等差数列常考题型归纳总结很全面

根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。

以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。

等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。

通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。

等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。

2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。

3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。

4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。

等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。

2. 求等差数列的前 n 项和。

3. 求等差数列中缺失的项或差值。

4. 求等差数列中满足一定条件的项数。

5. 求等差数列中满足一定条件的和。

示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。

2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。

3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。

以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。

如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。

等差数列的19种经典题型
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

以下是一些常见的等差数列题型：
1. 求等差数列的通项公式；
2. 已知等差数列的首项和公差，求第n项的值；
3. 求等差数列前n项的和；
4. 求等差数列中有多少项满足某个条件；
5. 求等差数列的前n项和与后n项和的关系；
6. 求等差数列的和等于某个数的情况下，确定首项和项数；
7. 求等差数列的和等于另一个等差数列的情况下，确定首项、项数及公差；
8. 求等差数列中的两个数之和等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
9. 求等差数列中的两个数之积等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
10. 求等差数列中的两个数之差等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
11. 求等差数列中的两个数之商等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
12. 求等差数列中的两个项之和等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
13. 求等差数列中的两个项的积等于某个数的情况下，确定
这两个项的位置；
14. 求等差数列中的两个项的差等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
15. 求等差数列中的一个项与它前面的项和后面的项的和的比值；
16. 求等差数列中任意两项之间的差的绝对值；
17. 求等差数列的平均值；
18. 已知等差数列的前n项和及项数，求公差；
19. 已知等差数列的前n项和及公差，求项数。

以上是一些经典的等差数列题型，通过掌握这些题型的解题方法和技巧，可以更好地解决与等差数列相关的问题。

数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。

等差数列知识点及考点试题解析一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A ＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m ∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）d．22.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝dn2n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝2An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m 使得Sn 取得最大值Sm ；若a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m 使得Sn 取得最小值Sm ．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个。

