(完整)高一上学期数学必修一、必修四期末知识点详解,推荐文档

高一数学必修1各章知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运交集并集补集算定义韦 恩 图 示性 质例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

高中数学必修知识点归纳新课标人教A 版必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素：确定性、互异性、无序性.2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.3、 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 属于不集合A ，记作a ∉A ； 4、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .5、 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（韦恩图法Venn ）.（1）把集合的元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法. （2）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.（3）用平面上封闭曲线（框或圆）的内容代表集合，这种图称为Venn 图. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集.记作B A ⊆（或A B ⊇）， 读作：“A 含于B ”（或“B 包含A ”） 2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，2n —1个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：A ⋂B(读作A 并B).2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∪B(读作A 交B).3、一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有 元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.4、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ，即 C U A ={x|x ∈U ，且x ∉A}.§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数， 记作：()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2、 设a 、b 是两个实数，而且a < b ，我们规定： （1） 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]；（2） 满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）；（3） 满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b),(a ，b]；这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点. 3、————————————————分段函数 4、一般地，我们有：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. §1.3.1、单调性与最大（小）值1、 一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数. 2、 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1） 对于任意的x ∈I ，都有f(x) ≤M ； （2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M.那么，我们称M 是函数y=(x)的最大值. 3、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值→作差→变形→定号→判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3、导数的运算法则 （1）'()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 4、复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.6、求函数的最值(,)a b 内的极值（极大或者极小值） (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质).第二章：基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根.其中+∈>N n n ,1.2、 当n 为奇数时，a a n n=；当n 为偶数时，a a n n=. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作√0n=0.式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开放数.3、 我们规定： ⑴m n mn a a=()1,,,0*>∈>m Nn m a ；⑵()01>=-n a ann； 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.4、一般地，无理数指数幂a a (a >0，a 是无理数)是一个确定的常数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 4、 运算性质： ⑴()Q s r a aa a sr sr∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a ars sr ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab rr r∈>>=,0,0.§2.1.2、指数函数及其性质1、一般地，函数y= a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .记住图象：()1,0≠>=a a a y x3、 性质：§2.2.1、对数与对数运算1、 一般地，如果a x =N ，(a>0，且a ≠1)，那么数x叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数.通常我们将以10为底数的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lgN . 另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为lnN. 指数与对数间的关系：a ＞0,a ≠1时，log x a a N x N =⇔=；负数和零没有对数； 2、对数恒等式：log a NaN =.3、基本性质：01log =a ，1log =a a .4、运算性质：0,0,>>N M ，那么： ⑴()N M MN a a a log log log +=； ⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =（n ∈R ）.5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .6、重要公式：log log n ma a mb b n= 7、倒数关系：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .§2..2.2、对数函数及其性质1、一般地，我们把函数y= log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a————————————————反函数3、 性质：§2.3、幂函数1、一般地，函数y=x n 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数.2、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.2、方程()0=x f 有实数根⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解1、 对于在区间[a ，b ]上连续不断、且f(a )·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2、 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值得步骤如下：（1）确定区间[a ，b ]，验证f(a )·f(b)＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a ，b ）的中点x 1; （3）计算f(x 1)；①若f(x 1)=0，则x 1就是函数的零点；②若f(a )·f(x 1)＜0，则令b= x 1(此时零点x 0∈（a ，x 1）)；③若f(x 1)·f(b )＜0，则令a = x 1(此时零点x 0∈（x 1，b ）) .（4）判断是否达到精确度ε：即若|a-b |<ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体§1.1、空间几何体的结构§1. 1.1、柱、锥、台、球的结构特征常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.1、 棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的测棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.2、 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.3、 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 圆柱和棱柱统称为柱体.4、 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.圆锥和棱锥统称为锥体.5、 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.6、 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台. 棱台和圆台统称为台体.7、 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.§1. 1.2、简单组合体的结构特征 §1.2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的.§1.2.1、空间几何体的三视图球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形. §1.2.2、空间几何体的直观图我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图. §1.2.3、平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点.§1.3、空间几何体的表面积与体积§1.3.1、柱体、锥体、台体的表面积与体积 底面半径为r ，母线长为l⑴ 柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 ⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 §2. 