同济大学《线性代数》期中试卷&参考答案

线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。

7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。

8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。

9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。

10. 线性变换的像空间是变换的_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。

12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。

四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。

14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。

五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。

同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、 已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、 设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示 ，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、 设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、 非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。

2009—2010学年第二学期课名：线性代数（2学分）一、填空与选择题(24分)1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则11030T A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭______abm n )()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300m nTA B +-⎛⎫⎪⎝⎭（）由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到ab m n )()3(+- 2、 设100220333A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其伴随矩阵为*A ，则()1*A -=____A 61______.解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1A A A =，()1*-1-1116AA A A A A -===（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________.解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-=由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为1231533410-3111-5-3-7λλλ=+-=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知253A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有=5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值之和为1，全体特征值之积为12-，则a =_1__________，b =___2________.解：二次型A 所对应的矩阵是00200-2a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为它的行列式的值即使特征值的积，主对角线之和（又称为迹，用tr （A ）表示）既是特征值之和，得到a=1，将a 代入A ，求出行列式=-12，得到b=2；6、 设A 为n 阶非零方阵，且A 中各行元素都对应成比例，又12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则-1t n =____________.解：因为A 中各行元素都对应成比例且A 为n 阶非零方阵，很明显11111111()1,..([])1111R A e g =,又由于12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，所以它的基础解系中有t 个线性无关向量，则根据-n r A t =（） ，可得-1t n =7、 设12324369Q t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零方阵，且0PQ =，则下面说法正确的是_____C____. (). 6() 1 (). 6() 2 (). 6() 1 ().6() 2A t R PB t R PC t R PD t R P ====≠=≠=时时时 时解：利用代入法，0PQ R P R Q n =−−→+≤（）（），6(Q)1()2t R R P ==∴≤时， 6()2 1 t R Q R P ≠=∴≤时，（），因为P 为3阶非零方阵，1R P ∴=（）8、 设1123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1223b b b α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1323c c c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,三条不同的直线0i i i a x b y c ++=，(1,2,3)i =，220i i a b +≠，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.12312312312312312(). ,,). ,, (). (,,)(,,) ().,,,A B C R R D ααααααααααααααααα=线性相关 (线性无关 线性相关,线性无关解：这题的意思是，要让这个线性方程有唯一解（只有唯一解才能让它们交于同一点）即增广矩阵111222333---a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩应该为2，且系数矩阵112233a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩也应该为2所以12312,,,ααααα线性相关,线性无关二、(12分) 设n 阶方阵111b b bb A bb ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L，试求A 的全体特征值.. 解：根据特征多项式定义-0A E λ=，1-1-01-b b b b bb λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M O M L，（小技巧，把每一列元素对应加到第一列上，在把第一列上的元素提出来就很容易得到特征值了）解得：-11n b λ=+（），1--1b n λ=（重）三、(10分)设4阶方阵1000230004500067A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，又()E A B E A +=-，求E B +. 解：这种题拿到就化简，()(2E A B E A E A E B E +=-−−→++=（）） 这时应该先算0E A +≠（），说明E A +（）可逆，然后得到-1(2E B E E A +=+）（） 1000110022111033311114444E B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、(12分)已知线性方程组123123123(2)22 1 2(5)4 2 24(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，试讨论参数λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.解：这种题很好解，因为它的系数矩阵是方阵，所以，根据克莱姆法则，我们可以直接求它的系数行列式，并令其为0，2-2-225--4-2-45-λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令它的行列式为0，得到1,1,10λ=，当1λ=当增广矩阵为12-2124-42-2-44-2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用初等变换，得到 1 2 -2 00 0 0 1 0 0 0 0说明系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不等，所以无解，把10λ=带进去，得到的是无穷解 所以110λ≠和有唯一解五、(12分)设有如下两个向量组：向量组()123111I :0,1,1232a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量组()II :1231222,1,1364a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问a 取何值时两个向量组等价？a 又为何值时两个向量组不等价？解：先对I 和II 求行列式，可解得I 的行列式为1a +，II 的行列式为6,可知，它们要等价，则a 必然不能等于-1.当a=-1，I 和II 的秩不等。

2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 信电学院期中考试试卷参考答案考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．A; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．C; 7．D; 8．C ． 9. D; 10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(-n n ; 12．35-; 13．A nλ; 14． A -; 15．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1716213213012; 16．.91；17. 1; 18. 1 ; 19. 1123324411233442,a a a a a a a a -. 20. 1;三、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）21. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，T β为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R . 证明： (1) 因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2≤+≤+≤+=βαββααββααR R R R R A R T T T T ，所以2≤)(A R （5分）。

(2) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=（2分）. 于是())1()()()1)(()()(分分2112<≤≤=+=+=βββββββααR R k R R A R T T T T ，即2<)(A R （3分）。

22、设向量组4321,,,ββββ线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组432,,,1αααα线性无关. 证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦ …………………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆 …………………2分 [][]112341234,,,,,,P ββββαααα-=,12341234,,,,,,,ββββαααα即可由线性表示 …………………2分 12341234,,,,,,.ααααββββ向量组与等价 …………………2分 1234,,,,αααα由等价的向量组秩相等所以线性无关. ………2分23. 设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明： 记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立(1分)． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立（2分）． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-（3分）21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+（3分）故 ||(1)nA n a =+（1分）.四、解答题（共30分）24. 问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ，(1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. ……………………………2分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解. …………………………………………………2分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231x x x ++=，所以原方程通解为 12123111100010x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,c c 为常数。