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等差数列知识点总结和题型分析

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一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法：② 定义法：对于数列a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列③ 等差中项：对于数列a .，若2am a . a . 2，则数列a .是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式：④ 如果等差数列a .的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为 知识点4、等差数列的前门项和：⑤S .听1冇）⑥S .2对于公式2整理后是关于门的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项： ⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 即：A 专或 2A a b在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它 的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项 的等差中项 知识点6等差数列的性质⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a .是等差数列的第门项，a m 是等差数列的 第m 项，且m 门，公差为d ，则有a . a m （门m ）d⑧ 对于等差数列a .，若门 m p q ，则a . a m a p a q也就是： a 1 a . a 2 a . 1 a 3 a . 2⑨ 若数列a .是等差数列，&是其前门项的和，k N *，那么S k ，S 2k S k ， S 3k S 2k 成等差数列如下图所示：等差数列a . a ! (n 1)d该公式整理后是关于门的一次函数ha t二、题型选析：题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，贝U a 等于() A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2 , 2a n+1=2a n +1，则 a 101 的值为 ()A . 49B . 50C . 51D . 523 .等差数列1，- -1，— 3，…，- -89的项数是( )A . 92B . 47C . 46D . 454、已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16忌 1,则的值是()( ) A 15 B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列， 从第10项起开始为正数， 则公差的取值范围是 ( )A.d > 8B.d v 3 8C.38 D.2 v d <3 33 36、.在数列｛ a n ｝中，a 1 3，且对任意大于 1的正整数n ,点(：a n , ； a n 1 )在直x y 73 0 上，贝卩 a n = _______________7、 在等差数列｛a n ｝中，a 5 = 3，a 6= — 2，贝U a 4 + a 5+・・・+ a 10= ___ .8、 等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2 1忌3,则Sp ()(A ) 12( B ) 10(C ) 8( D ) 69、 设数列a n 的首项a 1 7,且满足a n 1 a n 2 (n N),则a 1 a 2 a 仃 _______ ,10、已知｛a n ｝为等差数列，a 3 + a 8 = 22， a 6 = 7，贝U a 5 =__________11、 ________________________________________________________ 已知数列的通项 a n = -5n+2,则其前n 项和为S n = ____________________________________________S 3ka1a2a3a2k a 2k 1a3kS kS 2k S kS 3k S 2k10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为 2n n,则S 2nn4an 1•②若项数为2n 1 n na n，S 偶，则 S 2n 1 2n 1 a n ,且且Si S 奇nd ,& (其中S 奇a na n 112、设S n 为等差数列 a n 的前n 项和，S 4 = 14, S io S 7 30，则S 9=题型二、等差数列性质1、 已知｛ a n ｝为等差数列，a 2+a 8=l2,则a 5等于()(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、 设S n 是等差数列 a n 的前n 项和，若S 735，则a 4()A. 8 B . 7 C . 6D . 53、 若等差数列a n 中，a s a 7 術 8,an4,则a ? _____________________ . 4、 记等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若S 2 4 , S 420 ,则该数列的公差d=()A . 7 B. 6C. 3D. 215、 等差数列｛a n ｝中，已知a 1, a 2a 5 4, a n 33，则门为(3(A ) 48 ( B ) 49 (C ) 50( D ) 516. 、等差数列｛a n ｝中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前 n 项和 S n =100,则 n=( )(A)9 (B)10 (C)11(D)125,则 S97、设 S n 是等差数列 a n的前n 项和, a 5右()a 39 S 5A . 1B . - 1C . 2D .128、 已知等差数列｛a n ｝满足 a+ a+ a +…+ a 101 = 0则有()A . a 1 + a 01> 0B . a+ a 。

