~)1x k ∆∆>或其中, k 为波数.但此式还不是不确定度关系.但如果考虑到微观粒子的波动性,按德布罗意关系p k = ,,才得出x p ∆∆≥ ,也由此看出,它是粒子波动性的必然结果.10 不确定度关系概括地说明：考虑到波粒二象性，就不能全盘用经典粒子的所有概念，特别是轨道概念来描述微观粒子，它指明了应用经典粒子运动概念来描述微观粒子应受到的限制。
从形式上讲，当0h →时，粒子波长趋于零，0x p ∆∆→，波动效应（即量子效应）就可忽略，而经典力学很好地描述粒子的运动。
在此极限下，粒子的坐标和动量就彼此对易，粒子的轨道运动概念就近似成立。
11 量子力学中，“力学量用算符来描述”的含义是多方面的，除了计算力学量的平均值要用到算符表示外，量子力学中的一个假定：一个力学量，如F ，在实验观测中的可能取值，即相应的算符的本征值。
由于可观测量都为实数，这就要求相应的算符为厄米算符。
12 力学量之间的关系与表现在算符的关系上（P6）：如两个力学量是否可以同时具有确定值，就取决于相应的算符是否对易。
若两个算符对易，则有共同本征态，在这种共同本征态下，对易的两个力学量算符对应的力学量同时具有确定值。
若两个算符不对易，则一般说来相应的两个力学量不能同时具有确定值。
此时，可以证明：1ˆˆ,2A B A B ⎡⎤∆∆≥⎢⎥⎣⎦ 特别是将坐标与动量的基本对易关系代入上式即得取海森堡不确定度关系。
13 本征态的简并往往与算符的对称性有关（偶然简并除外）（P6）。
14 在量子力学中，一个力学量F （不显含t ）是否是守恒量，就根据它与体系的哈密顿量是否对易来判断：ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦，这与经典力学中根据泊松括号{},0F H =是否成立来判断守恒量相对应。
15 关于力学量的本征值问题，还有几点值得提到：（P6）● 量子力学中并非所有力学量的本征值都是量子化的（即离散的）。
对于角动量，根据它的分量的对易关系，可以证明，角动量只能是 的整数或半奇数倍。
对于坐标或动量，本征值是连续的，而对于哈密顿量，本征值既可能是离散的（束缚态），也可能是连续的（游离态或散射态）。
● 量子力学对力学量测量值的预言，既可能是概率性的，也可能是决定论性的，这取决于体系所处状态是否待测量力学量的本征态。
● 力学量完全集概念：一组彼此两两对易的、函数独立的力学量，如果它们的共同本征态足以对体系的量子态给予确切的描述，则称之为体系的一组力学量完全集。
对于具有n 个自由度的体系，完全集内的力学量的数目不少于自由度数。
如三维粒子的三个坐标分量ˆˆˆ(,,)xy z 或动量分量ˆˆˆ(,,)x y z p p p 都可选为力学量完全集。
不同的体系，由于它们的对称性的差异，守恒量完全集一般与不同，对于一个体系，守恒量完全集的选取也可能不止一种。
如三维自由粒子，ˆˆˆ(,,)x y z p p p 和2ˆˆ(,,)zH L L 都可以选作守恒量完全集。
对于中心力场()V r 中的粒子，2ˆˆ(,,)z H L L 、2ˆˆ(,,)x H L L 、2ˆˆ(,,)yH L L 都可选为守恒量完全集。
但注意，守恒量完全集内守恒量的数目并不一定等于自由度数。