【全国百强校】江苏省泰州中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(扫描版)

【题文】
(本小题满分14分)
已知E ，E 1分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点．
（1）求异面直线AA 1和BC 所成的角的大小.
（2）求证:111C E B CEB ∠=∠.
【答案】
解：（1）因为//BC AD ,所以1A AD ∠即为异面直线1AA 和BC 所成的角……… 3分 又因为190o A AD ∠=，所以两条异面直线所成的角为90o
……… 6分
（2）法1：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点． 所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ,且11CC EE =，
四边形11CC E E 为平行四边形，所以11E C EC =,………………… 9分
同理可证11BE B E =，………………………………………………………… 11分 又因为11BC B C =,所以111BEC B E C ∆≅∆,111BEC B E C ∠=∠,即证.……………… 14分 法2：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点． 所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ，11CC EE =四边形11CC E E 为平行四边形，所以11//C E CE …………… 9分
同理可证11//BE B E ……………………………………………………… 11分 又因为11E C 与EC 方向相同，11E B 与EB 方向相同，所以111BEC B E C ∠=∠.……… 14分
【解析】
【标题】江苏省泰州市姜堰区2017-2018学年高一下学期期中考试（4月）数学【结束】。

2017-2018学年江苏省泰州市姜堰区高一下学期期中考试4月数学试题一、填空题 1．已知点，，则直线的斜率是______．【答案】3【解析】分析：利用斜率公式，计算即可. 详解：∵点，，∴故答案为：3点睛：本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．在正方体1111ABCD A BC D 的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有_________条. 【答案】4【解析】与棱AA 1异面的有：BC ，CD ，C 1D 1，B 1C 1 故答案为：4．3．直线在轴上的截距为_______．【答案】4【解析】分析：根据纵截距的意义，令，即可得到结果.详解：直线,当时，.∴直线在轴上的截距为4故答案为：4点睛：本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题． 4．圆的圆心坐标为________．【答案】【解析】分析：化一般方程为标准方程，得到圆心坐标.详解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，则圆心坐标为．故答案为：点睛：本题解题关键是熟练掌握圆的一般方程与标准方程的互化，也可以利用结论直接得到圆心的坐标.5．已知直线和直线垂直，则实数的值为_____.【答案】3【解析】分析：直线和直线垂直等价于.详解：∵直线和直线垂直，∴∴故答案为：3点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．注意：直线和直线垂直等价于.6．直线的方程为，直线的方程为，若∥则实数的值为_______.【答案】2【解析】分析：利用∥得到系数满足的关系，从而得到结果.详解：∵直线的方程为，直线的方程为，且∥∴∴故答案为：2点睛：两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！7．如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若平面,则________．【答案】2【解析】分析：由平面结合线面平行的性质定理与面面平行的性质定理可得EF∥AC，再利用三角形中位线定理即可得到结果.详解：设平面AB1C∩平面=∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面，平面AB1C∩平面=m，∴EF∥m，又平面∥平面AC，平面AB1C∩平面=m，平面AB1C∩平面AC=AC∴m∥AC，又EF∥m，∴EF∥AC，又∥AC，∴EF∥，又为的中点∴EF=故答案为：2．点睛：本题重点考查了平行关系的转化，熟练掌握平行的判定定理及性质定理是解题的关键.8．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_______．【答案】0或4【解析】分析：利用垂径定理布列a的方程，从而得到实数的值.详解：∵圆∴圆心为：（0，），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0．故答案为：0或4．点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.9．已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若,则(2)若,则(3)若,则(4)若，，则其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)【答案】（1）【解析】分析：根据线面关系的判定定理或性质定理进行推理判断即可.详解：①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立；③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立；④若，，则或，故④不成立．故正确的是①，故答案为：①．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．过点引圆的切线，则切线长为________．【答案】4【解析】分析：求出点到圆心C（1，1）的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长．详解：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心A坐标（1，1），半径r=|AB|=2，又点P（3，5）与A（1，1）的距离|AP|==，由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，根据勾股定理得：|PB|===．则切线长为．故答案为：4．点睛：本题主要考查了直线与圆相切属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键.11．已知圆C 经过点()0,6A -， ()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为__________． 【答案】()()223225x y +++= 【解析】由题意可得AB 的中点坐标为111,22⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()56110AB k ---==-，故其中垂线的方程为11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭即50x y ++=，联立50{ 10x y x y ++=-+=得3{ 2x y =-=-，故圆心()3,2--，半径5r ==，即圆方程为()()223225x y +++=，故答案为()()223225x y +++=.点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，解答有关圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，关键是确定圆心的坐标，常见的确定圆心的方法有：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2、圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；3、两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 12．