二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an ＋1－an ＝d(d 是常数，n ∈N*)或an －an －1＝d(d 是常数，n ∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n 项和公式法：Sn ＝an2，b 为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…，构成等差数列；2.S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)；3.S2n －1＝(2n －1)an ．n n n n 2n 1n 2n 1n 2n-12m 1m2n 1n(S T a b n S (2n 1)a S a 1S =(2)T (2m 1)b T b -----==-−−→特例n 4.数列项数为奇数2n-1时、分别是等差数列、的前项和）（）(2n-1)a 5.若项数为偶数2n ，则S2n ＝n(a1＋a2n)＝n(an ＋an ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.数列的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考点等差数列基本量的计算【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和为nS，131,18a S==，则6S=（）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a的公差为d ，因为131,18a S ==，可得1333318a d d +=+=，解得5d =，所以166********S a d =+=+⨯=.故选：D.【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为d ，则3121a a d =+=，117673(5)2a d a d ⨯+=+，解得13a =-，2d =，所以31333S a d =+=-．故选：D.【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列{}n a的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()*111,2N n n n a S S a n +==++∈，则5S =（）A ．16B ．25C ．29D ．32【答案】B【解析】由12n n n S S a +=++可得12n n a a +=+，即12n n a a +-=，故数列{}n a是以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以5154=52252S a ⨯+⨯=，故选：B2．（2023春·广东佛山）（多选）若{}n a为等差数列，211a =，55a =，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．－11是数列{}n a中的项C ．数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-+D ．数列{}n a的前7项和最大【答案】ABD【解析】2111a a d =+=，5145a a d =+=，解得113a =，2d =-，对选项A ：()()1312152n a n n=+-⨯-=-，正确；对选项B ：取15211n a n =-=-，13n =，正确；对选项C ：()21132142n n n S n n n -=-⨯=-+，错误；对选项D ：152n a n =-，710a =>，810a =-<，故数列{}n a的前7项和最大，正确.故选：ABD3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列{}n a为递减数列，且31a =，2434a a =，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a的公差为12-B ．1522n a n =-+C ．数列{}1n a a 是公差为1-的等差数列D ．1741a a a +=-【答案】ABC【解析】由题意知，2432 2.a a a +==又2434a a =，故24,a a 可看出方程23204x x -+=的两根，∵数列{}n a为递减数列，412a ∴=，232a =．∴公差42122a a d -==-，故A 正确；又122a a d =-=，11521222n a n n ∴=+-⨯-=-+（）（），故B 正确；由上可知12n n a a a =，则当2n ≥时，()111222212n n n n a a a a --⎛⎫-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，214a =，∴数列{}1n a a 是首项为4，公差为1-的等差数列，故C 正确；由C 选项知：15n a a n =-，故17572a a =-=-，∵451222a =-=，174135722a a a ∴+=-+=-，故D 错误．故选：ABC4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列{}n a的前n 项和为n S ，若数列{}n a和均为等差数列，且518a=，则（）A ．16a =B ．830a =C ．560S =D ．798S =【答案】BD【解析】数列{}n a为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则18(5)185n n d dn d a =+-=+-，5(184)(3692182)n n nS d dn d dn d +-=+-+=-，由数列为等差数列，可得则7215d -=两边平方整理得，28160d d -+=，解之得4d =，则42n a n =-，22n S n =，选项A ：1422a =-=.判断错误；选项B ：848230a =⨯-=.判断正确；选项C ：252550S =⨯=.判断错误；选项D ：272798S =⨯=.判断正确.故选：BD考点等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1111,22n n a a a +=-=--．证明：11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭的通项公式．【答案】证明见解析，111n n a =++【解析】因为112n n a a +=--，所以1111122n n n n a a a a +++=+=--+，则12111111n n n n a a a a ++==++++，即111111n n a a +-=++，又112a =-，则1121112n a ==+-，所以11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()121111n n n a =+-⨯=++．【例2-2】（2023·北京）已知数列{}n a满足()1144,41n n a a n a -==->，记12n n b a =-．求证：数列{}n b 是等差数列．【答案】证明见解析【解析】（定义法）111111422242n n n n n nb b a a a a ++-=-=------()121222nn a a -==-，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.（等差中项法）12n n b a =-，()1111422242n n n n na b a a a ++===----，()1214412224242n nn n n n n a a a b a a a +++--==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21112202222n n n n n n n n a a b b b a a a ++-+-=+-⨯=---，所以()*212N n n n b b b n +++=∈，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列{}n a为等差数列，则下列说法中错误的是（）A ．数列12a ，22a ，32a ，…，2n a …为等差数列B ．数列2a ，4a ，6a ，…，2n a ，…为等差数列C ．数列{}1n n a a +为等差数列D ．数列{}1n n a a ++为等差数列【答案】C【解析】A 选项：因为{}n a为等差数列，所以设1n n a a d --=（d 为常数），又()112222n n n n a a a a d---=-=，所以数列{}2n a 也为等差数列，故A 正确；B 选项：2222n n a a d --=，所以数列{}2n a 为等差数列，故B 正确；C 选项：112n n n n n a a a a da +--={}1n n a a +不是等差数列，故C 错；D 选项：()112n n n n a a a a d+-+-+=，所以数列{}1n n a a ++为等差数列，故D 正确.故选：C.2．（2023·云南）已知等差数列{}n a的前n 项和为n S ，若6812,72,a S ==(1)求数列{}n a的通项公式.(2)证明:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.【答案】(1)2n a n =(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得11512878722a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，有22(1)2n a n n=+-=，所以等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由(1)知(22)(1)2n nS n n n =+=+，1n S n n =+，所以1(1)1(1)11n n S S n n n n +-=++-+=+，又121S =，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列.3．（2023·广东）已知数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{n a }的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)243n a n =-【解析】（1）证明：数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．两边取倒数可得：1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，∴数列{1n a }是等差数列，首项为1112=a ，公差为2；（2）由（1）可得：()11432122n n n a -=+-=，解得243n a n =-．。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。

根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。

的等差数列。

等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。

是常数）。

4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。

是常数）。

等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。

等差数列一、知识回顾题型一：等差数列的基本运算1、等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，a k +a 4=0，则k= 2. 已知等差数列}{n a 中，3,131-==a a ，若35-=k S 则k 的值是3、 （04年全国卷三.理3）设数列}{n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S > （D ）56S S = 题型二:等差数列性质的应用4、在等差数列}{n a 中,=+++=+864273,37a a a a a a 则5若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A nn，则135135b b a a ++=6、nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，1,442==a S S 则=5a7、在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为8、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =30，S 2n =100，则S 3n =（ ）题型三：等差数列的判定9、已知数列{a n }的前n 项和S n =25n-2n 2．（1）求证：{a n }是等差数列．（2）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．10、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足21),2(0.211=≥=+-a n S S a n n n ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S1是等差数列11、已知数列{}n a 中，),2(12,5311*-∈≥-==N n n a a a n n ,数列{}n b 满足11-=n n a b （1）求证：数列{}n b 为等差数列 （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项总结：. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证1--n n a a =d 为同一常数。

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。