中南大学2018有限元习题

《有限元分析与应用》详细例题试题1:图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水圧力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下儿种计算方案进行比较：1）分别采用相同单元数LI的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别釆用不同数量的三节点常应变单元计算；3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。

一.问题描述及数学建模不同勿份方案翩无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。

二・建模及计算过程1.分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）:进入ANSYS【开始】f【程序】fANSYS -►ANSYS Product Launcher -^change the working directory -►JobName: shitil-^Run设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences -^select Structural f OK选择单元类型单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。

ANSYS MainMenu: Preprocessor -►Element Type-*Add/Edit/Delete -►Add -^select Solid Quad 4 node 42 f OK (back to Element Types window) f Options... -^-select K3: Plane Strainf OKf Close (the Element Type window)定义材料参数材料为钢，可查找钢的参数并在有限元中左义，其中弹性模ME=210Gpa,泊松比vtANSYS Main Menu: Preprocessor f Material Props -►Material Models -►Structural -^Linear f Elastic f Isotropic f input EX:，PRXY: f OK生成几何模型生成特征点ANSYS Main Menu: Preprocessor —Modeling Create -*Keypoints ~*ln Active CS —依次输入四个点的坐标:input:l{0/0)/2(3/0)/3(6,0)/4(3/5)/5(0,10)/6(0/5)-*OK生成坝体截而ANSYS Main Menu: Preprocessor Modeling -*Create -*Areas -►Arbitrary -►Through KPS f 依次连接126;234;246;456这三个特征点一OK网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor f Meshing -►Mesh Toolf ⑸ze Controls) Global: Set -►inputNDIV: I-*OK f (back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free -*Mesh f Pick All (inPicking Menu) f Close( the Mesh Tool window)模型施加约束分别给下底边和竖直的纵边施加x和y方向的约朿ANSYS Main Menu: Solution Define Loads Apply f Structural -^Displacement f On lines f 选择底边f OK ->select:ALL DOF f OK给斜边施加x方向的分布载荷ANSYS命令菜单栏:Parameters -^Functions -*Define/Edit -*1）在卜方的卜拉列表框内选择x，作为设麗的变量：2）在Result窗口中岀现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}；3） File>Save（文件扩展洛：func）f 返回：Parameters f Functions -►Read from file；将需要的・func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷f OK -^ANSYS Main Menu: Solution -►Define Loads —Apply f Structural -►Pressure -►On Lines f 拾取斜边：OK f 在下拉列表框中，选择：Existing table （来自用户定义的变量）f OK -选择需要的载荷参数名一OK分析计算ANSYS Main Menu: Solution -►Solve -^Current LS -*OK(to close the solve Current Load Step window) f OK结果显示确左当前数据为最后时间步的数拯ANSYS Main Menu: General Postproc -►Read Resultf Last Set 查看在外力作用下的变形ANSYS Main Menu: General Postproc —Plot Results Deformed Shape-* select Def + Undeformed f OK 查看节点位移分布情况Contour Plot -*Nodal Solu..・-^select: DOF solution->Displacement vctor sum-^Def + Undeformed f OK 查看节点应力分布情况Contour Plot f Nodal Solu... f select: Stress-*-XY shear stress-*- Def + Undeformed-^OK退出系统ANSYS Utility Menu: File-* Exit...-* Save Everything-*OK三.结果分析三节点常应变单元（6个节点，4个单元）儿何模型图ANOCT 10 201016：46：1€变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图3TEP-1 SUB -：TDC-l ANOCT 10 SCIOx&：2i：ieKO SAX SCLTriSRSUB -1TDE-175TU IX79-. 2SY3-03MX -.109E-3&AN81 10 N101^:22:40.UL£-0«■'aE'>铃"侥六节点常应变单元（6个节点，4个单元） 儿何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图■QQM r -r~：：r MCAL acunzoc5TT5-：SUB "I T2C-：rrTCKY ap MYfl-3 :«x ・.i03«-nRO» -.M<s-3T n<x -.ioez-oeANOCT 10 Z010.444Z-3： .MM-3? .0Z»E ・S . lOGZ^Ciwr-^iANOCT 10 20103«F-1 an .1 TDX-l na «.:ex-» ANon io RiorniMMKOU ：Ct7T ：：f MIX•： nxE-i i*n> FSY3-)Mi ..”《CV6 x •.jex -^sKXANon 10 K101；.：---.仇.liiC-»S.1)31^5.；5：£-35•wu -w・，““T9inc-n・ WH -P >分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较单元划分方案变形大小应力大小应变大小值的比较分析■9三节点三角形单元DMX:SMX:DMX:SMN:2778SMX:8749DMX:SMN:SMX:1.最大变形值小：12.最大应力值小；3.最大应变值小。