1、点、直线、平面之间的位置关系我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面.1、 公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公里1可以用符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊆α.2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公里3可以用符号表示：P∈α∩β⇒α∩β=l，且P∈l.4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（空间平行线的传递性）.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6、空间两条直线的位置关系有且只有三种：平行、相交、异面.直线与直线平行和相交统称为共面直线.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a，∥a，b，∥b，我们把a，与b，所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.7、直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.8、两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行、相交.平面α与平面β平行，记作α∥β§2. 2、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）.可以用符号表示：aα，b⊆α，且a∥b⟹a∥α.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）.2、平面与平面平行的判定判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）.可以用符号表示：a⊆β，b⊆β，a∩b=P，a∥α，b∥α⟹β∥α.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）.§2. 3、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）.一条直线P A和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、平面与平面垂直的判定从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，平面角是直角的二面角叫做之二面角.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）.性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（简称面面垂直，则线面垂直）.第三章：直线与方程§3.1、直线倾斜角与斜率1、倾斜角与斜率当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan a.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式k =y 2−y 1x 2−x 1.2、 两条直线平行与垂直的判定两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇒k 1=k 2如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于—1；反之，如果它们的斜率之积等于—1，那么它们互相垂直.即l 1⊥l 2⇒k 1k 2=-1.§3.2、直线的方程 1、 直线的点斜式方程()00x x k y y -=- （1）方程（1）由直线上一点及其斜率确定，我们把（1）叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2、 直线的斜截式方程（2）把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距. 方程（2）由直线的斜率k 它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 3、 直线的两点式方程y −y 1y 2−y 1=x −x 1x 2−x 1 （3）这就是经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（其中x 1≠x 2，y 1≠y 2）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 4、 直线的截距式方程x a +yb =1 (4) 我们把直线与x 轴交点（a ，0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b .方程（4）由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 5、 直线的一般式方程我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C =0 （5）（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.它表示过点（0，−CB ），斜率为−AB 的直线.6、对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .4、对于直线：:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .§3.3、直线的交点坐标与距离公式 1、 两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 2、两点间的距离两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）间距离公式：()()21221221y y x x P P -+-=3、 点到直线的距离 点P 1（x 0，y 0）到直线l : Ax ＋By ＋C =0的距离公式： 2200B A CBy Ax d +++=可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立. 4、 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线的长.两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，b kx y +=则 2221BA C C d +-=第四章：圆与方程 §4.1、圆的方程 1、 标准方程（x －a ）2＋（y －b ）2 = r 2. (1)把方程（1）称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. 2、 圆的一般方程：x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F = 0. (2)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程（2）表示一个圆，其中圆心为(,)22D E --，半径为r =方程（2）叫做圆的一般方程. §4.2、直线和圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .弦长公式：222d r l -==2、圆与圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. §4.3、空间直角坐标系 1、 空间直角坐标系以O 为原点，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴 .这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中O 为坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别成为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间一点M 的坐标可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x ，y ，z ）.其中x 叫做M 的横坐标，y 叫做M 的纵坐标，z 叫做M 的竖坐标.2、 空间中两点间距离公式：空间中点P 1（x 1，y 1，z 1），P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离：()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=必修3数学知识点第一章：算法初步§1.1、算法与程序框图 1、 算法的概念算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程.2、 程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言； 4、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；5、算法的三种基本结构： 顺序结构、条件结构、循环结构⎧⎨⎩当型循环结构直到型循环结构⑴顺序结构示意图：（图1）⑵条件结构示意图：①IF -THEN -ELSE 格式：（图2）②（图3）⑶循环结构示意图：①②（图5）§1.2、基本算法语句1（“=”有时也用“←”）.3、条件语句条件语句与程序框图中的条件结构相对应.条件语句的一般格式有两种：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：IF—THEN语句的一般格式为：4、循环语句循环语句与程序框图中的循环结构相对应.一般程序设计语言中都有直到型和当型两种循环语句结构.循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：§1.3、算法案例辗转相除法又叫欧几里得算法.球n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，这种方法称为秦九韶算法.1、辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S和一个余数0R ； ⅱ）：若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ； ⅲ）：若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.2、更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.3、进位制把二进制数转化为二进制数的算法—除2取余法. 十进制数化为k 进制数—除k 取余法. 第二章：统计 §2.1、随机抽样 抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn. 1、 简单随机抽样一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2、 系统抽样 3、 分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. §2.2、用样本估计总体1、用样本的频率分布估计总体分布 总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小.随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减少，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。

高一数学4册全册知识点第一章：数与代数1. 自然数和整数- 自然数的概念和性质- 整数的概念和性质- 自然数和整数之间的转化2. 有理数和无理数- 有理数的概念和性质- 无理数的概念和性质- 有理数和无理数的表示3. 实数- 实数的概念和性质- 实数的表示和分类4. 分数- 分数的概念和性质- 分数的运算- 分数的化简和比较大小5. 百分数- 百分数的概念和性质- 百分数与分数、比例的转化和运算6. 平方根和立方根- 平方根的概念和性质- 平方根的运算和应用- 立方根的概念和性质- 立方根的运算和应用7. 代数式和方程式- 代数式的概念和性质- 方程式的概念和性质- 代数式的运算和化简- 一元一次方程的解法和应用第二章：平面几何1. 点、线、面和角- 点的定义和性质- 线的定义和性质- 面的定义和性质- 角的定义和性质- 角的运算和性质2. 直线和线段- 直线的定义和性质- 线段的定义和性质- 线段的运算和应用3. 平行和垂直- 平行线的概念和性质- 平行线的判定- 垂直线的概念和性质- 垂直线的判定4. 三角形- 三角形的定义和性质- 三角形的分类和判定- 三角形的内角和外角5. 相似三角形- 相似三角形的定义和性质 - 相似三角形的判定和性质 - 相似三角形的应用6. 角平分线和垂心- 角平分线的性质和判定 - 垂心的概念和性质- 垂心的运用7. 圆- 圆的定义和性质- 圆的构造和表示- 圆的切线和切点第三章：函数与图像1. 函数的概念- 函数的定义和性质- 函数的表示和表示域2. 函数的性质和运算- 函数的奇偶性- 函数的单调性- 函数的复合和反函数3. 初等函数- 幂函数的性质- 指数函数的性质- 对数函数的性质4. 函数的图像- 函数图像的绘制和性质- 函数图像的平移、伸缩和反射5. 二次函数- 二次函数的定义和性质- 二次函数的图像和性质- 二次函数的最值和应用第四章：概率与统计1. 等可能事件和事件的概率- 等可能事件的概念和性质 - 事件的概率和性质- 事件的运算和应用2. 条件概率和独立事件- 条件概率的概念和性质- 独立事件的概念和性质- 条件概率和独立事件的应用3. 统计调查和样本调查- 统计调查的方法和步骤- 样本调查的概念和性质- 样本调查的误差和应用4. 数据的表示和分析- 数据的收集和整理- 数据的表示和描述- 数据的分析和应用5. 正态分布- 正态分布的概念和性质- 正态分布的标准化和应用- 正态分布与统计推断以上是高一数学4册全册的主要知识点，通过学习这些内容，可以帮助学生打好数学的基础，并为将来的学习打下坚实的基础。

