2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式文含解析

第十三章算法初步、推与证明、复数【背一背重点知识】1.算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2.程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的程序、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．(3)基本的程序框有终端框(起止框) 、输入、输出框、处框(执行框) 、判断框．3. 三种基本逻辑结构顺序结构：由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构条件结构：算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处这种过程的结构循环结构：从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体【讲一讲提高技能】1.必备技能：(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．2.典型例题：例1程序框图如图所示：如果输入x＝5，则输出结果为（）A ．325B ．109C ．973D ．295 【答案】A 【解析】例2执行如图1所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于（ ） A.]2,6[-- B.]1,5[-- C.]5,4[- D.]6,3[-分析：本题中条件分支结构实际上是求函数的值域.0t <时，求二次函数的值域，0t ≥时，求一次函数的值域.【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈-⋃--=-,故选D. 【练一练提升能力】1.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.23C.1321D.610987【答案】C【解析】2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0 D．【答案】A【解析】合情推与演绎推【背一背重点知识】1.合情推是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公、定等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推过程，归纳和类比是合情推常见的方法，在解决问题的过程中，合情推具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．2. 演绎推是指如果推是从一般性的原出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推称为演绎推．演绎推的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．3. 证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定、公等，经过一系列的推论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定、公等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．【讲一讲提高技能】1.必备技能：A．归纳推的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．B．类比推是由特殊到特殊的推，其一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比是根据两个不同的对象，在某些方面(如特征、属性、关系等)的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推方法．类比是科学研究最普遍的方法之一．在数学中，类比是发现概念、方法、定和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛．数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．类比推的关键是找到合适的类比对象，如上例中的椭圆类比到双曲线，常见的平面几何中的一些定、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：C.演绎推是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推模式，是一种必然性推．演绎推的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．演绎推的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推．用集合论的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P . D ．合情推推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推在大前提、小前提和推形式都正确的前提下得到的结论一定正确． 2.典型例题： 例1观察下列等式: 211= 22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .分析：本题考查观察和归纳推能力，观察四个等式，找到其规律，各个式子左边依次为项数增加1，各项符号正负相间，，那么第n 个式子，左边应该为2224121234(1)n n --+-++- ，右边符号也是正负相间，绝对值正好第n 个等式，就是前面n 个正整数之和，故应为1(1)(1)2n n n ---⋅．注意结论表述的完整性．【解析】观察上式等号左边的规律发现：左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为,3,2,1n ⋅⋅⋅指数都是2，符号成正负交替出现可以用1)1(+-n 表示；等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为2)1()1(+⋅-n n n ，所以第n 个式子可为：)(2)1()1()1(43211212222*++∈+⋅-=-+⋅⋅⋅+-+-N n n n n n n ． 例2观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 分析：本题难度较大，关键是注意观察E V F ，，的各个数据，并尝试研究它们的运算关系F V E +-，发现规律.【解析】【练一练提升能力】1. 已知0x >，由不等式221442,3,22x x x x x x x +≥+=++≥= 我们可以得出推广结论：()1n ax n n N x++≥+∈，则a =（ ） A ．2n B ．2n C ．3n D ．nn 【答案】D【解析】试题分析：由已知不等式可知()11n x x x a n n n n n x ++++≥++ ，故n a n =，故选D ．2. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120；……；依此规律得到n 级分形图．（1）4级分形图中共有______条线段；（2）n 级分形图中所有线段长度之和为______．【答案】（1）45；（2）29[1()]3n-【解析】复数的概念、四则运算【背一背重点知识】 1. 复数的有关概念 (1)复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a bi +为实数，若0b ≠，则a bi +为虚数，若0,0a b =≠，则a bi +为纯虚数． (2)复数相等：a bi c di +=+⇔,a c b d ==(,,,a b c d R ∉)． (3)共轭复数：a bi +与c di +共轭⇔a cb d=⎧⎨=-⎩，（,,,abcdR ∉） (4)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作z 或a bi +，即z ＝a bi +2.