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2018年苏教版数学选修2-1第2章 章末分层突破

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章末分层突破 [自我校对] ①x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)

②y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) ③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c

⑧ca

⑨x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) ⑩y＝±bax ⑪y＝±abx ⑫y2＝±2px(p＞0) ⑬x2＝±2py(p＞0)

⑭±p2，0 ⑮y＝±p2 ⑯PFd＝e

圆锥曲线定义的应用 “回归定义”解题的三点应用： 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB的最大值与最小值． 【精彩点拨】 A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化． 【规范解答】 如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．

由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1， ∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)． ∵|MB－MA1|≤A1B＝210，即－210≤MB－MA1≤210，又2a＝10，∴MA＋MB的最大值是10＋210，最小值为10－210. [再练一题] 1．双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，求△PF1F2的面积．

【解】 双曲线方程16x2－9y2＝144化为x29－y216＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)． 设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义， 可知|m－n|＝2a＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理得

cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝m2＋n2－2c22mn＝m－n2＋2mn－4c22mn＝36＋2×64－4×252×64＝12，所以∠F1PF2＝60°.

所以S△PF1F2＝12PF1·PF2·sin∠F1PF2＝12m·n·sin 60°＝163，所以△PF1F2

的面积为163. 圆锥曲线的性质与标准方程 1.有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解． 2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是： (1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型； (2)设方程：根据方程的类型，设出方程； (3)求参数：利用已知条件，求出a，b或p的值； (4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．

求与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程． 【精彩点拨】 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解． 【规范解答】 因为c＝9－4＝5，所以所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，

因为e＝ca＝55，c＝5，所以a＝5， 所以b2＝a2－c2＝20， 所以所求椭圆的方程为x225＋y220＝1. [再练一题] 2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(b>a>0)的焦半距长为c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)

两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为________. 【导学号：09390066】 【解析】 如图，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OE＝34c，AB＝a2＋b2＝c.

由于AB·OE＝OA·OB， ∴c·34c＝ab，∴34(a2＋b2)＝ab，两边同时除以a2，得34ba2－ba＋34＝0， ∴ba＝3或ba＝33(舍去)． ∴e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝2. 【答案】 2 求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程的方法有直接法、定义法、代入法和参数法，首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法． 设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程． 【精彩点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解． 【规范解答】 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)， 由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示：

即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为x－122＋y2＝14(去掉原点)． 法二(定义法)：设B点坐标为(x，y)，

由题意知，CB⊥OA，OC的中点记为M12，0， 则MB＝12OC＝12， 故B点的轨迹方程为x－122＋y2＝14(去掉原点)． 法三(代入法)： 设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)， 由题意得 x＝x12，y＝y12，即 x1＝2x，y1＝2y . 又因为(x1－1)2＋y21＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.

即x－122＋y2＝14(去掉原点)． 法四(交轨法)： 设直线OA的方程为y＝kx，

当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－1k(x－1)， 直线OA，BC的方程联立，消去k即得其交点轨迹方程y2＋x(x－1)＝0，即

x－

1

22＋y2＝14(x≠0,1)，

显然B(1,0)满足x－122＋y2＝14， 故x－122＋y2＝14(去掉原点)即为所求． [再练一题] 3．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，求点P与Q(0，－1)连线中点M的轨迹方程． 【解】 设P(x0，y0)，中点M(x，y)，

则 x＝x0＋02，y＝y0－12，∴ x0＝2x，y0＝2y＋1. 又P(x0，y0)在曲线y＝2x2＋1上， ∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2. ∴点M的轨迹方程为y＝4x2. 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点． 2．直线l截圆锥曲线所得的弦长AB＝1＋k2x1－x22或

1＋

1

k2y1－y22，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲

线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出． 如图2-1所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．

图2-1 (1)写出直线l的方程； (2)求x1x2与y1y2的值； (3)求证：OM⊥ON. 【精彩点拨】 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解． 【规范解答】 (1)过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－2)． (2)把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得 k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点， 故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，

x1x2＝4，x1＋x2＝4＋2k2， ∵M，N两点在抛物线上，∴y21·y22＝4x1x2＝16， 而y1y2<0，∴y1y2＝－4.

