微积分复习资料

基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,kkA A A x a x a x a +++---其中:1,,k A A 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l llM x N M x N M x N x px q x px q xpx q ++++++++++++其中:(),1,2,,i i M N i l =为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。

定积分的定义定义(定积分) 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义.用分点0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=将区间[],a b 任意分成n 个小区间,小区间的长度为()11,2,,,i i i x x x i n -∆=-=记{}1max .i i nx λ≤≤=∆在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1i i i i x x ξξ-≤≤,作乘积()()1,2,,.i i f x i n ξ⋅∆=将这些乘积相加,得到和式()1,nn i i i f x σξ==⋅∆∑这个和称为函数()f x 在区间[],a b 上的积分和.令0λ→,若积分和n σ有极限I (这个值I 不依赖于[],a b 的分法以及中间点i ξ的取法()1,2,,i n =),则称此极限值为()f x 在[],a b 上的定积分,记作()()01lim ,nbi i ai I f x f x dx λξ→==⋅∆=∑⎰其中a 和b 分别称为定积分的下限与上限，[],a b 称为积分区间.函数的可积性定理1 若()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上可积.定理2 若()f x 在[],a b 上只有有限个间断点,并且有界,则()f x 在[],a b 上可积.定积分的几何定义在[],a b 上()0f x ≥时,我们已经知道,定积分()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =、两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积;在[],a b 上()0f x ≤时,由曲线()y f x =、两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定积分()baf x dx ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时,函数()f x 的图形某些部分在x 轴的上方,而其它部分在x 轴下方.此时定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去x 轴下方图形面积所得之差(图4-2).定积分的基本性质为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定: (1) 当a b =时,()0baf x dx =⎰;(2) 当a b >时,()().baabf x dx f x dx =-⎰⎰性质11.badx b a =-⎰性质2 (线性性质)()()()()1212.bb baa a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰推论1 ()()()().bbba a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 推论2 ()().bba a kf x dx k f x dx =⎰⎰性质3()()().bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰性质4 若()(),a b f x g x <≤,则()().b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论3 若(),0a b f x <≥,则()0.baf x dx ≥⎰推论4 若(),a b m f x M <≤≤,则()()().bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰推论5()()().bbaaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰性质5(定积分中值定理)（图4-6） 若()f x 在[],a b 上连续,则至少有一点[],a b ξ∈,使得()()().baf x dx f b a ξ=-⎰积分上限的函数及其导数定理1 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限的函数()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上可导,并且它的导数()()()()'.xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰ 定理2 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()()xax f t dt Φ=⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.一、牛顿---莱布尼茨公式定理3 如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数,则()()().baf x dx F b F a =-⎰通常也把牛顿----莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（2） 定积分的换元积分法与分部积分法()f x 在[],a b 上连续,作变换()x t ϕ=,其中()t ϕ满足 ()()(1),,a b ϕαϕβ==且当[],t αβ∈时,()[],t a b ϕ∈;(2)()t ϕ在[],αβ上具有连续导数,则()()()'.baf x dx f t t dt βαϕϕ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰定积分的分部积分法：()()()()()()''bbbaaau x v x dx u x v x v x u x dx=-⎰⎰例28 证明:1. 若()f x 在[],a a -上是连续的偶函数,则()()02.aaaf x dx f x dx -=⎰⎰2. 