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量子力学复习题答案与题解

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量子力学复习题 导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2 量子的概念是如何引进的p5 为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一p6 写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。P12

什么是波函数的几率解释p18 态的迭加原理。P22 动量算符的定义。P27 写出单粒子薛定谔方程。P27 写出多粒子薛定谔方程。P28 写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。P33 什么条件下可以得到定态薛定谔方程p32 什么是束缚态p37 什么情况下量子系统具有分立能级p37 什么是基态p37 写出线性谐振子的定态薛定谔方程。P39 写出线性谐振子的能级表达式。P40 写出波函数应满足的三个基本条件。P51

写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。P54 量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。P56 写出轨道角动量算符的各分量表达式。P60 什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。P63 解：),()1(),(ˆ22lmlmYllYL ),(),(ˆlmlmzYmYL 其中l表征角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数。对应于一个l的值，m可以取（2l+1）个值，从-l到+l。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离

00.52Aa( 3分) 113.6eVE( 3分) 可见光的能量不超过, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。( 4分)

写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。P65

写出氢原子能级的表达式及其简并度。P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义p63

关于力学量与算符的关系的基本假定。P83 写出力学量平均值的积分表达式。P84 两个算符可对易的充要条件是什么p89 写出X方向坐标与动量的不确定关系。P92

什么是Q表象p108 久期方程带来的好处是什么p113 写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。P117 写出幺正变换的两个重要性质。P118

应用微扰法的限制条件是什么p135 写出用非简并微扰法解题的基本步骤。P136 写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。P145 写出黄金规则公式，并解释其含义。P154 什么是量子力学中的共振现象p157

自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么p197 电子自旋的取值有何特点p196 写出泡利矩阵。P202 写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）。P198 C-G 系数是如何定义的其中各参数的含义是什么p209 在角动量耦合问题中，j1 和j2 给定后，j 的取值范围是什么p210 写出全同性原理。P217 什么是费米子什么是玻色子P220 写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义。P223 什么是自旋单态和三重态P223

根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量—动量关系，“推 导”单粒子薛定谔方程。P27 推导定态薛定谔方程。P32 一个质量为m的粒子置于宽度为a的无限深势阱中： 00()xaVx



其它

求该系统的能量本征值。P34

解：设系统波函数为()x 当0xa时，薛定谔方程可以写为 222()()2xExmx (1)

当0,xxa时，薛定谔方程可以写为 222()()()()2xVxxExmx

当()Vx时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 ()0x。 令222mEk，可将(1)式化为 22

2()()0xkxx

 (2)

则方程(2)的解可以写为 ()sincosxAkxBkx 由波函数的连续性可得

∞ ∞

0 a ()(0)0a 即sincos00AkaBkaB，得sin00AkaB (3) 由于当0A，0B时，系统波函数()0x，与粒子的存在相矛盾，所以A，B不能同时为0， 所以(3)式的解为B＝0，sinka＝0， 由此有kan ( n = 0，±1，±2，±3，…)

因为n＝0对应()0x，故舍去， n取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可， 因此nka，再结合222mEk得，

22222mEn

a

 即系统能量本征值为

22222nEma

 (n=1，2，3，…)。

证明厄米算符的本征值是实数。P56 证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在X方向上两算符满足ˆˆ,

xxpi

。P87

证明：在Q表象中, Qˆ算符本身的表示矩阵是对角的。P110 试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。P131 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿正x方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能量修正。P137 用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出其中各量是何含义尝试波函数如何选取p146 写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。P196 (1) 每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：

2zs；

(2) 每个电子具有自旋磁矩SM，它和自旋角动量S的关系是SeMS，式中-e 是电子的电荷，μ是电子的质量。

在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象什么是耦合表象写出两种表象基矢的关系式。P208 写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。P223 写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明 ˆ[,a†]1ˆa。P125 由坐标表象下的薛定谔方程推导Q表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式）。P113 证明自旋算符满足：2ˆ[,sˆ]0zs，其中 2ˆs2ˆxs2ˆys2ˆzs。P198 对泡利矩阵证明:（1）[yxˆ,ˆ]ziˆ2;（2）zˆ的本征值为1, 并求出相应的归一化本征矢；（3）xˆ在zˆ的两个本征态中的平均值皆为0。P202

答：泡利矩阵: 01,10x0,0yii10,01z（3分）

（1）01000110[,]2210001001xyxyyxziiiiii （3分） （2）1001zaauubb即，由此得久期方程： 2101001解得1（4分） 设平面波具有如下一般形式：()(,)ittAekrr 其中A为常数，k 和满足2/2mk。(1) 试验证平面波满足自由粒子薛定谔方程。(2) 解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。