复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． (3)复数的几何表示：复数z a bi =+−−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b −−−−→一一对应平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律． 【讲一讲提高技能】 1必备技能： （1）复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．（2）复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2) 1=i 1i i +-；1=-i 1ii-+；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i ；i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0；(4)设ω＝12-，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. 2典型例题：例1已知i 是虚数单位，若()13z i i +=，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．110 B ．110- C ．10i D ．10i - 【答案】B 【解析】试题分析：因为()133********i i i i z i -===++，所以31010iz =-，所以z 的共轭复数的虚部为110-例2设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2分析：复数的除法运算法则是分子分母同时乘以分母的共轭复数，把分母化为实数. 【解析】由题意21(1)(1)1112z i i i i z i i i i i i i i+++⋅=+-=++=-++=，故选C. 【练一练提升能力】 1. 复数21()1i i+=- . 【答案】1- 【解析】2. 复数121i z i+=+（i是虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．23 B ．21 C ．12- D ．12i -【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()12112331111222i i i i z i i i i +-++====+++- ，z ∴的虚部是12，故选 B ．（一）选择题（12*5=60分）1.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为A ．21-B ．-3C ．31D ．2 【答案】D 【解析】2.观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.3.如图给出的是计算20161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1007≤iB ．1008≤iC ．1008>iD ．1007>i 【答案】B 【解析】4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是A.d ≈B ．d ≈．d ≈．d ≈ 【答案】D【解析】由34()32d V π=，得d =a b ，则6b a π=；A 中代入得69 3.37516π⨯==，B 中代入得6132π⨯==，C 中代入得61573.14300π⨯==，D 中代入得6113.14285721π⨯==，由于D 中值最接近π的真实值，故选择D ． 5．已知实数[]1,9x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为（ ）A ．58 B ．38 C ．23 D ．13【答案】B 【解析】6．复数311i z +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．i -1 B ．i +1 C ．i 2121+ D ．i 2121-【答案】D 【解析】试题分析：因为()()311111111122i z i i i i i +====++--+，所以1122z i =-，故选A ． 7.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】00=⇔=a ab 或0=b ，而复数bi a iba -=+是纯虚数00≠=⇔b a 且，iba ab +⇐=∴0是纯虚数，故选B.8. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ． 【解析】()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 9.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)1z i i -=+，则2016z =（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i - 【答案】A 【解析】10.执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255【答案】A【解析】框图运算的结果为：222211110++++...+=2-14-16-110-11111+++...+133557911⨯⨯⨯⨯=11111111(1-+-+-+...+-)233557911= 115(1-)=21111，故选A 11.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 【答案】B 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选B.12. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.11 【答案】B 【解析】（二）填空题（4*5=20分）13.已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：12,x x+≥ 22443,22x x x x x+=++≥3327274,333x x x x x x+=+++≥类比得：*1()n ax n n N x+≥+∈，则a =___________． 【答案】nn 【解析】试题分析：12,x x +≥22443,22x x x x x +=++≥3327274,333x x x x x x+=+++≥ ，1+≥+n xn x n n，所以n n a =．14.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如428a =．若2013ij a =，则i j += ．【答案】109 【解析】15. 如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111111111,,1222363412=+=+=+，…，则（1）第6行第2个数（从左往右数）为_________； （2）第n 行第3个数（从左往右数）为_________． 【答案】)2)(1(2,301--n n n 【解析】16.分形是几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitMandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*()n n N ∈行空心圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心圆点个数12,n n a a --的关系式为________；第12行的实心圆点的个数是_______．【答案】12n n n a a a --=+；89【解析】。

