全国初中数学联赛试题及答案

第 1 页 共 9 页 2007年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为DCBA,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.

1. 已知zyx,,满足xzzyx532，则zyyx25的值为 （ ）

（A）1. （B）31. （C）31. （D）21.

【答】B.

解 由xzzyx532得xzxy23,3，所以31333525xxxxzyyx，故选（B）.

注：本题也可用特殊值法来判断.

2．当x分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）

（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.

【答】C.

解 因为222211)1(1)1(1nnnn011112222nnnn，即当x分别取值n1，nn(为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1x时，0111122.因此，当x分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.

第 2 页 共 9 页 3. 设cba,,是△ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，则△ABC是 （ ）

（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.

【答】D.

解 由题意可得,5822,1)2(2bbacbabac即,53,2bcacb所以bc53，ba54，因此222bca，所以△ABC是直角三角形. 故选（D）.

4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（ ）

（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°.

【答】C.

解 锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE、AE，则CE//AH，AE//CH，则ODCEAHOB2，所以∠OBD＝30°，∠BOD＝60°，所以∠A＝∠BOD＝60°.故选（C）.

5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，则ABCDEFSS△△:的值为 （ ）

（A）91. （B）92. （C）94. （D）32.

【答】A.

解 分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P，由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以ABCMNPSS△△41.

易证△DEF∽△MNP，且相似比为3:2，所以MNPDEFSS△△2)32(ABCS△4194ABCS△91.

所以:DEFS△19ABCS△.故选（A）.

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）

（A）101. （B）51. （C）103. （D）52.

【答】B.

解 设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则zyx,,都是正整数，且A

E

C B D O H

第 3 页 共 9 页 7,6,5zyx，15zyx.因为13zy，所以x可取值2，3，4，5.

当2x时，只有一种可能，即7,6zy；

当3x时，12zy，有2种可能，7,5zy或6,6zy；

当4x时，11zy，有3种可能，7,4zy或6,5zy或5,6zy；

当5x时，10zy，有4种可能，7,3zy或6,4zy或5,5zy或4,6zy.

因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102.故选（B）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1. 设121x，a是x的小数部分，b是x的小数部分，则abba333____1___.

解 ∵12121x，而3122，∴122xa.

又∵12x，而2123，∴22)3(xb.∴1ba，

∴abba333abbababa3))((221)(3222baabbaba.

2. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程22(2)20xnxn的两个根记作nnba,（2n），则)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba=.10034016

解 由根与系数的关系得2nbann，22nnabn，所以

)2)(2(nnba(2nnba4)nnba222(2)42(1)nnnn，

则11111()(2)(2)2(1)21nnabnnnn，

第 4 页 共 9 页 )2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba

＝11111111111003()()()()22334200720082220084016L.

3. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为6,10,2ADCDBCAB，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BFBE的值为____4_____.

解 延长CD交⊙O于点G，设DGBE,的中点分别为点NM,，则易知DNAM.因为10CDBC，由割线定理，易证DGBF，所以42)(2)(2ABAMBMDNBMDGBEBFBE.

4． 若64100a和64201a均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是___17____.

解 设264100ma，264201na，则100,32nm，两式相减得

))((10122mnmnmna，因为101是质数，且101101mn，所以101mn，故1012nmna.代入264201na，整理得0202374022nn，解得59n，或343n（舍去）.

所以171012na.

第二试 （A）

一、 （本题满分20分）设nm,为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求nm,的值.

解 因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为3mt. A B

C D E F

G M

N

第 5 页 共 9 页 由题意，32mttn，即22(3)(2)mttn，即222(4)(64)90mtmntn.

由题意知，042m，且上式对一切实数t恒成立，所以

,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm

22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm

二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.

证明 设MN与EF交于点P，∵NE//BC，

∴△PNE∽△PBC，∴PCPEPBPN,

∴PCPNPEPB.

又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴PFPEPBPM,

∴PFPMPEPB.

∴PFPMPCPN,故PFPCPNPM

又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC

∴∠ANF＝∠EDM.

又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.

∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.

三、 （本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程056)38()17(23xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根.

解 观察易知，方程有一个整数根11x，将方程的左边分解因式，得

056)18()1(2xaxx

因为a是正整数，所以关于x的方程

056)18(2xax （1）

的判别式0224)18(2a，它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2a应A

B C D E F M

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