第２４卷第１期
２００８年２月 大 学 数 学
Ｃ（）Ｉ Ｉ ＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２４，Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２００８
负二项分布随机变量的分解定理
熊加兵， 陈光曙
（淮阴师范学院数学系，江苏淮安２２３３００）
［摘 要］给 了负二项分布的分解定理，并进一步研究了负二项分布的有关性质和近似计算公式．在复
杂排队系统中离散状态下顾客等待时间分布的概率计算中起到了重要作用．
［关键词］负二项分布；几何分布；独立同分布 ［中图分类号］０２１１．１ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）ｏ１－０１０８—０３
１ 引 言
负二项分布在排队论、可靠性等各类离散随机模型的分析中是常用的重要的随机分布．近年来，多
服务台休假排队研究取得了重大进展．文献［１—３］对各种Ｍ／Ｍ／Ｃ和ＣＩ／Ｍ／Ｃ休假排队给出了稳态指
标描述，揭示了随机分解规律．在研究只允许部分服务台休假状态的多服务台Ｍ／Ｍ／Ｃ排队系统时，发
现了条件Ｅｒｌａｎｇ分布的一类双参数加法性质，它们对导出复杂排队系统中顾客等待时间分布起着重要
作用，而Ｅｒｌａｎｇ分布和指数分布在离散随机变量中对应于负二项分布和几何分布．近来，许多文献（如
［５］，［７］）对负二项分布都进行了研究，得到了许多很好的性质．本文着重从概率论的角度进一步揭示负
二项分布的性质，就像二项分布随机变量可以分解为几个独立同两点分布的和一样，即Ｘ－－Ｂ（”，Ｐ），则
／０ １、 ｘ一 ｘ ，其中Ｘ ，Ｘ ，…，ｘ 独立同分布，ｘ ～Ｉ ｝．本文给出了随机变量ｘ服从负二项分布的 ｉ—＝—ｌ ｑ Ｐ／ 充要条件是Ｘ可以分解为”个独立同几何分布的随机变量的和，并在此基础上，进一步研究了负二项
分布的性质以及负二项分布有关概率的近似计算问题，得到了近似计算公式．在排队论以及破产概率的
计算中将起着重要作用．
２有关准备知识
定义１ 设Ｘ是随机变量，如果Ｘ的分布律为Ｐ（Ｘ
伽马分布和负二项分布的关系
1. 介绍伽马分布和负二项分布
伽马分布是概率统计学中一种连续概率分布，它在很多领域都有应用，如保险中的赔付和聚类分析等。它的概率密度函数如下：
$$ f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} $$
其中，$x$ 是随机变量的取值，$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\alpha)$ 表示 $\alpha$ 的阶乘。当 $\alpha=1$ 时，伽马分布就是指数分布；当 $\alpha$ 是整数时，伽马分布就是
$\alpha$ 个指数分布的和。伽马分布的图形如下：
负二项分布是概率统计学中一种离散概率分布，它在很多领域都有应用，如投掷硬币的次数、赛车比赛中某车手的获胜次数等。它的概率质量函数如下：
$$ P(k;r,p)={k+r-1\choose k}(1-p)^rp^k $$
其中，$k$ 是随机变量的取值，$r$ 和 $p$ 是分布的参数，${k+r-1\choose k}$ 表示 $k+r-1$ 个球中选 $k$ 个恰好是成功的组合数。当 $r=1$ 时，负二项分布就是几何分布；当 $r$ 是整数时，负二项分布就是 $r$ 个几何分布的和。负二项分布的图形如下：
2. 伽马分布与负二项分布的联系
伽马分布和负二项分布之间有着密切的联系。在某些情况下，它们可以相互转化和近似。
2.1 伽马分布可以表示负二项分布的分布函数
当 $r$ 是正整数时，负二项分布的分布函数可以表示为：
f分布的查表方法
一、f分布的基本概念
f分布是一种常见的概率分布，主要用于假设检验和置信区间估计。它是由两个参数决定的：自由度（df）和概率值（P）。在f分布中，自由度表示的是分子方差的自由度，概率值表示的是分子大于分母的概率。
二、f分布的查表方法
1.确定自由度：首先，我们需要知道或计算出自由度。自由度的计算公式为：df = (分子自由度 - 分母自由度) × (分子自由度 + 分母自由度) / (分子自由度 + 分母自由度 - 1)。
2.查找临界值：根据自由度，在f分布表中查找相应的临界值。临界值分为正值和负值，一般我们使用正值作为参考。
3.计算概率值：在查找到的临界值对应的概率值为1 - P（分子大于分母）。例如，如果查找到的临界值为5.05，对应的概率值为0.975，那么P（分子大于分母）= 1 - 0.975 = 0.025。
三、查表实例演示
假设我们进行了一次独立双样本t检验，得到的统计量为2.78，自由度为39。我们需要计算P（|Z| > 2.78），其中Z = (X1 - X2) / √(S1 + S2)。
1.计算自由度：df = (39 - 1) × (39 + 1) / (39 + 1 - 1) = 38。
2.查找临界值：在f分布表中查找自由度为38的临界值，找到临界值为5.05。
3.计算概率值：P（分子大于分母）= 1 - 0.975 = 0.025。 四、注意事项
1.在进行查表计算时，请确保输入的数据和自由度正确无误。
2.当自由度较小（如小于50）时，查表结果可能存在一定误差，此时可以考虑使用精确计算方法。
几何分布类 四．几何分布类 分布名称 01几何分布一型 02几何分布二型 03.广义几何分布 04. 几何稳定分布 数学标记 ()Geop1或 ()Geop2 分布函数
不分析使用,除了一些参数值
分布图像
也可以用点连 也可以用点连
密度函数 或()xPXxpq
密度图像
（质量函数） 不分析使用,除了一些参数值
也可以用竖线连 也可以用竖线连
特征函数
，其中
普母函数
矩母函数
， ，其中
生存函数
分位函数
损失函数
累积损失
随机类型 离散型 离散型
自由度值
位置参数 成功概率
服从参数为的分布 成功概率（p为成功概率） α ∈ (0,2] ——稳定性参数
β ∈ [−1,1]
λ ∈ (0, ∞) —尺度参数
μ ∈ (−∞, ∞) —位置参数 形状参数
规模参数
支撑集域 x ∈ R, 或x ∈ [μ, +∞) 如果∈R或x∈(μ,+∞)如果 α < 1α< 1和 β = 1β= 1,
或者 x∈(−∞,μ)，α < 1和 β = −1
中位数值
μ（当β = 0）
（若是整数，则中位数不唯一） （若是整数，则中位数不唯一）
众数数值 1 0 μ（当β = 0）
偏态数值 0（当α = 2α= 2）
峰态数值 3（当α = 2α= 2）
熵值数值
焓值数值
期望数值
，2(),()EXqpVarXqp
方差数值 2λ2当 α = 2α= 2,否则无限
原点矩值
中心矩值
，
其他矩值 ()(1),lntXtEepqetq
先验概率
后验概率
矩量估计
拟然估计
其他估计
变异系数
充分统计
可加性质
几何意义 在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数X。如果每次试验的成功概率是p，那么kn重贝努利实验首次成功正好在第x+1次（在得到第一次成功前所经失败次数Y = X–1）。例如甲 次试验中，第k次才得到成功的概率。比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个p = 1/6的几何分布。 向一目标射击，直到射中为止，X表示首次机种目标的次数，击中目标的概率为P（X=k）=pqk-1>0，k=1,2,3⋯⋯。 附注联系 呈几何分布的随机变量X的