高中数学最全知识点汇总（必修一二三四）
本文档总结了高中数学必修一至必修四的最全知识点，供学生
复和参考使用。

必修一
数学基础
- 数的表示与比较
- 数的性质
- 数轴与坐标
- 有理数与实数
代数初步
- 代数ic计算
- 整式的加法与乘法
- 因式及其运算
- 分式及其运算
- 方程
几何初步
- 平面直角坐标系
- 直线与方向角
- 点、线、面
- 三角形初步
- 三角形的证明初步
必修二
数与式
- 二次根式
- 算式的组合与解法
- 实数的运算与性质
几何线与线段的位置关系
- 线、线段、角
- 垂直、平行
圆
- 圆与圆的位置关系- 圆的切线
- 圆与直线的位置关系三角函数
- 角度制与弧度制
- 三角比的正切与余切必修三
平面向量
- 向量空间
- 向量的运算
- 向量的数量积
函数基本性质
- 函数的概念与性质
- 函数的图象与性质
三角函数的应用
- 平面解析几何
- 三角函数的图像和性质数列与数学归纳法
- 数列的概念与性质
- 等差数列与等比数列- 数学归纳法
必修四
解三角形
- 生活中的几何问题
- 三角形的周长和面积
- 三角形的相似性
幂指对数函数
- 整函数
- 指对数运算律
概率初步
- 随机事件与概率
- 条件概率与独立性
- 排列与组合问题的概率计算
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集合及其运算知识点1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}函数知识点1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段1函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf (x )，n ∈N *f (x )≥0 1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x ) f (x )＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集 实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法方法 示例 示例答案 配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ 性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎡⎦⎤34，3分离常数法 y ＝x x ＋1y ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)4．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数续表图象描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 5．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M为最大值M为最小值6．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称7.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.8．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．9．幂函数(1)幂函数一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点 (0,0)，(1,1)(1,1)10.二次函数 (1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数递增 区间 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a递减 区间⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞最值当x ＝－b2a时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a11．(1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根n ＞1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±n a负数没有偶次方根(2)两个重要公式①na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数．②(na )n ＝a . 12．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．②负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)；③正分数指数幂：a nm ＝na m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)； ④负分数指数幂：anm -＝anm 1＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 13．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数14．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．15．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1) ①＝N ；②log a a N ＝N ；③log b N ＝log a N log a b；④＝n mlog a b ；⑤log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a nM ＝1n log a M .16．对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0 当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数17．函数的零点(1)函数的零点的概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在闭区间[a ，b ]上连续；②f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．平面向量知识点1．向量的有关概念 名称定义备注平行向量 方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量 运算定 义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量 和的运算三角形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )平行四边形法则减法 求a 与b 的 相反向量 －b 的和的 运算叫做 a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与 向量a 的积 的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 4．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 7．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cosθ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 8．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.9．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．10．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．。

高一数学上册全册知识点一、集合与函数1. 集合的基本概念集合的定义、元素、空集、全集、子集、包含关系、并集、交集、差集等基本概念。

2. 集合的表示与运算列举法、描述法、集合的相等、集合的运算法则，包括交、并、差等运算。

3. 函数的概念与性质函数的定义、自变量、因变量、函数图象、函数的相等、函数的值域、函数的奇偶性等性质。

4. 实数集与实数运算有理数与无理数的概念，实数集合的性质、实数运算法则等内容。

二、数列与数列的极限1. 数列的概念与表示数列的定义、数列的通项公式、数列的前n项和等基本概念。

2. 等差数列等差数列的概念、等差数列的通项公式、求等差数列的和等内容。

3. 等比数列等比数列的概念、等比数列的通项公式、求等比数列的和等内容。

4. 数列极限的概念与性质数列极限的定义、数列上极限和下极限的性质、数列极限的判定方法等内容。

三、函数的基本性质1. 函数的单调性与存在性单调函数的定义、单调递增函数和单调递减函数的判定方法，存在性定理等内容。

2. 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性的判断方法，函数的周期性的概念和刻画方法等内容。

3. 函数的反函数反函数的概念、反函数与原函数的关系、反函数的定义域和值域等内容。

四、三角函数与解三角形1. 三角函数的概念与性质三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等概念和性质。