(3)∵OM→＝(x1，y1)，ON→＝(x2，y2)， ∴OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0， ∴OM→⊥ON→，∴OM⊥ON. [再练一题]

4．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x225＋y216＝1所截线段的中点坐标． 【解】 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)． 设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，

得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0， ∴x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32， y1＋y2

2＝25(x1＋x2－6)＝－65，

即中点坐标为32，－65. 圆锥曲线的最值问题 与圆锥曲线有关的最值问题的三种解决方法有： (1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值． (3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值． 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【精彩点拨】 联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值

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2018学年高中数学人教A版课件选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 章末分层突破2 精品

2018学年高中数学人教A版课件选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 章末分层突破2 精品


已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)经过点(0， 3)，离心率为12，左、 右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l：y＝－12x＋m 与椭圆交于 A， B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，
图22 且满足||CADB||＝543，求直线 l 的方程．【导学号：18490077】
已知椭圆 C 经过点 A1，32，两个焦点为(－1，0)，(1，0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互 为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值．
【精彩点拨】 (2)设 AF，AE 的直线方程得交点 EF，再求 kEF．
【解】 (1)由已知得 a＝2，b＝1，所以 c＝ a2－b2＝ 3． 所以椭圆 G 的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)， 离心率为 e＝ac＝ 23．
(2)由题意知|m|≥1．
当 m＝1 时，切线 l 的方程为 x＝1，点 A，B 的坐标分别为1， 23， 1，－ 23．
此时|AB|＝ 3． 当 m＝－1 时，同理可得|AB|＝ 3． 当|m|>1 时，设切线 l 的方程为 y＝k(x－m)．
∴M 点的坐标为2a， 3a． ∵M 点在双曲线上，∴4aa22－3ba22＝1，a＝b， ∴c＝ 2a，e＝ac＝ 2．故选 D．
【答案】 D
2．(2015·四川高考)过双曲线 x2－y32＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，
交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|＝( )
A．4 3 3
[再练一题] 1．点 P 是抛物线 y2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点 M 的 坐标是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点 P 的坐标． 【导学 号：18490076】
苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)

苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)

§2空间向量的运算(二)学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．1．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)2．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)3．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)4．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1—→；(2)BF →·AB 1—→；(3)EF →·FC 1—→.考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1—→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1—→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.类型二 利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系为___________________________________________________．(填“平行”“垂直”) 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 垂直解析 ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD → ＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0， ∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 设A 1B 1——→＝a ，A 1D 1——→＝b ，A 1A —→＝c ， 则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O —→＝A 1A —→＋AO →＝A 1A —→＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12a ＋12b －12c ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O —→⊥BD →，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O —→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ?平面GBD ，BD ?平面CBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， 所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三 利用数量积解决空间角或两点间的距离问题 命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC 所成角的余弦值． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉 ＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.反思与感悟 求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求解 解 不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， A 1B —→＝a －c ，AC →＝a ＋b . ∴A 1B —→·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1， 而|A 1B —→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B —→，AC →〉＝12×2＝12， ∵〈A 1B —→，AC →〉∈[0°，180°]， ∴〈A 1B —→，AC →〉＝60°.又异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c . 由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1—→＋A 1F —→ ＝－12AB →＋AA 1—→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可． 跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→， 所以AC →21＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA →21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1—→＋AD →·AA 1—→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC →21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1—→|2， 所以|AC 1—→|2＝23，则|AC 1—→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列说法正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B解析 结合向量的运算，只有B 正确．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则“c ·a ＝0且c ·b ＝0”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B解析 若a ∥b ，则不一定得到l ⊥α，反之成立．3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61D ．61考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 C解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61， ∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝3π4.5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．一、选择题1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( ) A ．垂直 B ．共线 C ．不垂直D ．以上都可能考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 数量积的性质 答案 A解析 由题意知|a |＝|b |， ∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 B解析 根据a ·(2b －a )＝0， 即2a ·b ＝|a |2＝4， 解得a ·b ＝2， 又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22， 又〈a ，b 〉∈[0°，180°]， ∴〈a ，b 〉＝45°，故选B.3．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B4．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，得|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 为等腰三角形．5．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( )A ．14B.14C ．4D ．2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B解析 ∵|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14， ∴|a －2b ＋3c |＝14.6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1—→·B 1C → B.BD 1—→·AC →C.AB →·AD 1—→D.BD 1—→·BC →考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 D解析 选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ， 又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1， 此时BD 1→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1， 所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1→＝0，故选D. 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B解析 ①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°， ∴③不正确，故选B. 二、填空题8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________. 考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用 答案 a 2解析 如图，A 1B →＝AB →－AA 1→，B 1C →＝BC →－BB 1→＝AD →－AA 1→， ∴A 1B →·B 1C →＝(AB →－AA 1→)·(AD →－AA 1→)＝AB →·AD →－AB →·AA 1→－AA 1→·AD →＋|AA 1→|2 ＝0－0－0＋a 2＝a 2.9．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 －310解析 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×⎝⎛⎭⎫－22＝－15， 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0， 即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2 ＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0. 解得λ＝－310.10．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，求得cos 〈a ，b 〉＝18.11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6×cos60°＋9＝13， ∴|a ＋3b |＝13. 三、解答题12．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点． (1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D —→＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D —→＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D —→，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 13．等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝P A →·PB →，则实数λ的值为________． 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 空间向量数量积定义 答案 1－22解析 如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB → ＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos A ，P A →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2， 设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1－22⎝⎛⎭⎫λ＝1＋22舍. 四、探究与拓展14．已知BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB 1A 1，平行四边形BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，则异面直线BA 1与AC 所成的角为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 60°解析如图所示，∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2. ∴BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→||AC →|cos 〈BA 1→，AC →〉， ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a＝－12.又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0°，180°]，∴〈BA 1→，AC →〉＝120°， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.。

