指数函数及其性质3

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指数函数图像及其性质

0
-1
定义域值域
R 0,
性质
（1）过定点（0,1）（2）在R上是增函数
（2）在R上是减函数
探究：比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小利用图象的单调性
如何比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性（1）过定点（0,1）质（2）在R上是增函数（2）在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数？
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数一般地，函数定义域为 R ，值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三个特点！
能在此范围内取值？
指数函数的图象和性质
设问：得到函数图象一般的步骤是什么？研究函数一
…
8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13
…
11 x yy 22
y 3

指数函数的图像和性质

交流探讨、形成概念
问题二：你能通过模仿一次、二次、反比例函数的定义给出这一新型函数的定义吗？
指数函数的定义：
一般地，函数 y a (a 0 , 且 a 1),叫做指数函数 .
x
其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考 1. 为什么规定底数 a 0且a 1呢？
小试牛刀、巩固概念
x
麦子粒数 y
１２３４
…
… …
x
2
1
2
2
2
3
2
4
2
x
11 1 2 1 3 1 4 木棰剩余量 y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
1 x ( ) 2
交流探讨、形成概念
问题一：（1）这两个解析式是不是函数？
（2）这两个函数有什么共同特征？
（3）这两个函数是我们学过的哪种函数？
它们的自变量都出现在指数的位置上.
奇偶性过定点
非奇非偶函数
非奇非偶函数
(0,1)
(0,1)
探求新知、深化理解
函数y (0.999) 与y (1.00 001 )
x
x
的图象有何不同？
左右无限上冲天,
永与横轴不沾边.
大一增，小一减，
图象恒过(0,1)点.
强化训练、巩固新知
例: 利用指数函数的性质比较下列各题中两个数值的大小.
问题三：要研究一种新函数，如何研究？从哪些角度研究？
研究函数的一般思路：研究函数的一般方法是：
用性质解问题函数的性质
函数的定义
特殊的函数
函数的图象
探求新知、深化理解
问题四：研究一个函数需要研究它的哪些性质呢？

指数函数及其图像与性质

y3
x
1 x (3 ) ( ) 3
1 x
a
1 1 3
，所以，
（3）因为 y 2 (2 ) ( 2 ) ，底 a 3 2 1.259 1 所以，函数 (,) 内是增函数.
例2：已知指数函数 f ( x) a x 的图像过
点
9 (2, ) 4
，求 f (3)的值.
解：
要使得根式有意义，则需要被开方数非负，故2 4 0 ，即2 4
x
x
考虑指数函数 y 2 为增函数，
x
且 4 22，故有 x 2 即函数的定义域为 (2,)
课堂练习：
1.判断下列函数在 (,) 内的单调性：
x y 0 . 9 （1 ）（2）y ( 2 ) (3) y 3
x

Hale Waihona Puke x 22.已知指数函数 f ( x) a
x
满足条件 f (3)
8 27
时，求 f (2) 的值.
3.求下列函数的定义域：
（1 ） y
3 y ；（ 2 ） x 2 1
3x 8
x
2x
y2 由此得到 x 这个函数中，指数为自变量，底 2为常数.
指数函数：
一般地，形如的函数叫做指数函数， a a 0且 a 1 其中底（）为常量. 指数函数的定义域为 R ，值域为 (0,) .
) , y 3x , y ( 1 ) , y 0.8 形如 y 2x , y ( 1 2 3 都是指数函数.
x
y ax
x
x
做一做
下列利用“描点法”作指数函 y 2 x 和y ( 1 ) x 数的图像. 指数函数的定义域为 R ，取 x 的一些值，求出各函数所对应的函数值 y ，列表：