锐角三角函数 (1)

如果∠α是任意锐角, 这些比值会随着点P在终边的位置改变 而改变吗?__不_变___
PM OP
叫做角α的正弦,记做sinа。Sinα=
PM OP
OM OP
叫做角α的余弦,记做cosа。cosα=
OM OP
PM 叫做角α的正切,记做tanа。tanα= PM
OM
OM
OM 叫做角α的余切，记做cotа。cotα=
1 )角α的正弦sinα，余弦cosα，正切tanα， 余切cotα统称锐角α的三角函数。
2) Rt△ABC中, 锐角α的三角函数的规律:
α的对边 Sinα= 斜边
α的对边 tanα=
α的邻边
Cosα=
α的邻边 斜边
α的邻边 Cotα= α的对边
斜边 Cotα= α的邻边
α的对边
例1:已知Rt△ABC中,∠C=Rt∠. 求证:①cosA=sinB
②tanA=cotB.
互余的两个锐角间三角函数有什么样的关系?
互余两角的三角函数的关系
α α Sin(900__ )= cos α α tan(900__ )= cot
α cos(900▪__ ) = sinα α α cot(900__ )= tan
如图:锐角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的正半轴
上,终边上有一点P(2,Y) 如 果 sinα=
y
α
o
5 求y.
5
p (2,y)
x
锐角α终边上一点P(x,y)的横坐标,纵坐标和原点到P的 距离r有什么关系:
r= x2 y2
y tanα=
x
Sinα=
y
x Cosα=
r
r
x Cotα=

锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。

A 1 B2
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体 你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
驶向胜 利的彼
岸
生活问题数学化
驶向胜 利的彼
岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题，如图:
A
E
5m
5m
B2.5m C F 2m D
有比较才有鉴别
驶向胜 利的彼
6.如图， ∠C=90°CD⊥AB.
tan
B
( (
))
( (
))((
)).
A
驶向胜 利的彼
岸
C
┌ DB
7.在上图中，若BD=6，CD=12.求tanA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
八仙过海，尽显才能
驶向胜 利的彼
岸
8.如图，分别根据图 (1)和图(2)求tanA的值.
A
你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
驶向胜 利的彼
岸
1.5
┌
A
D
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达
山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
B
55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┌
A
C
八仙过海，尽显才能
3.鉴宝专家--是真是假：
(1).如图 (1)tan A BC (假)
岸
梯子AB和EF哪 个更陡？你是怎
样判断的？
小颖的问题，如图:
A
E
？
4m
3.5
m
B 1.5m C F 1.3m D
永恒的真理 变

雨母山中学 九年级数学导学案 主备人 .周扬清
锐角三角函数（1）
课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号sx 09031
【抽测】
【目标要求】
1 认识锐角三角函数及它们的值的取值范围。

（重点）
2 在利用相似三角形知识测量、计算物体高度的过程中，联想函数概念，观察、发现、建立锐角三角函数概念。

（难点）
3
在运用知识解决问题的过程中，观察、联想、分析、推断可以获得数学发现，体验数学活动充满探索性和创造性。

【自主探究】
知识点一：锐角三角形函数的概念
在△ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足a:b =3:4，求∠B 的四个三角函数。

知识点二：同角三角函数关系及互余角的三角函数的关系
如图，在△ABC 中，∠C=900，AC,BC 均为直角边，AB 为斜边，求2
2
sin cos A A +与
sin tan cos A A A
-
的值。

【小试牛刀】。

1 在△ABC 中，∠C=900，AC=9，BC=12，则sin A +sin B = 。

2 在△ABC 中，∠C=900，AB=2，AC=1，则tan B = 。

3 在△ABC 中，∠C=900，BC=4，sin A =23，求AC 边的长。

【整理评价】
1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。

2 反思我这节课的表现，学习状态（ ）
A 很认真，值得表扬
B 还可以，继续努力
C 还得加油
【课后作业】
课本P80 复习题 第2、3、7题 P81 第10题.。