若()f x 在[],a a -上是连续的奇函数,则()0.aaf x dx -=⎰例29 若()f x 在[]0,1上连续,证明:(1)()()220sin cos ;f x dx f x dx ππ=⎰⎰(2)()()0sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰例31 设()f x 是连续的周期函数，周期为T ，证明:(1)()()0;a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰(2)()()()0.a nT Taf x dx n f x dx n N +=∈⎰⎰例9 证明:220sin cos 1331,2422n-1342,.n 253nn n I xdx xdxn n n n n n n n πππ==--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨-⎪⋅⋅⎪-⎩⎰⎰为正偶数；为正奇数 证:令,2x t π=-则2202sin cos cos .nnn xdx tdt xdx πππ=-=⎰⎰⎰当2n ≥时,()()()()()122012222022202sin sin cos cos sin1sin cos 1sin1sin 11.nn n n n n n n n I xdx xd x x x n x xdxn xdx n xdxn I n I ππππππ-----==-=-+-=---=---⎰⎰⎰⎰⎰这样,我们得递推公式:21.n n n I I n --=当n 为正偶数时,01331;242n n n I I n n --=⋅⋅- 当n 为正奇数时,11332.243n n n I I n n --=⋅⋅- 又210200sin 1,.2I xdx I dx πππ====⎰⎰故1331,2422n-1342,.n 253n n n n n n I n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨-⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数；为正奇数在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它反常积分无穷限的反常积分定义1 设函数()f x 在区间[),a +∞上连续,取t a >,如果极限()lim tat f x dx →+∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[),a +∞上的反常积分,记作(),af x dx +∞⎰即()()lim ,taat f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰这时也称反常积分()af x dx +∞⎰收敛;如果上述极限不存在,则函数()f x 在无穷区间[),a +∞上的反常积分()af x dx +∞⎰就没有意义,习惯上称为反常积分()af x dx +∞⎰发散,这时记号()af x dx +∞⎰不再表示数值了.类似地, 设函数()f x 在区间(],b -∞上连续,取t b <,如果极限()lim btt f x dx →-∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(],b -∞上的反常积分,记作(),bf x dx -∞⎰即()()lim ,bbtt f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰这时也称反常积分()bf x dx -∞⎰收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分()bf x dx -∞⎰发散.设函数()f x 在区间(),-∞+∞上连续,如果反常积分()0f x dx -∞⎰和()0f x dx +∞⎰都收敛,则称上述两反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(),-∞+∞上的反常积分,记作(),f x dx +∞-∞⎰即()()()0,f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰这时也称反常积分()f x dx +∞-∞⎰收敛;否则就称反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散.上述反常积分统称为无穷限的反常积分.由上述定义及牛顿---莱布尼茨公式,可得如下结果.设()F x 为()f x 在[),a +∞上的一个原函数,若()lim x F x →+∞存在,则反常积分()()()lim ;ax f x dx F x F a +∞→+∞=-⎰若()lim x F x →+∞不存在,则反常积分()af x dx +∞⎰发散.如果记()()()()()lim ,,a x F F x F x F F a +∞→+∞+∞==+∞-⎡⎤⎣⎦则当()F +∞存在时,()();a af x dx F x +∞+∞=⎡⎤⎣⎦⎰当()F +∞不存在时, 反常积分()af x dx +∞⎰发散.类似地,若在(],b -∞上()()'F x f x =,则当()F -∞存在时,()();bbf x dx F x -∞-∞=⎡⎤⎣⎦⎰当()F -∞不存在时, 反常积分()bf x dx -∞⎰发散.若在(),-∞+∞内()()'F x f x =,则当()F -∞与()F +∞都存在时,()();f x dx F x +∞+∞-∞-∞=⎡⎤⎣⎦⎰当()F -∞与()F +∞有一个不存在时, 反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散.例2证明反常积分()0p adxa x+∞>⎰当1p >时收敛,当1p ≤时发散. 证 当1p =时,[]ln .p a aa dx dx x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 当1p ≠时,11,1,, 1.11pp p aap dx x a p x p p +∞-+∞-+∞<⎧⎡⎤⎪==⎨⎢⎥>-⎣⎦⎪-⎩⎰因此,当1p >时,这反常积分收敛,其值为11pa p --;当1p ≤时,这反常积分发散.一、无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.如果函数()f x 在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数()f x 的瑕点.无界函数的反常积分又称为瑕积分.