（1）22(,)()(,)2itttmrr 左边 = 22()()()()()2ititititiAeiAieAeAetmkrkrkrkrk

右边 = 2222()2()()()()()222itititAeAieAemmm2kr2krkrk

k

左边 = 右边 （2）平面波不满足平方可积条件 2*(,)(,)ttdAdrr

上述积分的涵义是粒子存在的总几率，应当是有限值。所以平面波不能严格代表一个自由粒子。

◇(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the

superposition state of two energy eigenstates: 1122|||cc. What result would be obtained when measuring the energy of the system (10 marks) 解：（a）一个可观察量可以用一个厄米算符表示，它的本征函数组成完备系，对它进行测量的结果，只可能是它的本征值之一。若体系处于本征态，则测量值即为本征值。（6分）

（b）当系统处于由2211CC所描述的态时，对系统能量的测量结

果只可能是态1和2所对应的能量本征值1，2之一。并且测得i的概率为2iC（其中i =1，2）（4分）

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量子力学导论习题答案

量子力学导论习题答案

第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， îíì<<><¥=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2L =×=n n a ln a /2=\l （1）又据de Broglie 关系 l /h p = （2） 而能量()L h h ,3,2,12422/2/2222222222==×===n ma n a m n h m m p E p l （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()ò==×L ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =×2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=\,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,L ,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ÷÷øöççèæ++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x h pL ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V w =中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

量子力学习题解答

量子力学习题解答


解：
（ 1）先求归一化因子，由
∫ ∫ 1=
∞ ψ (x) 2 dx =
−∞
∞ 0
A2 x2e−2λxdx
=
1 4λ3
A2
à
A = 2λ3/ 2
故归一
化波函数为ψ
(
x)
=
2λ3 /
0,
2
xe−
λx
,
当x ≥ 0 当x < 0
∫∞ x en −ax dx 0
=
n! an+1
∫ ∫ ∞
c( p) = −∞
0
(r,θ ,ϕ ) 2r2
sin
θ
drdθ
dϕ
=
4
a
3 0
e − 2r / a0
r 2dr
w(r )
=
4 a03
e −2 r /
a0
r2
dw(r) dr
=
4 a03
2
−
2 a0
r re−2r / a0
令
dw(r) = 0，⇒ dr
r1 = 0,
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时，w(r) = 0 为概率最小位置；
=
α π
h2 α2 2m
⋅
π α
−α
2
⋅
π 2α 3
1
=
α π
h2 α2 2m
π 2α
=
h2 α2 4m
=
h2 4m
⋅
mω h
=
1 hω 4
或 T = E −U = 1 hω − 1 hω = 1 hω
2
4
4
∫ （3） c( p) =
量子力学习题解答-第6章

量子力学习题解答-第6章

第 6 章不含时微扰理论本章主要内容概要1. 非简并微扰理论：设体系的哈密顿为 0'H H H =+ ，其中 0H 的本征函数已经知道，但 是H 的严格解无法求出，若 'H 对应的能量远小于 0H 对应的能量，这时可由微扰理论近似 求解H 的能量本征值和本征函数。

一级近似下（近似到 'H 一次项），能量本征值为(0)(1)(0)(0)'(0)n n n n n nE E E E H y y =+=+ 能量本征函数为(0)'(0) (0)(1)(0)(0)(0)(0)m n n nnnmn mn m H E E y y y yyyy ¹ =+=+ - å其中 (0)n y 是 0 H 本征值为 (0) n E 的本征函数。

(0)'(0) m n H y y 是微扰哈密顿在 0H 表象中的矩阵元。

二级近似下能量本征值为2(0)'(0)(0)(1)(2)(0)(0)'(0)(0)(0)m nn n n n n n n n mn mH E E E E E H E E y y y y ¹ =++=++ - å2. 简并微扰理论：若 0H 的某个能量是k 度简并的，即有k 本征函数 , 1,2,... i i k y = 对应同 一个能量本征值E （这里略写了对应能级的指标） ，要求能量的一级修正，首先在简并子空 间， 即{ } i y 为基矢的表象求出微扰哈密顿 'H 的矩阵元 'i j Hy y ， 然后解 'H 的本征方程'''11 11121 ''' 22 (1) 21222 ''' 12... ... ............ ... k k k k k k kk c c H H H c c H H H Ec c H H H æöæöæö ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ = ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø M M 由此可以求出k 个能量一级修正 (1)i E （可能有重根，表示简并仅部分消除） ，再把得到的每 个 (1)i E 代入本征方程，对每个 (1)i E 可以得到{ } i c ，对应的零级近似波函数为(0)1kij jj c fy = = å 之所以称 (0)i f 为零级近似波函数是由于它们是 i y的线性组合，仍然为 0H 本征值为E 的本 征函数，并且有 (1)(0)'(0) ii i E H f f = 。

量子力学习题解答

量子力学习题解答

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ。