题型专项研究：解直角三角形的实际应用
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题型5 解直角三角形的实际应用
,备考攻略)
1．锐角三角函数的概念的应用．
2．特殊三角函数值．
3．解直角三角形的应用．
特殊三角函数容易混淆；不会构造直角三角形．
准确理解与掌握三角函数的定义，熟记特殊三角函数值，会构造直角三角形并应用直角
三角形和三角函数来解题．
熟记几个特殊的三角函数值
三角函数
角α
sinα cosα tanα
30°
1
2
32 3
3
45°
22 2
2
1
60°
3
2
1
2
3
从表中不难得出：
sin230°＋cos230°＝1，sin30°cos30°＝tan30°
sin245°＋cos245°＝1，sin45°cos45°＝tan45°
sin260°＋cos260°＝1，sin60°cos60°＝tan60°
那么，对于任意锐角A，是否存在sin2A＋cos2B＝1，sinAcosA＝tanA呢？
事实上，同角的三角函数之间，具有三个基本关系：
如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边依次为a，b，c
则①sin2A＋cos2A＝1(平方关系)
②tanA＝sinAcosA，cotA＝cosAsinA(商的关系)
③tanA·cotA＝1(倒数关系)
,典题精讲)
【例】(2017广安中考)如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，
CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β
为30°，甲建筑物的高AB＝30 m.
求：(1)甲、乙两建筑物之间的距离AD；
(2)乙建筑物的高CD.
【解析】(1)在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；(2)作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE
中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD＝AE＝AB－BE求解．
【答案】解：(1)在Rt△ABD中，
AD＝ABtanα＝303＝103(m)；
(2)作CE⊥AB于点E.
在Rt△BCE中，CE＝AD＝103 m，
BE＝CE·tanβ＝103×33＝10(m)，
则CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20(m)．
答：乙建筑物的高度DC为20 m.
1．(2016昆明中考)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，
在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点
B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离．(结
果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.则DE＝BF＝CH＝10
m.
在Rt△ADF中，∵AF＝80－10＝70 (m)，
∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝70 m，∴BE＝DF＝70 m.
在Rt△CDE中，∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DEtan30°＝1033＝103(m)，
∴BC＝BE－CE＝70－103≈70－17.32≈52.7(m)．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7 m．
2．(2017丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m, ∠
BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1 m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°
≈0.34，tan70°≈2.75)
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则EF＝BC＝0.15 m.
∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，
∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°.
在Rt△AFB中，AB＝2.7，
∴AF＝2.7cos70°≈2.7×0.34≈0.918，
∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．
答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m．
3．(2017绍兴中考)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测
得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的
距离AB＝30 m.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)
解：(1)过点C作CE⊥BD，
则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，
∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°；
(2)由题意得：CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈10.80 m，
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈9.60 m，
∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60＝20.4 m，
答：教学楼的高约为20.4 m.
4．(2017德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，
检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9 s．已
知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(结果保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，
2≈1.4)
解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
则AD＝10 m.
∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，
∴Rt△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10 m.
在Rt△ABD中，tanB＝
AD
BD
，
∵∠B＝30°，
∴33＝
10
BD
，∴BD＝103 m，
∴BC＝BD＋DC＝(103＋10)m；
(2)这辆汽车超速．理由如下：
由(1)知BC＝(103＋10)m，又3≈1.7，
∴BC＝27 m，∴汽车速度v＝270.9＝30 m/s.
又∵30 m/s＝108 km/h，此地限速为80 km/h，
108>80，
∴这辆汽车超速．