定义2 设函数()f x 在(],a b 上连续,点a 为()f x 的瑕点.取t a >,如果极限()lim btt a f x dx +→⎰存在,则称此极限为函数()f x 在(],a b 上的反常积分,仍然记作(),baf x dx ⎰即()()lim ,bbatt af x dx f x dx +→=⎰⎰这时也称反常积分()baf x dx ⎰收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分()baf x dx ⎰发散.类似地, 设函数()f x 在[),a b 上连续,点b 为()f x 的瑕点.取t b <,如果极限()lim tat bf x dx -→⎰存在,则定义()()lim ;btaat b f x dx f x dx -→=⎰⎰否则,就称反常积分()baf x dx ⎰发散.设函数()f x 在[],a b 上除点()c a c b <<外连续,点c 为()f x 的瑕点.如果两个反常积分()c af x dx ⎰和()bcf x dx ⎰都收敛,则定义()()(),bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰否则就称反常积分()b af x dx ⎰发散.计算无界函数的反常积分,也可借助于牛顿---莱布尼茨公式.设x a =为()f x 的瑕点,在(],a b 上()()'F x f x =,如果极限()lim x aF x +→存在,则反常积分()()()()()lim ;bax af x dx F b F x F b F a ++→=-=-⎰如果()lim x aF x +→不存在,则反常积分()baf x dx ⎰发散.我们仍用记号()ba F x ⎡⎤⎣⎦来表示()()F b F a +-,从而形式上仍有()();bba af x dx F x =⎡⎤⎣⎦⎰对于()f x 在[),a b 上连续,b 为瑕点的反常积分,也有类似的计算公式,这里不再详述. 例5 证明反常积分()bqadxx a -⎰当01q <<时收敛,当1q ≥时发散.微分方程微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶. 设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),(),(),,()0n F x x x x ϕϕϕ'⎡⎤≡⎣⎦，那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程（10）在区间I 上的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.设微分方程中的未知函数为()y y x =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时，0y y =，或写成 00x x y y ==，其中00x y 、都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时，00,y y y y ''==. 或写成 000,x x x x y y y y ==''==， 其中00x y 、和0y '都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件. 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题，记作0(,),.x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ （12） 微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（12）的几何意义，就是求微分方程的通过点00(,)x y 的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩ 的几何意义，是求微分方程的通过点00(,)x y 且在该点处的切线斜率为0y '的那条积分曲线.可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成()()g y dy f x dx = （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.()()g y dy f x dx =⎰⎰.设()G y 及()F x 依次为()g y 及()f x 的原函数，于是有()()G y F x C =+. （6）齐次方程一、齐次方程 如果一阶微分方程(),dyf x y dx= 中的函数(,)f x y 可写成y x 的函数，即(,)()yf x y xϕ=，则称这方程为齐次方程，引进新的未知函数yu x=, （2） 就可化为可分离变量的方程.因为由（2）有,dy duy ux u xdx dx ==+， 代入方程（1），便得方程()duu xu dxϕ+=， 即 ()dux u u dxϕ=-. 分离变量，得()du dxu u xϕ=-.两端积分，得()du dxu u x ϕ=-⎰⎰.求出积分后，再以yx代替u ，便得所给齐次方程的通解. 可化为齐次的方程方程111dy ax by c dx a x b y c ++=++ (3) 当10c c ==时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令,x X h y Y k =+=+，其中h 及k 是待定的常数.于是,dx dX dy dY ==，从而方程(3)成为11111dY aX bY ah bk cdX a X bY a h b k c ++++=++++. 如果方程组1110ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ 的系数行列式110a b a b ≠，即11a ba b≠，那么可以定出h 及k 使它们满足上述方程组.这样，方程(3)便化为齐次方程11dY aX bYdX a X b Y+=+. 求出这齐次方程的通解后，在通解中以x h -代X ，y k -代Y ，便得方程(3)的通解.当11a b a b =时，h 及k 无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令11a ba bλ==，从而方程(3)可写成1()dy ax by cdx ax by c λ++=++. 引入新变量v ax by =+，则dv dy a b dx dx =+，或1dy dv a dx b dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 于是方程(3)成为11dv v c a b dx v c λ+⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，这是可分离变量的方程.