已知两圆相交于两点，且两圆的圆心都在直线上，则的值是_______． 【答案】-3【解析】分析：求出两点的中点坐标，代入直线方程，在根据垂直关系得到斜率互为负导数，联立方程组，求解即可．详解：两圆相交于两点A （2，3）和B （m ，2），且两圆圆心都在直线上，可得K AB =，即1=，…①AB 的中点（，）在直线上，可得++n=0…②，由①②可得m=1，n=﹣4， ∴m+n=﹣3． 故答案为：﹣3．点睛：本题考查了两圆间的位置关系问题，解题关键两圆的圆心连线垂直平分两点的连线.13．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为________.【答案】【解析】分析：先将直三棱柱沿棱AA1展开成平面连接B C1，与A A1的交点即为满足最小时的点F，由此可以求得△BFC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积详解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱AA1展开成平面连接BC1，与AA1的交点即为满足最小时的点F，由于，，，再结合棱柱的性质，可得AF==2，由图形及棱柱的性质，可得BF=2，FC1=，BC1=2 ，cos∠==．∴sin∠=△的面积为××2 ×=，故答案为：点睛：在空间处理折线段长度和最小的问题的手段为“空间问题平面化”“化曲为直”的策略，通过折叠把问题纳入一个平面，再根据两点之间线段最短，即可解决问题.14．已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：易得圆的圆心为C （a，a），半径r= r=|a|，由题意可得1≥≥sin由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．详解：由题意易知：圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，∴PC=，QC=|a|，∵PC和QC长度固定，∴当Q为切点时，最大，∵圆C上存在点Q使得，∴若最大角度大于，则圆C上存在点Q使得，∴=≥sin=sin=，整理可得a2+6a﹣6≥0，解得a≥或a≤﹣，又=≤1，解得a≤1，又点为圆外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1∵a＞0，∴综上可得．故答案为：．点睛：处理圆的问题，要充分利用圆的几何性质，把问题转化为更加简单的代数问题来处理即可.二、解答题15．已知分别为正方体的棱的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小.（2）求证:.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1) 根据异面直线所成角定义进行合理平移即可；（2）要证，可转证，利用好四边形为平行四边形，问题迎刃而解.详解：（1）因为,所以即为异面直线和所成的角又因为，所以两条异面直线所成的角为（2）法1：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到,且，四边形为平行四边形，所以,同理可证，又因为,所以,,即证法2：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到，四边形为平行四边形，所以同理可证又因为与方向相同，与方向相同，所以点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16．已知的顶点,,．（）若为的中点，求线段的长．（）求边上的高所在的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由中点坐标公式可得D坐标，利用两点间距离公式求得线段的长；（2）由斜率公式可得k AB，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率，可得方程详解：(1)D为BC的中点，由中点坐标公式得到点D的坐标为（-1，-3）（），边上的高斜率， ，则．边上的高过点．∴边上的高线所在的直线方程为，整理得．点睛：本题考查了直线方程的求法，关键是两点：定点与斜率.17．四边形ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO ⊥平面ABCD ， E 是PC 的中点．（1）求证： PA ∥平面BDE ； （2）求证： BD PC ⊥． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为EO ，因此只要证PA ∥EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD PC ⊥，就是要证BD ⊥平面PAC 。

绝密★启用前【百强校】2017届江苏泰州中学高三摸底考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：140分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是 ．2、已知|，是线段上异于，的一点，△，△均为等边三角形，则△的外接圆的半径的最小值是 ．3、已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 ．4、函数（）的最大值与最小值之和为 ．5、对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是 ．6、向量，，．7、下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为 ．8、在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ．9、若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ．10、下图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．11、已知，则．12、已知复数满足，则的模为 ．13、已知集合，，则等于 ．14、设等比数列满足公比，，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 ．二、解答题（题型注释）15、已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，，使得，证明：．16、已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．17、已知椭圆：．（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且．①证明直线与轴交点的位置与无关；②若△面积是△面积的5倍，求的值；（2）若圆：．，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．求△面积取最大值时直线的方程．18、某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如．（1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．19、如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．Array20、已知，且，．（1）求的值；（2）证明：．