考点测试40算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．给出如图程序框图，其功能是()A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案C解析求|a－b|的值．2．已知一个算法：①m＝a；②如果b<m，则m＝b，输出m，结束算法；否则执行第3步；③如果c<m，则m＝c，输出m．如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6 C．2 D．m答案C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3<b＝6，c ＝2<m＝a＝3，∴m＝c＝2，即输出m的值为2．故选C．3．阅读下面的程序：INPUT xIF x<0 THENx＝－xEND IFPRINT xEND则程序执行的目的是()A．求实数x的绝对值B．求实数x的相反数C．求一个负数的绝对值D．求一个负数的相反数答案A解析由程序可知，当输入的x<0时，取其相反数再赋值给x，其他情况x不变，然后输出x，则程序执行的目的是求实数x的绝对值，故选A．4．阅读程序框图，该算法的功能是输出()A．数列{2n－1}的第4项B．数列{2n－1}的第5项C．数列{2n－1}的前4项和D．数列{2n－1}的前5项和答案B解析依程序框图，有下表：由于6>5，跳出循环，故输出A＝31，而31＝25－1，选B．5．当m＝5，n＝2时，执行图中所示的程序框图，输出的S值为()A．20 B．42 C．60 D．180答案C解析当m＝5，n＝2时，程序框图的运算过程如下表所示：故输出S＝60，故选C．6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是()A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60．故选C．7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中数码2004折合成十进制为()A．29 B．254 C．602 C．2004答案B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B．8．当x＝0．2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5答案A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A．9．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为()A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－9或－3答案B解析本算法框图的本质为求函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －8，x ≤0，2－log 3x ，x >0的零点，分情况求此分段函数的零点，易解得x ＝－3或x＝9，故选B ．10．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，其中“Mod(N ，m )＝n ”表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如：Mod(10，3)＝1．执行该程序框图，则输出的i ＝( )A ．23B ．38C ．44D ．58 答案 A解析 检验选项A ：i ＝23，Mod(23，3)＝2，Mod(23，5)＝3，Mod(23，7)＝2，满足题意，故选A ．11．如图是“二分法”解方程的流程图，在①～④处应填写的内容分别是( )A ．f (a )f (m )<0；a ＝m ；是；否B ．f (b )f (m )<0；b ＝m ；是；否C ．f (b )f (m )<0；m ＝b ；是；否D ．f (b )f (m )<0；b ＝m ；否；是 答案 B解析 因为题图是“二分法”解方程的流程图，所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填f (b )f (m )<0；是，则直接验证精度，否，则先在赋值框中实现b ＝m 的交换，再验证精度，满足精度则输出结果，结束程序，所以③处填“是”，④处填“否”，在①～④处应填写的内容分别是f (b )f (m )<0；b ＝m ；是；否．12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000 C ．P ＝M 1000 D ．P ＝4M1000 答案 D解析 利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S ≈M 1000，又由面积公式得S ＝14π×12≈M1000，解得π≈4M1000，故选D ．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4 答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B ．14．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．12B ．56C ．76D ．712 答案 B解析 k ＝1，s ＝1；s ＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k ＝2，2<3；s ＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k＝3，此时跳出循环，所以输出56．故选B．15．(2018·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环．故选B．16．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2答案D解析本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n ＝n＋2．故选D．17．(2017·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4 C．3 D．2答案D解析要求的是最小值，观察选项，发现选项中最小的为2，不妨将2代入检验．当输入的N为2时，第一次循环，S＝100，M＝－10，t＝2；第二次循环，S ＝90，M＝1，t＝3，此时退出循环，输出S＝90，符合题意．故选D．18．(2017·天津高考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8，8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7，7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6，6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N＝2，2≤3成立，退出循环，输出N的值为2．故选C．19．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0答案D解析第一次输入x＝7，判断条件，4>7不成立，执行否，判断条件，7÷2＝72，7不能被2整除，执行否，b＝3，判断条件，9>7成立，执行是，输出a＝1．第二次输入x＝9，判断条件，4>9不成立，执行否，判断条件，9÷2＝92，9不能被2整除，执行否，b＝3，判断条件，9>9不成立，执行否，判断条件，9÷3＝3，9能被3整除，执行是，输出a＝0．故选D．三、模拟小题20．(2018·衡阳二模)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．虽然该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为()A．a是偶数？ 6 B．a是偶数？8C．a是奇数？ 5 D．a是奇数？7答案D解析阅读考拉兹提出的猜想，结合程序框图可得①处应填写的条件是“a是奇数？”，运行情况为所以输出的结果为i＝7．故选D．21．