等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列知识点及类型题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

nn n S a a 222,0=+>分析：将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n－p (p ∈R)， 则{a n }的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。

以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。

等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。

通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。

等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。

2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。

3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。

4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。

等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。

2. 求等差数列的前 n 项和。

3. 求等差数列中缺失的项或差值。

4. 求等差数列中满足一定条件的项数。

5. 求等差数列中满足一定条件的和。

示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。

2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。

3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。

以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。

如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。

五年级等差数列题型及解题方法一、等差数列的基本概念1. 定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

例如数列1,3,5,7,9,·s，公差d = 2。

2. 通项公式a_n=a_1+(n 1)d，其中a_n表示第n项的数值，a_1表示首项，n表示项数，d表示公差。

例如：已知一个等差数列a_1=3，d = 2，求第5项a_5。

解析：根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，将a_1=3，n = 5，d = 2代入公式，得到a_5=3+(5 1)×2=3 + 8=11。

3. 求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}或S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d例如：求等差数列1,3,5,·s,99的和。

解析：方法一：首先求项数n，根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，这里a_1=1，d = 2，a_n=99。

由99 = 1+(n 1)×2，99=1 + 2n-2，2n=100，解得n = 50。

再根据求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，将n = 50，a_1=1，a_n=99代入，得到S_50=(50×(1 + 99))/(2)=2500。

方法二：直接用S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d，n = 50，a_1=1，d = 2，则S_50=50×1+(50×(50 1))/(2)×2=50+50×49=2500。

二、常见题型及解题方法1. 求项数题目：在等差数列3,7,11,·s,43中，项数是多少？解析：已知a_1=3，d = 4，a_n=43。

根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，则43=3+(n 1)×4。

首先展开式子得到43=3 + 4n-4，即43 = 4n-1。

等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念 1、等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

（2）对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。

（3）0d>⇔等差数列为递增数列0d =⇔等差数列为常数列 0d <⇔等差数列为递减数列（4）一个等差数列至少由三项构成。

2、等差数列的通项公式 （1）通项公式：1(1)na a n d =+-，（当1n =时，等式也成立）；（2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由1234,,,,a a a a 归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。

②迭加法：也称之为逐差求和的方法：2132,,a a d a a d -=-=431,,n n a a d a a d --=-=，上述式子相加，1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-。

③迭代法：1223()2()2n n n n n a a d a d d a d a d d ----=+=++=+=++313(1)n a d a n d-=+==+-。

（3）通项公式的应用与理解①可根据d 的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。

②用于研究数列的图象。

11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，∴（Ⅰ）0d ≠时，na 是n的一次函数，由于n N *∈，因此，数列{}n a 的图象是直线1()n a dn a d =+-上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。

（Ⅱ）0d=时，1n a a =，表示平行于x 轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。

不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。

③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：11(1)n a a n d d n a d =+-=+-，n a 是关于n的一次式()n N*∈，所以等差数列的通项公式也可以表示为n a pn q =+（设1,p d q a d==-）。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。

根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。

的等差数列。

等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。

是常数）。

4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。

是常数）。

等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。

(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。

3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。

- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。

5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。

6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。

7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。

8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。

9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。

- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。

10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。

- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。

- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。

- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。

以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。