人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用讲解
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第 1 页 共 33 页 选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》
§2.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
椭圆的定义：到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹．
标准方程：（1）222210xyabab，22cab，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0）；
（2）222210yxabab，22cab，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c）．
【例题精讲】
【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．
【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22，求椭圆的标准方程．
点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程． 第 2 页 共 33 页 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a，b，c的值．
【例4】已知ΔABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．
【基础达标】
1．椭圆221259xy上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．10
2．椭圆2211312xy上任一点 P到两个焦点的距离的和为（ ）
A．26 B．24 C．2 D．213
3．已知 F1，F2是椭圆221259xy的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 M，N两点，则△MNF2周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．32
4．椭圆的两个焦点分别是F1(－8，0)和F2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）
A．2212012xy B．22140036xy C．22110036xy D．22136100xy 第 3 页 共 33 页 5．椭圆2214xym的焦距是 2，则 m的值为（ ）
A．5或 3 B．8 C．5 D．16
6．椭圆221169xy的焦距是 ，焦点坐标为 ．
7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点533，-的椭圆方程是 ．
1～5 ADCCA
【能力提高】
8．如果方程 x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．
9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4，b=3，焦点在x轴； （2）a=5，c=2，焦点在y轴上．
10．求到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程．
§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）
【知识要点】
熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质．
掌握标准方程中a，b，c的几何意义，以及a，b，c，e的相互关系．
理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法． 第 4 页 共 33 页 【例题精讲】
【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．
【例 2】已知 x轴上的一定点 A（1，0），Q为椭圆2214xy上的动点，求 AQ中点 M的轨迹方程．
【例 3】椭圆22110036xy上有一点 P，它到椭圆的左焦点 F1的距离为 8，求△PF1F2的面积．
【例 4】设P是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值． 第 5 页 共 33 页
【基础达标】
1．已知P是椭圆22110036xy上的一点，若P到椭圆右焦点的距离是345，则P点到椭圆左焦点的距离是（ ）
A．165 B．665 C．758 D．778
2．若焦点在 x轴上的椭圆2212xym的离心率为12，则 m =（ ）
A．3 B．32 C．83 D．23
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）
A．221144128xy B．2213620xy C．2213236xy D．2213632xy
4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件1290PFPFaaa，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．14 B．22 C．24 D．12
6．已知椭圆C的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C的离心率等于 ．
7．离心率12e，一个焦点是 F（0，－3）的椭圆标准方程为 ．
1～5 BBDDD
【能力提高】 第 6 页 共 33 页 8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169xy的两个焦点相同的椭圆标准方程．
9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e，短轴长为85，求椭圆的方程．
10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距 m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2和3，求该卫星与地球的最近距离．
§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）
【知识要点】
掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．
能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．
【例题精讲】 第 7 页 共 33 页 【例 1】已知椭圆C的焦点F122,0和F222,0，长轴长6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
【例 2】椭圆的中心为点E（－1，0），它的一个焦点为F（－3，0），且椭圆的离心率255e，求这个椭圆的方程．
【例 3】已知椭圆2212xy的左焦点为F，O为坐标原点，求过点O、F，并且与直线l：x=－2相切的圆的方程．
【例 4】如图，把椭圆2212516xy的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则123++PFPFPF45++PFPF
67+PFPF ． 第 8 页 共 33 页
【基础达标】
1．椭圆22110036xy上的点 P到它的左焦点的距离是 12，那么点 P到它的右焦点的距离是（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
2．已知椭圆2221525xyaa的两个焦点为F1、 F2，且|F1F2|=8，弦 AB过点 F1，则△ ABF2的周长为（ ）
A．10 B．20 C．241 D．441
3．椭圆221259xy的焦点 F1、F2，P为椭圆上的一点，已知 PF1⊥PF2，则△ F1PF2的 面积为（ ）
A．9 B．12 C．10 D．8
4．椭圆221164xy上的点到直线 x+2y2=0 的最大距离是（ ）
A．3 B．11 C．22 D．10
5．如果椭圆221369xy的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． x－2 y=0 B． x +2 y－4=0 C． 2x+3y－12=0 D． x+2 y－8=0
6．与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，3）的椭圆的标准方程是 ．
7．离心率53e，一个焦点的坐标为5,03的椭圆的标准方程是 ． F 第 9 页 共 33 页 1～5 DDBAD
【能力提高】
8．已知椭圆22194xy上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求 P点坐标．
9．过椭圆22194xy内一点 D（1，0）引动弦 AB，求弦 AB的中点 M的轨迹方程．
10．椭圆221164xy上有两点 P、Q，O是原点，若 OP、OQ斜率之积为14．求证22OPOQ为定值．
§2.2.1 双曲线及其标准方程
【知识要点】
掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；
掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程； 第 10 页 共 33 页 会按y2特定条件求双曲线的标准方程；
理解双曲线与椭圆的联系与区别．
【例题精讲】
【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a，b，c的值．
【例 2】已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点13,42P、29,54P在此双曲线上，求双曲线的标准方程．
【例 3】点 A位于双曲线222210,0xyabab上， F1，F2是它的两个焦点，求△AF1F2的重心