v 0C . a+ a 9 = 0D . a 1= 51 9、 如果a 1, a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d 0，则(10、若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有((A ) 13 项 (B ) 12 项 (C ) 11 项 (D ) 10 项题型三、等差数列前 n 项和1、等差数列a n 中, 已知廿 a 〔 a 2 a 3 La 10 p , a n 9a n 8L a n q ，则其前n 项和S n2、等差数列 2,1,4,的前n 项和为( )1 A. n 3n 4B.1n 3n 7 C.1 n 3n 4 1 n 3n 7 222 23、已知等差数列a n满足a 1 a 2 a 3a 990 ,贝U()A. a 1a 99 0B .a 1 a ?9C.a 1a 99D.a 5050［来源:学科网 ZXXK]4、在等差数列 a n 中，a 1a 2 a 315,a na . 1a n278, S n 155,(A) a 1 a 8 a 4a 5 ( B ) a 8 a 1 a 4a 5 ( C ) a 1 + 38a 4+ a 5 ( D ) a 1 38 = a 4 a 5则n5、等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 2,S 410,则S 6等于(A . 12B . 18D . 426、若等差数列共有 则项数为 2n A. 5 B. 7 C. 9,且奇数项的和为 44，偶数项的和为33,D. 11 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3 9 , S 68、若两个等差数列a n 和0的前n 项和分别是S n, 36，则 a 7 已知§ T n T n , a 8 a 9西,则亘等n 3b s 于( ) A. 7 题型四、等差数列综合题精选1、等差数列｛a n ｝的前n 项和记为S n .已知(I)求通项a n ；(n)若2、已知数列｛a n ｝是 (1)求｛a n ｝的通项 a n ； (2)a 1030, a20S n =242,50.求n.个等差数列，且 a 2 求｛a n ｝前n 项和 1, a s 5。

S n 的最大值。

3、设a n 为等差数列，S n 为数列a n 的前n 项和，已知S 7 7, S S 15 75, T n 为数列 — 的前n 项和，求T n 。

n4、已知a n 是等差数列，a 1 2 , a 3 18 ； g 也是等差数列，a ? b ? 4,b i b 2 b 3 b 4 a i a 2 a 3。

(1 )求数列b n 的通项公式及前n 项和S n 的公式； (2)数列a n 与b n 是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列｛a n ｝的首项a i 及公差d 都为整数，前n 项和为S n. (I )若a ii =0,S i4=98,求数列｛ a n ｝的通项公式； (n )若a i >6, a ii >0, S i4< 77,求所有可能的数列｛ a n ｝的通项公式6、已知二次函数y f(x)的图像经过坐标原点， 其导函数为f '(x) 6x 2，数列｛a .｝的前n项和为S n ，点(n,S n )(n N )均在函数y f (x)的图像上。

(I )求数列｛a .｝的通项公式； (n )设b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得T n — 对所有n N 都成立的最小正a n a n 1 20整数m ;五、等差数列习题精选1、等差数列｛a n ｝的前三项依次为x ， 2x 1， 4x3、设a n 是公差为正数的等差数列，若a 1 a 2 a 3 15， a^a s 80， 贝 U an a 12 a 13 ( )2，则它的第5项为(A 、5x 5B 、2x 12、设等差数列｛a n ｝中，a 45,a 917,则a 14的值等于(A 、11B 、22C 、29D 、124、若等差数列｛务｝的公差d 0，则5、已知a n 满足，对一切自然数n 均有a n 1 a n ,且a n n 2n 恒成立，则实数的取值范围是（ )A.B.0 c . 0 D.36、等差数列a n 中, a 11,公差d 0,右a 1,a 2,a 5成等比数列，则 d 为（）(A) 3(B)2 (C)2(D) 2 或 27、在等差数列a n中,a pq, aqP (P q)，则 a p qa 2 a 6 a 3a 5a 2 a 6a 3a 5(C )a 2 a 6a 3a 5（D ） a ?a 6与玄3玄5的大小不确定 B . 105 90 D . 75(A ) (B) A 、p qB 、 (P q)C 、0D 、pq8、设数列a n 是单调递增的等差数列， 前二项和为 12，前二项的积为 48，则它的首项是9、已知J"为等差数列, B. 1a 1a 3C 、4 a 5 105,a 2 a 4D 、8a 6 99则a 20等于A. -1C. 3D.710、已知 A. - 211、在等差数列 a n 为等差数列, B.--2a n 中， a 2 a 7 — 2 a 4 = — 1, a 3 = 0,则公差 d =1 C.1D.224,则其前9项的和S9等于 (a 8A . 18B 273612、设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , 若S 3 9, S 36，则 a 7 a 8 a ? A . 63B . 45C . 36D . 2713、 在等差数列a n 中，则n14、 数列a n 是等差数列，它的前 A. S n An 2 Bn C2C. S n An Bn C a 0a ?a 315,a na n 1 a n278, S n 155 ,n 项和可以表示为B. S n AnD. S n An 2 BnBn aA 、1B 、2等差中项：若a,代b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A 2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…,a 2d,a d,a,a d, a 2d …（公差为d ）;偶数个数成等差，可设为…， a 3d,a d,a d,a 3d ,•••（公差为 2d ）3、当公差d 0时，等差数列的通项公式a n a 1 （n 1）d dn a 1 d 是关于n 的 一次函数，且斜率为公差d ;若公差d 0，则为递增等差数列，若公差 d 0，则 为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。

