2015年全国初中数学联赛试题及答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第二试（A）
（3月22日上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
求所有的两位数 ，使得 的末两位数字构成的数恰好为 .
二、（本题满分25分）
在四边形 中， ， ， ＝ ，求 .
2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试（A）
（3月22日上午8﹕30——9﹕30）
考生注意：1.本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.
2.用圆珠笔或钢笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．若 ，则 （）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
2．设实数 满足： ， ，则
（）
A.9 B. 6 C. 3 D. 0
3．锐角△ 中， 边的中垂线和 的角平分线相交于点 ．若 ， ，则 ＝（ ）
A．24°B．28°C．30°D．36°
4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（）
A．11 B．12 C．17 D．18
三、（本题满分25分）已知 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为．
3．设 是小于100的正整数且使 是6的倍数，则符合条件的所有正整数 的和是．
4．将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为．

第一试（A）
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3, a2 b2 c2 4 ，则 A．0 【答】D． 【解析】 B．3 C．6
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 =（ 2c 2a 2b
D．9
）
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 9 ． 2c 2a 2b 2c 2a 2b
2． 若抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点， 且过 A(m, n) ，B(m 8, n) ， 则 n （ A．8. 【答】 C 【解析】法一（LTX） ： 依题意，设抛物线解析式为 y ( x h)2 ， 因为它过 A(m, n) ， B(m 8, n) ， 所以 h m 4 ，故 n (m h)2 (4)2 16 ，选 C . 法二： 由题意， b 8 2m ，
2 2 2
）
A．3 【答】D．
B．6.
C ．9
D．12
【解析】设 x y t ，则 x y t ， 代入题设等式得 ( y t )2 ( y t ) y y 2 3 ，整理得 3 y 2 3ty t 2 3 0 . 由判别式 (3t )2 12(t 2 3) 3 得 2 3 t 2 3 ，故 ( x y)2 t 2 12 . 5．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 6．设 n 是小于 100 的正整数且使 2n2 3n 2 是 6 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和 是（ ） B．850 C．1536 D．1634

２ ０ １ ５ 年全国初中数学联赛 第二试 ） 试题及参考答案 （
第二试 （ Ａ） 一、 （ 本题满分２ 关于ｘ 的方程 槡 ０ 分） ｘ －ｍ
２ ２ 求实数 ＋ ２ ｘ 有且仅 有 一 个 实 数 根 ， ｘ － １＝ 槡 的取值范围 ｍ ． ２ 解 将所给方程记为方程 ① ， 显然有 ｘ ≥
Ｆ－Ｄ Ｆ Ｃ Ｄ， （ 如 果Ｂ 证 明： ２） ＝ ＭＮ ＝ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ ＭＤ．
证明 （ 使得 １）在 Ｂ Ｅ 上 取 一 点 Ｐ，
①
）－ （ ｍ＋ ｎ－ １ ４ ｍ ｎ－ｍ－ ｎ） Δ ＝（ ２ （ ） （ ） ＝ ｍ＋ ｎ － ４ ｍ ｎ＋ ２ ｍ＋ ｎ ＋ １
２
ｚ ｘ ｓ ｓ ． ｃ ｂ ｔ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ｚ ｘ ｓ ｓ ｈ ｉ ｎ ａ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ． ｎ ｅ ｔ ． ｃ ｎ 网址 ： 电子邮箱 ： ＠ｃ ｐ ｊ
至少有一个正整数解 ， 所以 Δ 应为完全平方数 ．
２ 注意 到 Δ＝ （ ｍ －ｎ） ＋（ ｍ ＋ｎ） ＋１＝ ２ ２ （ ）＋ ）， ｍ－ ｎ＋ １ ４ ｎ＞ （ ｍ－ ｎ＋ １ ２ （ ｍ－ ｎ） ＋ ２ ｍ＋ ｎ） ＋ １ Δ ＝（ ２ ） ） ， ＝（ ｍ－ ｎ＋ ３ －（ ４ ｍ－ ８ ｎ＋ ８ 若４ ， 即 ｍ＞ ， ｍ－ ８ ｎ＋ ８ ０ ２ ｎ－ ２ ＞ ２ 即 Δ＜ （ ） ， ｍ－ ｎ＋ ３ ２ ２ 从而有 （ ） ） ， ｍ－ ｎ＋ １ ｍ－ ｎ＋ ３ ＜Δ＜ （
ｍ 且ｘ≥ １ ．
２ ２ 若 ｍ ＜０ ， 则 槡 此 ｘ －ｍ ＋２ ｘ － １ ＞ｘ， 槡 不符合题意 ， 故 ｍ≥ 时方程 ① 无解 ， ０ ． ２ ２ 方程 ① 变 形 得 ２ ｘ － １＝ｘ－ 槡 ｘ －ｍ ， 槡 ２ 两 边 平 方 后 整 理 得 ２ ｘ ＋ ｍ － ４ ＝ ２ 再平方 ， 整 理 得 ８（ － ２ ｘ ｘ２ ２－ｍ） ｘ ＝ －ｍ ， 槡 ２ （ ）． ｍ－ ４

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14．12
【详解】
设三角形的三边长为 ，则 ， ，所以 ，故 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组 可以为：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， .
共12组，所以，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12
15．4
【详解】
连接 ， ，作 于 ， 于 .
∵ 平分 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ ，∴ .
因此 ，从而可得 ，所以 .
又因为 ，所以有 ，整理即得
20．最小值为
【详解】
解因为 ，所以 ，所以
.
设 ，则 ，
当 时取得等号.
所以， ， .
因此，当 ， 时， 取得最小值 .
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
证明（1）在 上取一点 ，使得 ，则 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
16．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数 ， ， ， ， ，使得 最小，则这个最小值为___________．
三、解答题
17．关于 的方程 有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围．
18．如图，圆内接四边形 的对角线 、 交于点 ，且 ， ．过点 作 ，交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 、 于点 、 ．
3．矩形 中， ， ， 、 分别为矩形外的两点， ， ，则 （）
A． B．15C． D．
4．已知 为坐标原点，位于第一象限的点 在反比例函数 的图象上，位于第二象限的点 在反比例函数 的图象上，且 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．2
5．已知实数 ， 满足关系式 ，则 的最小值为（）
A． B． C．1D．
22．若关于 的方程 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 的值．