高一数学必修一 2-2-2-4习题课

第1页 共7页 2.2.2.4

一、选择题

1.12log612－log62等于( )

A．22 B．122

C.12 D．3

[答案] C

[解析] 12log612－log62＝12log612－12log62

＝12log6122＝12log66＝12，故选C.

2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( )

A．y＝－log12(－x) B．y＝2＋x1－x

C．y＝x2－1 D．y＝－(x＋1)2

[答案] B

[解析] y＝－log12(－x)＝log2(－x)在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.

3．(09·陕西文)设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为( )

A．[0,1) B．(0,1)

C．[0,1] D．(－1,0]

[答案] A

[解析] 由题意知M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－1

4．f(x)＝ax，g(x)＝－logbx且lga＋lgb＝0，a≠1，b≠1，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象

( )

A．关于直线x＋y＝0对称

B．关于直线x－y＝0对称

C．关于y轴对称

D．关于原点对称

第2页 共7页 [答案] B

[解析] ∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，

f(x)＝ax，g(x)＝－logbx＝－log1ax＝logax

∴f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线x－y＝0对称．

5．(2010·安徽理，2)若集合A＝x log12x≥12，则∁RA＝( )

A．(－∞，0]∪22，＋∞

B.22，＋∞

C．(－∞，0]∪22＋∞

D.22，＋∞

[答案]

A

[解析] log12x≥12，∴0

∁RA＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A.

6．(2010年延边州质检)函数y＝xax|x|(a>1)的图象的大致形状是( )

[答案] C

[解析] ∵y＝xax|x|＝ ax (x>0)－1ax (x<0)，

∵a>1，∴当x>0时，y＝ax单增，排除B、D；当x<0时，y＝－1ax单减，排除A，故

第3页 共7页 选C.

7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )

A．a

C．b

[答案] C

[解析] ∵x∈(e－1,1)，y＝lnx是增函数，

∴－10，∴c>a，∵lnx－2lnx＝－lnx>0，∴a>b，∴c>a>b.

8．设A＝{x∈Z|2≤22－x<8}，B＝{x∈R||log2x|>1}，则A∩(∁RB)中元素个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] C

[解析] 由2≤22－x<8得，－1

∵x∈Z，∴x＝0,1，∴A＝{0,1}；

由|log2x|>1，得x>2或0

∴∁RB＝{x|x≤0或12≤x≤2}，

∴A∩(∁RB)＝{0,1}．

9．(09·全国Ⅰ)已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x>0)，则f(1)＋g(1)＝( )

A．0 B．1

C．2 D．4

[答案] C

[解析] ∵g(1)＝1，f(x)与g(x)互为反函数，

∴f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.

10．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ a，若a≤b；b，若a>b，

则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为( )

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，0] D．[0，＋∞)

[答案] C

第4页 共7页 [解析] ∵a*b＝ a，若a≤b，b，若a>b.而函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的大致图象如右图所示的实线部分，

∴f(x)的值域为(－∞，0]．

二、填空题

11．若正整数m满足10m－1<2512<10m，则m＝______.(其中lg2＝0.3010)

[答案] 155

[解析] 将已知不等式两边取常用对数，则m－1<512lg2

∵lg2＝0.3010，m∈Z＋，∴m＝155.

12．若a＝log3π、b＝log76、c＝log20.8，则a、b、c按从小到大顺序用“<”连接起来为________．

[答案] c

[解析] a＝log3π>log33＝1，b＝log76

log76>log71＝0，c＝log20.8

∴c

13．函数f(x)＝|x－2|－1log2(x－1)的定义域为________．

[答案] [3，＋∞)

[解析] 要使函数有意义，须 |x－2|－1≥0x－1>0x－1≠1，

∴ x≥3或x≤1x>1x≠2，∴x≥3.

14．已知loga12<1，那么a的取值范围是__________．

[答案] 01

[解析] 当a>1时，loga12<0成立，

当0a>0.

第5页 共7页 三、解答题

15．设A＝{x∈R|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax(a>0，a≠1)的最大值比最小值大1，求a的值．

[解析] a>1时，y＝logax是增函数，logaπ－loga2＝1，即logaπ2＝1，得a＝π2.

0

综上可知a的值为π2或2π.

16．已知f(x)＝loga1＋x1－x(a>0且a≠1)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断y＝f(x)的奇偶性；

(3)求使f(x)>0的x的取值范围．

[解析] (1)依题意有1＋x1－x>0，即(1＋x)(1－x)>0，所以－1

所以函数的定义域为(－1,1)．

(2)f(x)为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，

又f(－x)＝loga1－x1＋x＝loga(1＋x1－x)－1

＝－loga1＋x1－x＝－f(x)，

因此y＝f(x)为奇函数．

(3)由f(x)>0得，loga1＋x1－x>0(a>0，a≠1)，①

当0

解得－1

当a>1时，由①知1＋x1－x>1， ③

解此不等式得0

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1

第6页 共7页 ＝0有等根，判断△ABC的形状．

[解析] ∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝4－4lg10(c2－b2)a2＝0，

∴lg10(c2－b2)a2＝1，∴10(c2－b2)a2＝10

∴c2－b2＝a2即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．

18．(1)计算：

lg23－lg9＋lg10(lg27＋lg8－lg1000)(lg0.3)(lg1.2)

(2)设a、b满足条件a>b>1,3logab＋3logba＝10，求式子logab－logba的值．

[分析] (1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；

(2)题设条件与待求式均为x＋y＝c1，x－y＝c2的形式，注意到x·y＝logab·logba＝1，可从x·y入手构造方程求解．

[解析] (1)lg0.3＝lg310＝lg3－lg10＝lg3－1，

lg1.2＝lg1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1.

lg23－lg9＋lg10＝lg23－2lg3＋1＝1－lg3，

lg27＋lg8－lg1000＝32(lg3＋2lg2－1)，

原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32.

(2)解法1：∵logba·logab＝lgalgb·lgblga＝1，

∴logba＝1logab.

由logab＋logba＝103，得：logab＋1logab＝103.

令t＝logab，∴t＋1t＝103，化简得3t2－10t＋3＝0，由a>b>1，知0

∴logab－logba＝logab－1logab＝13－3＝－83.

解法2：logab·logba＝lgblga·lgalgb＝1，

∵3logab＋3logba＝10，∴9(logab＋logba)2＝100，

第7页 共7页 ∴log2ab＋log2ba＝1009－2＝829

∴(logab－logba)2＝log2ab＋log2ba－2＝649.

∵a>b>1，∴logab－logba<0，∴logab－logba＝－83.