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浙江大学学年春夏学期线性代数期末答案

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浙江大学学年春夏学期线
性代数期末答案

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浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末答案
一、 填空题（每空3分）

1．设
aaaaaaaaaa
333231
232221

131211

，则
333231323123222122211312111211aaxaxaaaaxaxaa

aaxaxaa

（ax)1(2）。
2．设4阶矩阵2111121111211112A，则**)(A（ 25A ）。
3．设V是实数域上的全体44反对称矩阵所构成的线性空间，
即
},|)({44ijTijaAAaAV
。
写出V的一组基
（433442243223411431132112,,,,,eeeeeeeeeeee）。V的维

数是（ 6 ）。设4阶矩阵



0221
2043
2402
1320

A
，写出A在上面这组基

下的坐标（T)2,2,4,1,3,2(）。
4．设A是3阶矩阵，且4,2,1,0332211AAAA，则*A的特征值是

1（ 0 ），
2

（ 0 ），3（ -1 ）。

二、 计算题。
1． 计算行列式
4444445544444444333333332222222223452345234523454





D
（12分）。

解：略。=34560。
2． 已知齐次线性方程组000322212321321xcxbxacxbxaxxxx
问(1) a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解。（答：两两互
异。具体略）
(2) a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解
系表示他的全部解。（要分四种情况讨论，具体略）

3． 已知向量组011,12,110321ba与向量组




769,103,3
2
1

321

有相同的秩，且

3

可以由

321
,,


线性表示。求ba,的值，并写出
3

由321,,线性表示的一个

表达式。（答：a=15,b=5。具体略）
4． 设A,B都是3阶实可逆矩阵，A的特征值是
321

1,1,1


，这

里
321
,,


是互不相同的正整数，若B的特征值是-5，1，7，

AAB6)(21，求321,,，并分别写出与BAA,,
1
相似的对角形

矩阵。
解：因为A的特征值是3211,1,1，AAB6)(21，所以
1

A

的特征

值为321,,，B的特征值为32322212
1

6,6,6





。因为B的特征

值是-5，1，7，所以可令76,16,5632322212
1




。因为

321
,,

是互不相同的正整数，解76,16,56323222121得
3,2,1321

。所以与
BAA,,
1
相似的对角形矩阵分别为…。

5． 已知二次型323121232221321484433),,(xxxxxxxxxxxxf。
（1） 写出二次型的矩阵。
（2） 用正交线性替换QYX化二次型
),,(

321
xxxf

为标准形。

（3） 求实对称矩阵B使得
3
BA
。

解：（1）二次型的矩阵为


324202423A
。

（2）使用实对称矩阵对角化的方法，具体略。
（3）因为811AQQT，令


211H
，则有

))()((8113TTTTTQHQQHQQHQQQHQQA
。令

?TQHQB
，则3BA且B为实对称矩阵。

三、 证明题。
1． 设A是实对称矩阵，B是正定矩阵。求证AB的特征值
全是实数。
证：因为B是正定矩阵，所以存在可逆矩阵C使得
CCB

T

。所

以AB与矩阵
TCACCABC1
)(
相似。因为A是实对称矩阵，所

以
TCAC是实对称矩阵，所以T
CAC
的特征值全是实数，从而AB

的特征值全是实数。
2．
设A是nm矩阵，B是tm矩阵，r(B)=t。令
)()2()1()(,,,,),(r
tnmXXXBAC

为齐次线性方程组

0CX
的一个基

础解系
，设



)(1)(0)(iiiXXX
，这里)(0iX为)(iX的前n个元素。求证

)()2()1(000,,,r
XXX
线性无关。

证：因为
)()2()1(,,,r
XXX

为齐次线性方程组

0CX
的一个基础解系，

所以0),(
)()(ii
XBACX

，即

0),(),()(1)(0)(1)(0)(iiiiiBXAXXXBAXBA
。

假设
0
)()2(2)1(1000r

r
XkXkXk

(1)。

因为
0
)(1)(0iii

i
BXkAXk

，

所以
0)()(
)()2(2)1(1)()2(2)1(1111000rrr

r
XkXkXkBXkXkXkA
。

由(1)知道，
0)(
)()2(2)1(1111r

r
XkXkXkB

。因为r(B)=t，所以

0)()2(2)1(1111rrXkXkXk
。

再结合(1)可得
0
)()2(2)1(1r

r
XkXkXk
。

由于
)()2()1(,,,r
XXX

现行无关，所以021rkkk，即

)()2()1(000,,,r
XXX

线性无关。

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《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。

① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。

大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

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线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。

大学线代期末试题及答案

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大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。

答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。

答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。

答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。

答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。

答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。

然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。

最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。

浙江大学08-09秋冬《线性代数I》期末考试试卷及答案

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V = { f :[0,1] → \ | f 连续}
（a） 给出 V 的向量加法和数乘法使 V 成为线性空间。 （b） 证明 ( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx 是 V 的内积。
0 1
（a） 解：对 ∀f , g ∈ V , ∀λ ∈ \ ，定义
f + g : [0,1] → 6 x λ f : [0,1] → x 6
0 " −1 t 0 " 0 −1 t " t 0 # 0 0 0 # 0 0 0 #
0 0 0 #
a1 a2 a3 #
an −1 0 " t 0 " −1 t + an 0 0 0 # t n + an t n −1 + " + a2t + a1 t n −1 + an t n − 2 + " + a3t + a2 t n − 2 + an t n −3 + " + a4t + a3 # t 2 + an t + an −1 t + an
解：略。 2．线性变换 T : \ 2 → \ 2 的定义是
T ( x, y ) = (3x − y, x + 3 y ) .
设 B = {(1,1), (1, −1)}, B′ = {(2, 4), (3,1)} 。 （a） 证明 B, B′ 是 \ 2 的两组基。 （b） 给出 T 关于基 B 的矩阵表示 A 和 T 关于基 B′ 的矩阵表示 A′ 。 （c） 求矩阵 Q 使 A′ = Q −1 AQ 。 （a） 证明： 先证明 B 线性无关 （略） 。 因为 B 所含的向量个数 = 2 = dim \ 2 ， 所以 B 是 \ 2 的一组基。 B′ 类似可证。 （b） 解：由定义即可（略） 。 （c） 解：矩阵 Q 是基 B 到基 B′ 的过渡矩阵，由定义求之即可。