2. 三角函数的图像与周期正弦函数、余弦函数、正切函数等的图像、周期、定义域等内容。

3. 三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数、正切函数等之间的基本关系式。

4. 解三角形的基本方法利用正弦定理、余弦定理、正切定理等解三角形的基本方法。

五、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与运算平面向量的定义、向量的模、向量的加减、数量积、向量的单位向量等内容。

2. 平面向量的数量积向量的数量积的定义、数量积的性质、数量积的几何意义等内容。

3. 平面几何中的直线与圆直线的一般式与截距式、两直线的关系、圆的方程、切线与法线等内容。

必修1数学基础知识第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I .3、全集、补集§1.2.10、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式：证：任取[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…（称为定义法证明，非重点）例题参考：必修一P.78重点是利用导数求、求证单调性。

一、集合与元素 1、集合与元素概念一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合 2、集合的三种特性（1）确定性。

一个元素a 与集合A 的关系，要么A a ∈，要么A a ∉，两者必居其一，并且只居其一；（2）互异性。

就是指集合中的所有的元素彼此都不相同； （3）无序性。

集合中的元素可以随意排列顺序。

3、集合的表示方法（1）语言描述法。

比如集合{}9,7,5,31，用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合” （2）列举法。

例如{},...9,7,5,3,1、{}99,...,9,7,5,3,1、{}庆京、上海、天津、重北 （3）描述法。

将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。

例如{}01＜x R x A ∈=或者{}01＜x x A =4、常用数集的简称（1）自然数集（非负整数集），记为N ；（注意集合N 中的元素为0，1，2，3，4，5，...） （2）正整数集，记为+N N 或*；（注意集合+N N 或*中的元素为1，2，3，4，5，...） （3）整数集，记为Z ； （4）有理数集，记为Q ； （5）实数集，记为R ；5、集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）6、子集：对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，那么称集合A 为集合B 的子集，记为B A ⊆（或A B ⊇）7、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为∅。

注意，空集是任何集合的子集 8、子集的性质：①任何一个集合都是它自身的子集②若C A C B B A ⊆⊆⊆则,, 9、真子集：若集合B A ⊆，且B A ≠，那么集合A 是集合B 的真子集，记为A B 。

注意空集是任何非空集合的真子集10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号∉∈、表示 11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号⊆、⊄表示；其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号、=13、并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，用符号表示{}B x A x x B A ∈∈=或14、交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集，用符号表示{}B x A x x B A ∈∈=且二、函数概念一、映射（一）映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ,对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．记为：:f A B →，()x f x →这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是()y f x =．x 称作y 的原象． 集合A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域，记作()f A ．注：1． 一对一、多对一是映射，一对多不是映射2． 集合A 中的元素一定有象，集合B 中的元素不一定有原象．（二）一一映射：如果f 是A 到B 的一个映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中有且只有一个原象．（三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．函数是数集到数集的映射． 二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则． 注：①分段函数是一个函数②分段函数的定义域是自变量x 的取值区间的并集，值域是各个区间对应的值域的并集． ③解决分段函数的重要策略就是分类讨论． 三、函数的单调性1.增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，若210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数．2.减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，若210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数．3.对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数； 一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；4.对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数． 当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数．5.设，那么 ①当 ，则 在 上是 增函数； ②当，则 在 上是减函数[]2121,,,x x b a x x ≠∈[]0)()()(2121＞x f x f x x --)(x f []b a ,[]0)()()(2121＜x f x f x x --)(x f []b a ,1.奇函数与偶函数的定义:①设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。