(2018·郑州质检一)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 B解析 初始a ＝1，A ＝1，S ＝0，n ＝1，第一次循环：S ＝0＋1＋1＝2，S 小于10，进入下一次循环；第二次循环：n ＝n ＋1＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92，S 小于10，进入下一次循环；第三次循环：n ＝n ＋1＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354，S 小于10，进入下一次循环；第四次循环：n ＝n ＋1＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8≥10，循环结束，此时n ＝4，故选B ．22．(2018·合肥质检一)执行如图所示程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是( )A ．2B ．－3C ．－12D ．13 答案 C解析 a ＝2，i ＝1，满足i ≤n ＝10，进入循环体，第一次循环：a ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；满足i ≤n ＝10，第二次循环：a ＝1＋(－3)1－(－3)＝－12，i ＝3；满足i ≤n ＝10，第三次循环：a ＝1＋－121－－12＝13，i ＝4；满足i ≤n ＝10，第四次循环：a ＝1＋131－13＝2，i ＝5；…可看出a 的取值周期性变化，且周期为4．可知当i ＝11时与i ＝3时a 的取值相同，即a ＝－12，此时，不满足i ≤n ＝10，跳出循环体，输出a ＝－12，故选C ．23．(2018·贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个求解算法，则输出n 的值为( )A ．20B ．25C ．30D ．35 答案 B解析 开始：n ＝20；第一步：m ＝80，S ＝60＋803≠100，n ＝21；第二步：m ＝79，S ＝63＋793≠100，n ＝22；第三步：m ＝78，S ＝66＋783＝92≠100，n ＝23；第四步：m ＝77，S ＝69＋773≠100，n ＝24；第五步：m ＝76，S ＝72＋763≠100，n＝25；第六步：m＝75，S＝75＋753＝100，此时S＝100退出循环，输出n＝25．故选B．24．(2018·南昌摸底)执行如图所示的程序框图，输出n的值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析依据框图，可知n＝1时，f(x)＝(x)′＝1，它是偶函数，满足f(x)＝f(－x)，又方程f(x)＝0无解，则n＝1＋1＝2；此时，f(x)＝(x2)′＝2x，不满足f(x)＝f(－x)，则n＝2＋1＝3；再次循环，f(x)＝(x3)′＝3x2，满足f(x)＝f(－x)，且方程f(x)＝0有解x＝0，跳出循环体，则输出n的值为3，故选C．25．(2018·深圳调研)九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1所示，要将9个圆环全部从框架上解下(或套上)，无论是哪种情形，都需要遵循一定的规则．解下(或套上)全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出的结果为()A．170 B．256 C．341 D．682答案C解析由算法框图，可知i，S的变化情况如下：故选C．26．(2018·邯郸摸底)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算该木棍被截取7天后所剩的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()答案B解析该程序框图的功能是计算木棍被截取7天后剩余部分的长度，则在程序运行过程中，应该有：第1次循环，s＝1－12，i＝4；第2次循环，s＝1－12－14，i＝8；第3次循环，s＝1－12－14－18，i＝16；…；第7次循环，s＝1－12－14－…－1128，i＝256，此时应跳出循环体，据此判断可知在判断框①处填入“i≤128？”，执行框②处应填入“s＝s－1i”，③处应填入“i＝2i”，故选B．本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

第3节推理证明与数学归纳法基础知识诊断回顾教材务实基础【知识梳理—推理篇】考点1 归纳推理1.推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．2.推理的分类推理一般分为合情推理和演绎推理．3.合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程．其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4.归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如“费马猜想”）；（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．（5）归纳推理的结论可真可假，它一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.5.运用归纳推理的一般步骤（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．6.完全归纳法和不完全归纳法（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．7. 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点2 类比推理1.类比推理的概念类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．2.运用类比推理的一般步骤（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．要点诠释：（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假． 3.类比推理的四个角度和四个原则 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比的定义：如等差、等比数列的定义； ②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质； ③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式； ④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球． (2)四个原则 ①长度类比面积； ②面积类比体积； ③平面类比空间； ④和类比积，差类比商．考点3 演绎推理1.演绎推理的概念从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2.演绎推理的一般模式“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论. 要点诠释：①如果一个推理规则能用符号表示为“如果a b ⇒ ，b c ⇒，则a c ⇒”，那么这种推理规则叫做三段论推理．②三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P.③三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．3.合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理．③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明． ②演绎推理所得的结论一定正确．（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 归纳推理考向1 与数字有关的归纳推理【例1】（2021•未央区二模）将正整数排成如图所示的数阵，其中第i 行有12i -个数．如果2021是表中第m 行的第n 个数，则( ).12345678910111213...1..41 (5)A ．1009m n +=B ．1010m n +=C ．1009m n +<D ．