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末分层突破学案 苏教版选修2-1(2021年整理)

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末分层突破学案 苏教版选修2-1(2021年整理)

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第2章圆锥曲线与方程章末分层突破[自我校对］①错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)②错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)③(±a，0），(0，±b)或（0，±a），(±b,0）④2a⑤2b⑥（－c,0），（c,0）⑦2c⑧错误!⑨错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）⑩y＝±错误!x⑪y＝±错误!x⑫y2＝±2px（p＞0）⑬x2＝±2py(p＞0）⑭错误!⑮y＝±错误!⑯错误!＝e圆锥曲线定义的应用“回归定义"应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程;应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A(4,0），B（2，2），M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB的最大值与最小值．【精彩点拨】A(4，0)为椭圆的右焦点,B为椭圆内一点，画出图形,数形结合，并且利用椭圆定义转化．【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0）恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1（－4,0）(左焦点)．由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，∴MA＋MB＝（2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．∵｜MB－MA1|≤A1B＝2错误!,即－2错误!≤MB－MA1≤2错误!，又2a＝10，∴MA＋MB的最大值是10＋2错误!，最小值为10－2错误!.[再练一题]1．双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上,且PF1·PF2＝64，求△PF1F2的面积．【解】双曲线方程16x2－9y2＝144化为错误!－错误!＝1,即a2＝9,b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1（－5，0），F2(5,0）．设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义,可知|m－n|＝2a＝6，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以∠F1PF2＝60°。

2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷 Word版含答案

2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷 Word版含答案

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．答案12解析∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12.2．已知F 1，F 2分别是椭圆x2k ＋2＋y2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．答案12解析△ABF 2的周长为4a ，且4a ＝8，所以a ＝2，得k ＝2，所以b 2＝3， 所以e ＝ca ＝4－32＝12.3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.答案2解析设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2， 则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.5．已知椭圆x2a2＋y216＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案20解析由椭圆定义知，△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20.6．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案44解析由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，由P A ＋QA ＝PQ ＝2×8＝16，得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.7．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．答案y ＝±33x解析∵y 2＝8x 焦点坐标是(2,0)，∴双曲线x2a2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．答案3x 2－y 2＝1解析由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，那么d ＝bc b2＋a2＝bcc＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，则所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.9．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程为________．答案x24＋y22＝1解析设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知得x 2＋y 2－2＝x22，即x24＋y22＝1.10．已知椭圆x225＋y216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，且椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF 1F 2的面积为________．答案45解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，不妨记PF 1＝3，则PF 2＝7，又2c ＝6， 所以cos ∠PF 2F 1＝72＋62－322×6×7＝1921，从而可得sin ∠PF 2F 1＝4521，所以＝12×6×7×sin ∠PF 2F 1＝4 5.11．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．答案57解析在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ，所以a ＝7，则e ＝c a ＝57.12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sinA ＋sinBsinC的值等于________．答案3解析在△ABC 中，由正弦定理得sinA ＋sinB sinC ＝CB ＋CAAB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sinA ＋sinB sinC ＝2a 2c ＝1e＝3.13．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．答案138解析由P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138.14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．答案①②④解析①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33；③正确；④渐近线方程为y ＝±75x . 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b . 又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a2＋0b2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴0a2＋9b2＝1，∴b 2＝9，∴b ＝3，a ＝9.∴椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上，椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1或y281＋x29＝1.16．(14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .17．(14分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程． 解设椭圆的方程为x2a21＋y2b21＝1，双曲线的方程为x2a22－y2b22＝1，焦距2c ＝213，由已知得a 1－a 2＝4，c a1∶ca2＝3∶7，解得a 1＝7，a 2＝3，c ＝13，所以b 21＝36，b 2＝4，所以两条曲线的方程分别为x249＋y236＝1，x29－y24＝1.18．(16分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．解设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，Δ＝4(4＋m )2－64＞0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.由2错误!＝6错误!，解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意且满足Δ＞0. 所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .19．(16分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．解(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a2－c2＝1， 所以椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x23＋y2＝1得x ＝±错误!，所以圆P 的半径为错误!.当圆P 与x 轴相切时，|t |＝错误!，解得t ＝±错误!，所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32.20．(16分)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A 与短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．解(1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－ba.错误!则有y －c＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴c2a2＋y2b2＝1.②由①②得c2a2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22.(2)设QF 1＝m ，QF 2＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，F 1F 2＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m2＋n2－4c22mn ＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ＜1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2.又当Q 为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.。