高中数学必修1、4知识点归纳高中数学必修1、4知识点归纳一、必修11.数的性质与分类数的分类有有理数和无理数两类。

有理数又分为整数、有理数、不是整数和有理数、非整数，其中有理数包含有限小数和无限循环小数两种形式。

2.整式代数基础整式是由字母与常数通过四则运算和指数运算得到的代数表达式。

整式的相加减法要先化简同类项，再合并、消去同类项，从而简化计算。

3.多项式与因式分解多项式可以通过因式分解的方式拆分成多个因子的乘积形式。

因式分解的方法有提公因式法、公式法、待定系数法等。

4.一次函数一次函数是指以一次方程为函数表达式的函数。

其中，对于f(x)=kx+b，k称为斜率，b称为截距。

5.二次根式与一元二次方程二次根式是指含有平方根的表达式。

一元二次方程是指最高次项是二次的方程。

6.平面向量平面向量是指有大小和方向的量，常用其模和方向两个量来表示。

平面向量可以进行加法、减法、数乘和数量积等运算。

7.平面向量的基本定理与坐标法平面向量的基本定理包括位移定理、平行四边形定理、三角形面积定理、平行四边形面积定理等。

坐标法是指利用平面直角坐标系表示向量的方法。

二、必修41.平面解析几何初步平面解析几何是指通过代数的方法研究平面上点、直线的几何性质。

其基本原理包括点的坐标、两点间距离、点与直线的关系等。

2.圆的相关性质圆是由平面上到定点距离相等的点构成的集合。

圆的相关性质包括弦长、弧长、切线、割线等。

3.三角形的相关性质三角形是平面上由三条线段相交构成的图形。

三角形的相关性质包括内角和定理、外角和定理、中位线定理、高定理等。

4.三角函数初步三角函数是指在三角形中以角的大小比例表示的函数。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域、值域和性质各不相同。

5.统计与概率初步统计学是研究数据及其处理、分析、解释的学科。

概率是指某件事情发生的可能性。

统计与概率的相关知识点包括统计数据的图表表示、概率的基本概念和计算方法等。

集合及其运算知识点1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}函数知识点1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段1函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法(1)单调函数的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．5．函数的最值6．7.奇((1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.8．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．9．幂函数(1)幂函数一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．(3)二次函数的图象和性质(1)根式的概念(2)①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数．②(na)n＝a.12．有理数指数幂(1)幂的有关概念①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．②负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)；③正分数指数幂：a nm ＝na m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)； ④负分数指数幂：anm＝anm 1＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 13．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数14．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．15．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1) ①＝N ；②log a a N ＝N ；③log b N ＝log a N log a b；④＝n mlog a b ；⑤log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a nM ＝1n log a M .16．对数函数的图象与性质17．(1)函数的零点的概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在闭区间[a ，b ]上连续；②f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．平面向量知识点1．向量的有关概念向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 7．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cosθ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 8．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.9．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)． (2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 10．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)．。

结总高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1. 元素确实定性；2. 元素的互异性；3. 元素的无序性说明：(1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，一样的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考察排列顺序是否一样。

(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ , } 如{我校的篮球队员}，{ 太平洋, 大西洋, 印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集N* 或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于〞的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说 a 属于集合 A 记作a∈A ，相反，a 不属于集合 A 记作a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2} 或{x| x-3>2}4、集合的分类：〔1〕．有限集含有有限个元素的集合〔2〕．无限集含有无限个元素的集合〔3〕．空集不含任何元素的集合例：{x|x2= －5｝二、集合间的根本关系1. “包含〞关系—子集注意：有两种可能〔1〕A是B的一局部，；〔2〕A与B是同一集合。

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高中数学必修1知识点总结1。

对于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？A 表示 ，B 表示 ,而C 表示2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题.空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂3。

注意下列性质：{}的所有子集的个数是，……，，）集合（n a a a 211要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2， a 3，……a n ，都有2种选择,所以,总共有2n 种选择， 即集合A 有 个子集。

故真子集个数为 ，非空真子集个数为 （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3)德摩根定律：()=B A U C ()=B A U C4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法) 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

高中数学必修 1 知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A = {x | y = lg x }，B = {y | y = lg x }，C = {(x , y ) | y = lg x }，A 、B 、C中元素各表示什么？A 表示，B 表示，而 C 表示2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A = {x|x 2 - 2x - 3 = 0}，B = {x|ax = 1}若B ⊂ A ，则实数a 的值构成的集合为3. 注意下列性质：（1） 集合{a 1，a 2，……，a n }的所有子集的个数是要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在）。