1010m n +>【训练1】（2021•江西模拟）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12()33，，记为第一次操作：再将剩下的两个区间1[0]3，，2[1]3，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：⋯，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和小于18182021，则操作的次数n 的最大值为( )（参考数据：42()0.19753≈，52()0.13173≈，62()0.08783≈，72()0.0585)3≈ A ．4 B ．5 C ．6 D ．7考向2 与图案有关的归纳推理【例1】（2020•河东区期中）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：第25个图形中火柴棒的根数是．【训练2】（2020•烟台期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，⋯；正方形数1，4，9，16，⋯等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为()A．35B．51C．70D．92【训练3】（2021•怀柔区一模）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是()（取lg30.4771≈≈，lg20.3010)A．15B．16C．17D．18归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 【例1】(2020·萍乡)对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m 3的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________．【例2】(2021·山东模拟)观察下列式子111111ln 2ln3ln 4335357>>+>++，，，….根据上述规律，第n 个不等式应为________．【训练4】（2020•南阳期中）分形几何学是数学家伯努瓦．曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，则7a = ．考点二 类比推理【例1】（2021•河南模拟）命题： ①若236a b ==，则111a b +=； ②若2336a b ==，则1112a b +=； ③若23216a b ==，则1113a b +=． 类比命题①，②，③，可得命题“若(a b m n t m ==，n 均为于1的整数），则111a b k+=”其中(t = ) A ．k m nB ．k mnC ．kmnD ．()k mn【例2】（2020•山西模拟）在OAB ∆中，若OA OB ⊥，OA a =，OB b =，则AB ==．类比上述结论，可推测：在三棱锥O ABC -中，若OA ，OB ，OC 两两垂直，OA a =，OB b =，OC c =，1BOC S S ∆=，2COA S S ∆=，3AOB S S ∆=，则(ABC S ∆= )A． B．12S S S CD考点三 演绎推理【例1】（2020•大武口区一模）下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ) ①2013不能被2整除； ②一切奇数都不能被2整除； ③2013是奇数． A ．①②③ B ．②①③C ．②③①D ．③②①【例2】(2020·宁夏模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________．【例3】（2021•淄博模拟）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值0()0f x '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极 值点．以上推理中( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确基础知识诊断回顾教材务实基础【知识梳理—证明篇】考点1 直接证明1.直接证明的两种基本方法——综合法和分析法Q⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件2.综合法证明不等式时常用的不等式（1）222a b ab+≥（当且仅当a b=时取“=”号）；（2）2a b+≥（*,a b R∈当且仅当a b=时取“=”号）；（3）20,||0a a≥≥，2()0a b-≥（4）2b aa b+≥（,a b同号）；2b aa b+≤-（,a b异号）；（5）2221,,()2a b R a b a b∈+≥+（6）不等式的性质定理1 对称性：a b b a>⇔<定理2 传递性：．定理3 加法性质：．推论．定理4 乘法性质：．a ba cb c>⎫⇒>⎬>⎭a ba cb cc R>⎫⇒+>+⎬∈⎭a ba cb dc d>⎫⇒+>+⎬>⎭a bac bcc>⎫⇒>⎬>⎭推论1 ．推论2．定理5 开方性质：．3. 分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论， 然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证． 4.分析法的适用范围及证题关键 (1)适用范围①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接． ②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．见举例说明2. (2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的． 5.综合法与分析法的横向联系（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ．若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为：考点二 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． 1.反证法的定义00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭0*n na b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2.用反证法证明的一般步骤：假设——矛盾——肯定①反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；②归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；③结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾（自相矛盾）；③与定义、定理、公理、事实矛盾．（3）宜用反证法证明的题型：①否定性命题；②要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；③如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 直接证明考向1 分析法【例1】（2021•湖北）分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a b c <<，且0a b c ++=，求证：223b ac c -<，则证明的依据应是( )A ．0c b ->B ．0c a ->C ．()()0c b c a -->D ．()()0c b c a --<【例2】设00a b >>，，且a b ≠ ，用分析法证明3322a b a b ab +>+【训练5】设a b c d R ∈，，，，求证：ac bc +≤ 【训练6】（2021•秦州区）（1）已知实数a ，b 满足||2a <，||2b <，证明：2|||4|a b ab +<+；（2）已知0a >12a a≥+-． 考向2 综合法【例1】求证444()a b c abc a b c ++≥++【训练7】已知a b ，是正数，且1a b += ，求证：114a b+≥ ． 