1如图所示的平面，板厚为0.01m，左端固定，右端作用50kg 的均布载荷，对其进行静力分析。

弹性模量为210GPa，泊松比为0.25.
2简支梁的变形分析
计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: beam。

NOTE:要求选择不同形状的截面分别进行计算。

梁承受均布载荷：1.0e5 Pa
10m
图1-1梁的计算分析模型
梁截面分别采用以下三种截面（单位：m）：
矩形截面：圆截面：工字形截面：
B=0.1, H=0.15 R=0.1 w1=0.1，w2=0.1，w3=0.2,
t1=0.0114，t2=0.0114，t3=0.007
3 超静定桁架的有限元建模与分析
计算分析模型如图5-1 所示, 习题文件名: truss 。

载荷：1.0e8 N
4平板的有限元建模与变形分析
计算分析模型如图7-1 所示, 习题文件名: plane
0.5 m
0.5 m
板承受均布载荷：1.0e5 Pa。

第三章 平面问题的有限元法作业1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。

求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。

4第1题图 第2题图2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。

试求A 、B 、C 三点的位移。

其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。

3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。

试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。

第3题图 第4题图4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。

试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。

已知单元厚度为t ，不计自重。

5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？934679121134612142(a) (b) (c)第5题图6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。

2a(a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。

利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。

第7题图答案：1. 1）形函数i x N a =， j y N a = ， 1m x y N a a=-- 2）应变矩阵[]1000101000101011011B a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦3）应力矩阵[]10001010001011111002222S a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦2. A 点的位移为()2312A u u u =+ ， ()2312A v v v =+ B 点的位移为()24313B u u u u =++ ， ()24313B v v v v =++ C 点的位移为()1223C a u u u =+ ， ()C 1223av v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为{}111100003663Tei j i jR q q q q ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦4. （2）整体等效节点载荷向量为{}111100006322TR qlt P qlt P Pqlt qlt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 7. （1） 减缩后的整体刚度方程22122122222221110222021102(1)22102x x b b ab R b ab b P v Etab a b ab ab R v b a μμμμμμμμμ---⎡⎤--⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪--⎪⎪⎢⎥⎪⎪-⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬---++⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭-⎢⎥⎩⎭+⎢⎥⎣⎦ 节点位移22(1) PbvEat μ+=-，2212212b av vbμ-+=单元应力为愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

有限单元法与程序Ansys 上机实践题目1. 图1示为一带圆孔的单位厚度的正方形平板，在x 方向作用均布压力0.25Mpa ，试用矩形单元和六节点三角形单元对平板进行有限元分析，绘出变形及应力云图，并与弹性力学理论解对比，说明有限元数值解的特性。

图12. 试生成图2所示双孔板拉伸问题恰当的有限元网格（L =1000mm ），计算孔边最大应力σmax ，绘出变形及应力云图。

并通过网格细分说明结果的精度。

图23. 两端简支、狭长矩形截面直梁，顶面受到集度为q 的均布荷载作用，求中间截面的应力分布及梁中性线上的剪应力分布曲线和挠度曲线。

梁长为80cm ，高度10cm ，厚度1cm ，材料E=2×10^5 MPa ，γ=0.3，q=10MPa ，计算要求：（1）绘出梁中间截面上的应力分布图，并标明最大值；（2）绘出梁中性线的剪应力的分布曲线和挠度曲线，并标明最大值；（3）比较不同单元形式和网格密度对计算结果的影响，分析位移解的收敛性和收敛速度及位移解的下限性；（4）与材料力学及弹性力学解答比较，并分析造成差别的原因。

4. 如图4示带方孔（边长为80mm ）的悬臂梁，其上受部分均布载荷（p=10Kn/m ）作用，试采用一种平面单元，对图示两种结构进行有限元分析，并就方孔的布置进行分析比较，如将方孔设计为圆孔，结果有何变化？（板厚为1mm ，材料为钢）σ0σ图45. 如图5所示八角形管道，取图中八角形管道的22.5°区域建立有限元模型，求出这部分变形后的形状，并给出平面内的最大剪应力分布。

图56. 如图6所示的扭矩臂是一个汽车零件，它被固定在左端螺栓孔处。

求最大的Von Mises应力的位置和大小。

图67. 如图7所示一铜制槽环，在受到两个大小都为P的力作用下，宽度为3mm的右缺口恰好闭合，求荷载P的大小和变形后的形状。

图78.对图8示具有钢衬套的混凝土压力容器进行应力分析.取混凝土的E=30GPa，μ=0.15. 钢衬套的E=205GPa，μ=0.25.钢衬套的厚度为50mm，压力P=700KPa。