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等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。

知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n 。

（证明数列是等差数列的关键） 2．通项公式：等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+=，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。

推广：d m n a a m n )(-+= 3．中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；其中2a bA +=。

4．等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+可以整理成S n ＝2d n 2＋n da )2(1-。

当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次函数。

5．等差数列项的性质（1）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a +=2。

（2）已知数列{}{}n n b a ,为等差数列，n n T S ,为其前n 项和，则1212--=n n n n T S b a （3）若等差数列的前n 项和为nS ，则,,,232n n n n n S S S S S --也成等差数列，公差d n d 2'=；（4）⎩⎨⎧≥-==-)2(n ,)1(n ,11n n n S S S a ； （5）若数列{n a }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也是等差数列，且公差为______。

数列知识点总结和题型归纳

数列知识点总结和题型归纳

数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。

1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。

公差d是等差数列中相邻两项的差值。

2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。

公比q是等比数列中相邻两项的比值。

二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。

3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。

三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。

2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。

3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。

4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。

四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版

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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。

等差数列的应用知识点总结

等差数列的应用知识点总结

等差数列的应用知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将对等差数列的应用进行知识点总结，包括等差数列的定义及性质、等差数列的求和公式、等差数列在数学问题、物理问题和经济问题中的应用等内容。

一、等差数列的定义及性质等差数列是指数列中的相邻两项之间差值保持不变的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

等差数列具有以下性质：1. 通项公式：an = a₁ + (n-1)d2. 任意相邻两项之差为公差d：an - an₋₁ = d3. 任意三项之间存在等差关系：an₋₁ - an₋₂ = an - an₋₁ = d4. 等差数列的前n项和：Sn = (n/2)(a₁ + an)二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是等差数列中应用最广泛的公式之一。

对于等差数列a₁, a₂, a₃, ...，设数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sn，则有以下求和公式：Sn = (n/2)(a₁ + an)即前n项和等于项数n与首末两项之和的乘积的一半。

三、等差数列在数学问题中的应用等差数列在数学问题中的应用非常广泛。

下面以一些具体的例子来说明等差数列在数学问题中的应用：1. 求等差数列的第n项：已知一个等差数列的首项和公差，可以通过通项公式an = a₁ + (n-1)d来计算出第n项的值。

2. 求等差数列的前n项和：通过等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a₁+ an)，可以计算出等差数列的前n项和。

3. 判断一个数是否属于等差数列：已知一个数列，如果该数列中任意相邻两项之差保持不变，则可判断该数列为等差数列。

4. 求等差数列中的缺失项：已知一个等差数列中除了给定首项和末项外，还有若干项的值未知，可以通过已知项的性质和等差关系来求解缺失项的值。

四、等差数列在物理问题中的应用等差数列在物理问题中也有一些应用。

以下是几个物理问题中等差数列的应用示例：1. 自由落体运动：在自由落体运动中，物体在每个单位时间内所走过的距离是等差数列，其公差等于物体的平均速度。