同样， 对于元素 a 2, a 3,……a n ,都有 2 种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合 A 有 个子集。

故真子集个数为，非空真子集个数为（2） 若A ⊆ B ⇔ A B = A ，A B = B ；（3） 德摩根定律：C U (A B )= C U (A B )=4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x 的不等式 ax - 5< 0的解集为M ，若3 ∈M 且5 ∉M ，求实数ax 2 - a的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数 f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(-∞,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是 x=1.4. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)5. 求函数的定义域有哪些常见类型？x (4 - x )例：函数 y = lg (x - 3)2 的定义域是函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

高一数学必修1和必修4知识点一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；★例题：求函数x x x x f --++=11)1()(2的定义域？3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； ★例题：求函数）（）（x x x f 211log )(-+=的定义域？4、三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；★例题：求函数)32(tan )(π-=x x f 的定义域？5、抽象函数的定义域；★例题：已知函数)(x f 的定义域为[]1,1-，求)1-2(x f 的定义域；★例题：已知函数)1-2(x f 的定义域为[]1,1-，求)12()(+x f x f 和的定义域；二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、配方法; ★例题：求函数)(,2)1(2x f x x x f 求+=+;4、待定系数法；★例题：求函数,)(2x x f =g(x)为一次函数，且一次系数大于0，若,25204))((2+-=x x x g f 求f(x);5、函数方程法；★例题：求函数)(,23)1()(2x f x xf x f 求+=+;★例题：已知函数)(x f 是偶函数，)(g x 是奇函数，且2)(g )(2-+=+x x x x f ，求)(x f 和)(x g 的解析式；6、奇偶性；已知)(x f 是R 上的奇函数，当x>0时x x x f 2)(2+=，求)(x f ;三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；★例题：求函数12)(-+=x x x f 的值域；3、几何法；★例题：求函数21)(-++=x x x f 的值域；4、单调性法；★例题：求函数[)(]1,11,2,11-2)(-⋃--∈+=x x x x f 的值域； 5、直接法；★例题：求函数2-4)(x x f =的值域；四、函数的最值的常用求法：1、配方法；★例题：求函数[]3,1,64-)(2-∈++=x x x x f 的最值；2、换元法；★例题：求下列函数的最值：（1）1-2)(-=x x x f ；（2）)82(5log log )(241241≤≤++=x x x x f ）（；（3）)11(32)2()(2≤≤-+-=x x f x x 3、几何法；★例题：求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<-≤+=4,240,20,4)(2x x x x x x x x f 的最值；★例题：求函数32-)(2++=x x x f 的最值；4、单调性法；★例题：求函数(]3,1,1)(∈+=x xx x f 的最值；5、定轴不定区间和定区间不定轴; ★例题：已知函数[]1,012-)(2在m mx x x f -++=上的最大值为2，求m 的值；五、函数单调性的常用结论：1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数3、若()f x 与)(x u 的单调性相同，则[])(x u f y =是增函数；若()f x 与)(x u 的单调性不同，则[])(x u f y =是减函数。

高中数学必修一必修四知识点总结(共26页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学知识点总结高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖〗集合【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【】集合的基本运算交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> 把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法判别式 24b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x < 122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅【】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把元a Ab B素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖〗函数的基本性质【】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． （3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质定义图象 判定方法函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）o②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的nn 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【】指数函数及其性质（4〖〗对数函数 【】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：loglog (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 【】对数函数及其性质(6)设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a ->，则()m f p =．xx xx xxxx 0x xx (q)0x x x f xx f x 0x x x x 0x高中数学 必修4知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．.（3） 倒数关系：tan cot 1αα=12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15 sin y x =cos y x = tan y x =y=cotx图象y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R R最值 当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，既无最大值也无最小值 既无最大值也无最小值函 数性 质()k ∈Z 时，min 1y =-． min 1y =-．周期性 2π2ππ π奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性 对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭ 无对称轴对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭ 无对称轴第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．baC BA18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。