【训练8】（2021•泰安）设数列{}n a 的前n 项和n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈，其中m 为常数且3m ≠-，0m ≠．（1）求证：{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且11b a =，*13()(2n n b f b n N -=∈，2)n ≥，求证1{}n b 为等差数列，并求n b ． 考点二 间接证明【例1】（2020•合浦）已知x R ∈，212a x =+，2b x =-，21c x x =-+，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1．【训练9】不可能成等差数列．【训练10】求证：函数()cos f x x x =不是周期函数．基础知识诊断 回顾教材 务实基础【知识梳理—数学归纳法篇】1.数学归纳法定义对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：（1）(归纳奠基)证明当n 取第一个值0n (0*n N ∈)时命题成立；（2）(归纳递推)假设n k =(*k N ∈，且0k n ≥ )时命题成立，证明当+1n k =时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．2.运用数学归纳法的步骤与技巧1 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值0n 结论正确；(2)假设当n k =(*k N ∈，且0k n ≥ )时结论正确，证明当+1n k =时结论也正确，由(1)、(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确2．用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始0n ．0n 不一定恒为1 ，也可能0=2n 或3 （即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找n k =与+1n k =的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明 过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设n k =时结论成立，利用此假设证明+1n k =时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3. 用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由n k =到+1n k =的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n k =到+1n k =的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n k =到+1n k =的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从+1n k =时分离出n k =时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．3.用数学归纳法证题的类型1. 用数学归纳法证明与正整数n 有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2.用数学归纳法证明与正整数n 有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3.用数学归纳法证明与正整n 有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4.用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式.用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“+1n k =”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．考点聚焦突破 分类讲练 以例求法考点一 数学归纳法证明等式【例1】利用数学归纳法证明(1)122n n n ++++=【训练11】利用数学归纳法证明222(1)(21)126n n n n +++++= 考点二 数学归纳法证明不等式【例1】用数学归纳法证明不等式214421242n n+++⋅⋅⋅>【训练12】21((1)2n n n ++<+ 考点三 数学归纳法证明数列【训练13】（2021•宝山区月考）在数列{}n a 中，12a =，11(2)2n n n n a a λλλ++=++-，其中0λ>．（1）求2a ，3a ，4a ，猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．考点四 数学归纳法证明整除问题【例1】是否存在正整数m ，使得()(27)39n f n n =+⋅+对任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【训练14】用数学归纳法证明：422135()n n n N +++∈能被14整除．考点五 数学归纳法证明几何问题【例1】用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数是*1(3)(3)2n n n n N -≥∈，.【训练15】在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点． 求证：这n 条直线将它们所在的平面分成222n n ++个区域．。

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二轮新课标文科数学 第一部分 专题三
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3．程序框图的三种逻辑结构：顺序结构、条件结构、循
环结构．解决程序框图问题时，一定要仔细分析程序框图的 实际意义是什么，也就是这个程序框图要计算的是什么，这 个计算是从什么时候开始、中间按照什么规律进行、最后计 算到什么位置，这是分析程序框图的一个基本思路.
n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成
数列c1，c2，c3，„，cn，„. (1)求c1，c2，c3，c4； (2)求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2， a4，„，a2n，„.
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解析：
(1)c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13.
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探究与程序框图的知识交汇 高考对算法的考查集中在程序框图，特点是带有循环结 构的程序框图，主要通过数列求和、求积，统计中的平均
数、方差的计算，函数值的计算等设计试题，解决的方法是
弄清楚程序框图中的计数变量和累加变量的关系，弄清楚循 环结束的控制条件，通过逐步计算、模拟程序的计算方法找 到其中的规律．
第4课时
推理与证明、算法初步
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高频考点
考情解读
归纳推理 与类比推 理
直接证明 与间接证 明
新课标高考对本部分的考查，主要考查利用归纳推 理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论．试题 以选择题或填空题的形式呈现，属中档题．
高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档 题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是 不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几 何、立体几何等．