参考答案1、2、3、4、5、6、7、20158、9、10、11、12、13、14、15、（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析16、（1）（2）（3）17、（1）①详见解析，②（2）18、（1）（2）（3）4019、（1）详见解析（2）详见解析20、（1）（2）详见解析【解析】1、试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此,因为在上单调递增，所以，不等式恒成立等价于考点：线性规划，不等式恒成立【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2、试题分析：设,则，在△中，由余弦定理知，当且仅当时取等号，所以，因此△的外接圆的半径考点：余弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.3、试题分析：设直线的斜率为,则直线，与联立解得，而，由得考点：直线与圆位置关系4、试题分析：因为为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数（）的最大值与最小值之和为2考点：奇函数性质5、试题分析：由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需考点：函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6、试题分析：，所以考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7、试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;直至结束循环，因此正整数的最大值为考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8、试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则，因此所形成的几何体的体积是考点：旋转体体积9、试题分析：由题意得考点：双曲线渐近线10、试题分析：甲的平均成绩为，设被污损一个数字为，则乙的平均成绩为，解得，所以所求概率考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.11、试题分析：考点：对数运算12、试题分析：考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为13、试题分析：考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．14、试题分析：由题意，，设该数列中任意两项为，它们的积为，则，即，故必须是81的正约数，即的可能取值为，所以的所有可能取值的集合为考点：等比数列15、试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点（3）为研究方便不妨设，，则需证明，构造函数，可证在上单调增，即，因此，而在上递减，即试题解析：解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在正实数使得成立，事实上，由（1）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有．令，令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，故不存在正实数使得成立．（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；②若，由（2）知：当，则有，而，所以，即，而，，由（1）知：函数在上单调递减，∴，即有，由（1）知：函数在上单调递减，所以；综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．考点：利用导数求函数单调区间，利用导数证明不等式【思路点睛】导数与函数的单调性（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.16、试题分析：（1）由与关系求通项，注意分类讨论：当时，，得．当时，由，相减得，因此是等比数列，且公比是，所以（2）先代入化简得，由数列为等比数列得，解得，最后验证（3）先求前项和为，代入化简不等式得，所以只需求最大值，利用相邻两项关系求数列单调性，确定最大值试题解析：解：（1）当时，，得．当时，由，即，①得，②①②，得，即，∴（），∴是等比数列，且公比是，∴．（2）由（1）知，，即，若数列为等比数列，则有，而，，，故，解得，再将代入，得，由，知为等比数列，∴．（3）由，知，∴，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当时，，当时，，而，，∴，∴，∴．考点：由与关系求通项，数列单调性【方法点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.17、试题分析：（1）①以算代证，即求出与轴交点：根据直线与椭圆交点得，，再根据两点式求直线的方程，最后令，得，②先将面积比转化为对应边的比，再根据弦长公式将对应边的比转化为对应坐标的比，解得（2）关键将面积表示出来，先设一直线斜率，另一直线斜率为.利用圆中垂径定理可求弦长，即直角三角形边长，再根据直线与椭圆交点得Q点坐标，进而可得，因此，最后根据基本不等式或导数求最值试题解析：解：（1）①因为，，，且，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴直线的方程为，直线的方程为，由得，∴，，∴，由得，∴，，∴；据已知，，∴直线的斜率，∴直线的方程为，令，得，∴与轴交点的位置与无关．②，，，，∴，∴，∴，∵，∴整理方程得，即，又有，∴，∴，∴为所求．（2）因为直线，且都过点，所以设直线：，即，直线：，即，所以圆心到直线：，即的距离，所以直线被圆所截的弦；由得，所以，所以，所以，当，即，解得时等号成立，此时直线：．考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

【题文】（本题满分16分）已知圆22:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)20l mx m y -++=（1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PMPN 为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．【答案】解：（1）依题意得， ()()2320m x y y -+-=令230x y -=且20y -=，得3,2x y == ∴直线l 过定点()3,2A ……4分（2）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =∴ 21134AC k -==--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131m m =+得1m =-……8分 （3）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意， 则设(),P x y ，PM PN λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()22(4)41x y -=-- ∴ ()()()()222222241541y y y y t λλλ-+-=--+--整理得， 222[(22)8](3)280t y t λλ-+++-=……12分上式对任意[]1,3y ∈-恒成立， ∴ 28(22)0t λ+-=且22(3)280t λ+-= 解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），24,2λλ== 综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN为常数2……16分 法二：设直线MC 上的点()4,N t取直线MC 与圆C 的交点()14,3P ，则1123PM PN t =-取直线MC 与圆C 的交点()24,1P -，则2261P MP N t =+ 令2631t t =-+，解得2t =或5t =（舍去，与M 重合），此时2PM PN = 若存在这样的定点N 满足题意，则必为()4,2N ，…12分下证：点()4,2N 满足题意，设圆上任意一点(),P x y ，则()22432x y y -=+-∴ ()()()()222222222245||32(5)8284||32(2)2742x y PM y y y y PN y y y y x y -+-+-+--+====+-+--+-+- ∴ 2PMPN =综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PMPN 为常数2…16分【解析】【标题】江苏省泰州市姜堰区2017-2018学年高一下学期期中考试（4月）数学 【结束】。