培训学习资料-全微分

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

1 第三节 全微分

教学目的：(1) 理解全微分的概念；

(2) 了解全微分存在的必要条件和充分条件。

教学重点：全微分的概念

教学难点：全微分的概念

教学方法：讲练结合

教学时数：2课时

一、全微分的概念

根据偏导数的定义，多元函数对某个自变量的偏导数是把其余自变量视为常数，对该自变量求导。这就是说，把多元函数作为一元函数来处理。

由一元函数微分学中增量与微分的关系得

),(),(yxfyxxf xyxfx),(

),(),(yxfyyxf yyxfy),(

二元函数对x和对y的偏增量； 二元函数对x和对y的偏微分

如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差

),(),(yxfyyxxf

为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，记为z，即

z=),(),(yxfyyxxf

计算全增量一般比较复杂，当x和y充分小时，我们希望用自变量的增量x和y的线性齐次式来近似代替函数的全增量z。

与一元函数的微分概念类似，我们引入二元函数的全微分概念：

定义3.1如果函数),(yxfz在点P),(yx的某邻域内有定义，且其全增量z可以表示为

(,)(,)()zAxyxBxyyo，

其中(,),(,)AxyBxy不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点P),(yx可微分，而

(,)(,)AxyxBxyy

称为函数),(yxfz在点P),(yx的全微分，记为dz，即

dz=(,)(,)AxyxBxyy. 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

全微分基本公式是dz=z'(x)dx+z'(y)dy。如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。

全微分定义

全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。

但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。

§8.3 全微分

一、全微分的定义

给定二元函数zfxy(,)，且fxyx(,)fxyy(,)均存在，由一元微分学中函数增量与微分的关系，有

xyxfyxfyxxfx),(),(),(

yyxfyxfyyxfy),(),(),(

上述二式的左端分别称之为二元函数zfxy(,)对x或y的偏增量，而右端称之为二元函数zfxy(,)对x或y的偏微分。

为了研究多元函数中各个自变量都取得增量时，因变量所获得的增量，即全增量的问题，我们先给出函数的全增量的概念。

【定义】 设二元函数zfxy(,)在点Pxy(,)的某邻域内有定义，点Pxxyy(,)为该邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差

fxxyyfxy(,)(,)

为函数在点Pxy(,)处对应于自变量增量x与y的全增量，记作z。

即 zfxxyyfxy(,)(,) (1)

一般说来，全增量z的计算往往较复杂，参照一元函数微分的做法，我们希望用自变量增量x与y的线性函数来近似地代替，特引入下述定义。

【定义】如果函数zfxy(,)在点(,)xy的全增量

zfxxyyfxy(,)(,)

可表示成为

zAxByo() (2)

其中，A,B为不依赖于x与y，而仅x与y有关，xy22

则称函数fxy(,)在点(,)xy处可微分。

而AxBy称为函数zfxy(,)在点(,)xy处的全微分，记作

dzAxBy

二、函数可微分的条件

【定理一】（必要条件）

如果函数zfxy(,)在点(,)xy处可微分，则函数在点(,)xy处的偏导数zx, zy必定存在，且函数在点(,)xy的全微分为

dzzxxzyy (3) 证明：设函数zfxy(,)在点Pxy(,)可微分。于是，对点Pxy(,)某一邻域内的任意一点Pxxyy(,)，(2)式总成立。

全微分知识点总结

微分的概念在数学中占据着非常重要的位置，而全微分则是微分学中的一个重要概念。全微分常常与偏导数、方向导数等概念联系在一起，是微分学中的一个重要概念。下面我们就来系统地总结一下全微分的相关知识点。

概念

全微分是对多元函数进行微分的概念。在数学中，一个多元函数是指由多个自变量所构成的函数。如果一个函数是一个二元函数，那么该函数可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。全微分指的是当x和y分别发生一个小的变化Δx和Δy时，z相应的变化Δz的极限近似值。全微分的定义是函数f(x, y)在(x0, y0)点处，如果存在常数A和B，使得

Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)(Δρ)

成立，那么就称f(x, y)在点(x0, y0)处可微分。其中o(ρ)(Δρ)是一个与Δρ同阶的函数，且当Δρ趋进于0时，o(ρ)(Δρ)/Δρ趋进于0。

全微分的求法

对于一个函数z = f(x, y)来说，如果该函数在点(x0, y0)处可微分，那么函数在该点的全微分可以通过下面的公式来求得：

dz = ∂f/∂x * Δx + ∂f/∂y * Δy

其中，∂f/∂x表示f对x的偏导数，∂f/∂y表示f对y的偏导数。这个公式就是全微分的求法。

全微分与偏导数的关系

在上面的公式中，我们可以看到全微分中包含了偏导数。偏导数是指多元函数对某个自变量的导数，而全微分则是对多元函数进行微分的概念。在求全微分时，我们要对每个自变量求偏导数，然后与自变量的变化相乘再求和，得到最后的全微分。因此，可以说全微分与偏导数是相关的，而偏导数是全微分的一个组成部分。

全微分与方向导数的关系

方向导数是指多元函数在某一点沿着某一方向的导数。全微分与方向导数也是相关的。在数学分析中，我们常常用全微分来求方向导数。对于一个多元函数z = f(x, y)，在点(x0, y0)处沿着方向向量u = (α, β)的方向导数可以表示为：