《数列的基本概念》

高中数学数列的基本概念教案一、知识点回顾类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:(1) 0,23,38,415,…； (2) 1, 43-,95,167-,…； (3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6, 1, 6,1,….举一反三：【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1, 1, 1, 1,…；(2) -1, 1, -1, 1, …；(3) 1, -1, 1, -1, …；(4)1111--234，，，, …； (5) 2，0，2，0，….类型二：通项公式的应用例2．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？(1) 94；(2) 71.举一反三：【变式1】数列{}n a 的通项公式为1(n 21n n a n n ⎧⎪=⎨⎪-⎩是奇数）（是偶数）它的前8项依次为【变式2】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++,（1）若9900n a =，试问n a 是第几项？（2）56和28是否为数列{}n a 的项？类型三：递推公式的应用例3. 设数列{}n a 满足：11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，写出这个数列的前五项。

举一反三：【变式1】已知数列{}n a 满足：21=a ，n n a a 21=+，写出前5项，并猜想n a ．【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1a a =(0)a >，111b a -=，222b a -=，333b a -=. 若1a =，求数列{}n a 的通项公式；例4.（1）已知数列{}n a 满足111,1(2),n n a a a n -==+≥写出这个数列的通项公式.（2）已知数列{}n a 满足111,(2),1n n a n a n a n -==≥+写出这个数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列{a n }满足a n ＋1＝na -11，a 8＝2，则a 1＝ ．【变式2】已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________. 类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a .（1）221n S n n =-+， (2)2log (1)n S n =+.举一反三：【变式1】已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =-，求通项n a .【变式2】已知数列{}n a 的前n 项积2n S n =+，求通项n a类型五：数列与函数例6.已知函数()22,x x f x -=-数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-，（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 证明数列{}n a 是递减数列.举一反三：【变式1】已知数列{}n a 中323n n a n -=+,判断数列{}n a 的单调性，并给以证明.【变式2】数列{}n a 中：11a =,122n n n a a a +=+（*n N ∈）二、巩固拓展1．已知数列的通项公式：31()22()n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8 2．已知a n ＝n 2＋n ，那么( )A ．0是数列中的项B ．20是数列中的项C ．3是数列中的项D ．930不是数列中的项 3，…则( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 4．数列－1，43，95-，167，…的一个通项公式是( ) A ．2(1)21n n n a n =-- B ．(1)(1)21nn n n a n +=-- C ．2(1)21n n n a n =-+ D ．32(1)21n n n n a n -=-- 5.2n n a n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（ ） A.1n n a a +> B. 1n n a a +< C. 1n n a a += D. 不能确定 6.已知数列{}n a 的前n 项和S n =3+2n, 则a n =__________. 7.已知数列{}n a 前n 项和S n =5n 2-n, 则a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=_________. 8.已知数列{}n a 中，11a =, 1422n n a a +=-+. 那么数列{}n a 的前5项依次为_________. 9. 在数列21121,0,,,,98n n --…………中，0.08是它的第______项． 10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是: (1)21, -54,109, -1716,……； (2) 32, 154, 356, 638,……; (3) 5, 55, 555, 5555, ……;(4) 3,5,3,5,…….11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n -1)=n ， 求a n .12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2+λn, 若数列{a n }为递增数列，试求最小的整数λ.13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (*n N ∈)；(2) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (*n N ∈).14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．15. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)．通过公式1n n na b a +=构造一个新数列{b n }，试写出数列{b n }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？。

数列知识点总结数列是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用及运用场景。

本文将对数列的基本概念、常见数列以及数列的性质和应用进行总结和归纳。

一、基本概念数列是按特定顺序排列的数，通常用字母a、b、c等表示。

数列中的每个具体的数称作数列的项，用an表示第n项，n为项号。

数列可以是有限个数或者无穷个数。

二、等差数列等差数列是指数列的相邻两项之差固定的数列。

设a为首项，d为公差，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。

其中，n为项号。

等差数列的性质如下：1. 公差d是等差数列的一个重要概念，它表示相邻两项之间的差值。

如果d>0，则数列递增；如果d<0，则数列递减。

2. 等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a + an)。

3. 若两个数列的公差相同，则称它们为等差数列。

三、等比数列等比数列是指数列的相邻两项之比固定的数列。

设a为首项，q为公比，则等比数列的通项公式为an = a * q^(n - 1)。

其中，n为项号。

等比数列的性质如下：1. 公比q是等比数列的一个重要概念，它表示相邻两项之间的比值。

如果|q|>1，则数列递增；如果|q|<1，则数列递减。

2. 等比数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。

3. 若两个数列的公比相同，则称它们为等比数列。

四、等差数列与等比数列的联系与区别1. 等差数列的相邻两项之差固定，等比数列的相邻两项之比固定。

2. 等差数列的通项公式an = a + (n - 1)d，等比数列的通项公式an =a * q^(n - 1)。

3. 等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a + an)，等比数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。

五、特殊数列1. 斐波那契数列是指第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

在数列中的每一个数称为这个数列的项.
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
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思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项

数列的概念基础数列是按照一定的规律排列的一组数。

每个数称为数列的项，项之间的关系由数列的通项公式或递推公式决定。

数列是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，如代数、几何、物理、经济等。

数列可以分为等差数列和等比数列两大类。

等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差保持不变，这个差值称为公差，用d表示。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，n表示项数。

例如，1，3，5，7，9是一个公差为2的等差数列，其通项公式为an = 1 + (n-1)2。

等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比保持不变，这个比值称为公比，用q 表示，且q不等于0。

等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，n表示项数。

例如，1，2，4，8，16是一个公比为2的等差数列，其通项公式为an = 1 * 2^(n-1)。

数列的概念不仅局限于等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如等差-等比数列、斐波那契数列等。

等差-等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比为固定值，且差也是固定值。

斐波那契数列是指数列中的每一项是前两项之和，即第n项等于第n-1项与第n-2项之和。

数列的概念还可以推广到无穷数列。

无穷数列是指项数无限的数列。

对于无穷数列，通常使用极限的概念来描述其性质。

例如，等差数列的极限为无穷大或无穷小，而等比数列的极限只有在公比的绝对值小于1时才存在。

在现实生活中，数列的应用非常广泛。

在数学中，数列常常用于数学证明、解题和推导过程中。

在物理学中，数列常常用于描述物体的运动和变化规律，如自由落体运动、振动运动等。

在经济学中，数列常常用于描述经济指标的变化趋势，如GDP的增长、失业率的变化等。

总之，数列是按照一定规律排列的一组数，具有重要的数学和实际应用价值。

通过研究数列的规律和性质，不仅可以提高数学思维和解题能力，还可以应用于各个领域，为科学研究和实际生活提供有效的工具和方法。