以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 一阶线性微分方程一、 线性方程方程()()dyP x y Q x dx+= (1) 叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果()0Q x ≡,则方 程(1)称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的.设(1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把()Q x 换成零而写出()0dyP x y dx+= （2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程（2）是可分离变量的，分离变量后得()dyP x dx y=-， 两端积分，得1ln ()y P x dx C =-+⎰，或 ()1(),P x dxC y Ce C e -⎰==±， 这是对应的齐次线性方程（2）的通解.这里记号()P x dx ⎰表示()P x 的某个确定的原函数.现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解.这方法是把（2）的通解中的C 换成x 的未知函数()u x ，即作变换()P x dxy ue -⎰=， （3）于是()()()P x dx P x dx dyu e uP x e dx--⎰⎰'=-. （4） 将（3）和（4）代入方程（1）得()()()()()()P x dx P x dx P x dx u e uP x e P x ue Q x ---⎰⎰⎰'-+=，即 ()()(),()P x dx P x dxu e Q x u Q x e -⎰⎰''==.两端积分，得 ()()P x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰.把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. （5）将（5）式改写成两项之和()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰， 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1） 的一个特解（在（1）的通解（5）中取0C =便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.二、 伯努利方程 方程()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠ （13）叫做伯努利（Bernoulli ）方程.当0n =或1n =时，这是线性微分方程.当0,1n n ≠≠时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以ny 除方程（13） 的两端，得1()()nn dyy P x y Q x dx--+= （14）容易看出，上式左端第一项与()1nd y dx-只差一个常数因子1n -，因此我们引入新的未知函数1n z y -=，那么(1)ndz dyn y dx dx-=-. 用(1)n -乘方程（14）的两端，再通过上述代换便得线性方程(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx+-=-. 求出这方程的通解后，以1ny-代z 便得到伯努利方程的通解.利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.例5 解方程1dy dx x y=+. 解 若把所给方程变形为dxx y dy=+， 即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程： 令x y u +=，则y u x =-，1dy du dx dx =-.代入原方程，得 111,du du u dx u dx u+-==. 分离变量得1udu dx u =+， 两端积分得 ln 1u u x C -+=+. 以u x y =+代入上式，即得ln 1y x y C -++=，或 111,()y Cx C e y C e -=--=±.可降阶的高阶微分方程一、 ()()n yf x =型的微分方程微分方程 ()()n y f x = (2)的右端仅含有自变量x .容易看出，只要把(1)n y-作为新的未知函数，那么(2)式就是新未知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个1n -阶的微分方程(1)1()n y f x dx C -=+⎰.同理可得 (2)12()n yf x dx C dx C -⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰.依此法继续进行，接连积分n 次，便得方程(2)的含有n 个任意常数的通解.二、 (,)y f x y '''=型的微分方程 方程(,)y f x y '''= (7)的右端不显含未知函数y .如果我们设y p '=，那么dpy p dx'''==， 而方程 (7)就成为(,)p f x p '=.这是一个关于变量x 、p 的一阶微分方程.设其通解为1(,)p x C ϕ=.但是dyp dx=，因此又得到一个一阶微分方程 1(,)dyx C dxϕ=. 对它进行积分，便得方程(7)的通解为12(,)y x C dx C ϕ=+⎰.三、 (,)y f y y '''=型的微分方程 方程(,)y f y y '''= (11)中不明显地含自变量x .为了求出它的解，我们令y p '=，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dp dp dy dp y p dx dy dx dy''==⋅=. 这样，方程(11)就成为(,)dppf y p dy=. 这是一个关于变数y 、p 的一阶微分方程.设它的通解为1(,)y p y C ϕ'==，分离变量并积分，便得方程 (11)的通解为21(,)dyx C y C ϕ=+⎰.题型分析1． 简单积分法例：.d 111422x xx x ⎰--++求　.d 111422x xx x ⎰--++⎰⎰++-=221d 1d xxxx=++++arcsin ln .x x x c 122．抽象函数结合分部积分例：⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。