江苏省泰州中学2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学(PDF版含解析)

江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。

泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B.CD.3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.米B.米C.米D.米5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.或6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）A.3B.2C.1D.07.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交()()0,3,P Q -30 60 120 1502224240x y mx y m m ++-+-=m 0m <12m <1m >-2m ≥M ()()120,3,0,3F F -M 2212516x y +=2212516y x +=2212516y x -=2212516x y -=y x m =+x =m m =m ≥m ≤m <<11m -<≤m =P 22:(2)(1)4O x y -+-=()()1,2,2,2A B --6AP BP ⋅=P :10l x y +-=O ()0y kx x =≥l l x于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）A.B. C. D.8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）A.某一边上的中线所在直线的方程为B.某一条角平分线所在直线的方程为C.某一边上的高所在直线的方程为D.某一条中位线所在直线的方程为10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点M x y N MN =k 3223121322:16O x y +=12,2F ⎛-+ ⎝E :2160l x y -+=E O ,A B AB EO M MF ∣32ABC V ()()()1,2,1,0,3,4A B C -ABC V 2y =2y =20x y +=210x y -+=sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=()1,2P x y 30x y +-=()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 11y x --(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭O 224x y +=O (),P a b O A B OP AB D P 40x y ++=AB ()1,1--B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点和直线.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求过的中点与垂直的直线的方程.16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆的方程；（2）当的方程.17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.PA PB ⋅P 2232x y +=PA PB 22ax by a b +=+OP OD ()1,4A -22:(2)(3)1C x y -+-=22112x y m m+=--y m P 22(1)(1)1x y -+-=()()0,0,2,0O B PO ()()1,3,5,7A B --:34200l x y +-=A l 1l ,A B l 2l ()1,2A -()2,0B -l A ,M N270x y ++=22(3)20x y -+=210x y --=A MN =l ABO 1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN V MN k（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18.（17分）如图，圆C ：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知为圆上三点.（1）若直线过点，求面积的最大值；（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.k MN M N ､AMN V ()2210x a x y ay a -++-+=C y C 4a =C x ,M N M N 222:O x y r +=M ,A B ANM BNM ∠∠=()0,3,,A B C 22:9O x y +=BC ()0,2ABC V D ()22(1)43x y y ++=≠-AD AB AC =+AB AC数学学科答案（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C 2.【答案】C 3.【答案】B【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.4.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为.PQ k ==()0180θθ≤<tan k θ==120θ=120 M ()()120,3,0,3F F -106>M 5,3,4a c b =====y 2212516y x+=y r 222()x y r r ++= ∴()6,3-221536(3),,2r r r ∴+-+=∴=∴221522524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(),4t -244,t t =∴=±∴故选：C.5.【答案】D【解析】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，综上可得，或，故选：D 6.【答案】B【解析】设点，则，由，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7.【答案】B0x =≥()221,0x y x +=≥y x m =+0x y m -+=1d m =m =y x m =+0x y m -+=11m -<≤11m -<≤m =(),P x y ()()1,2,2,2AP x y BP x y =+-=+-AP BP ⊥()()22212(2)3466AP BP x x y x y x y ⋅=+++-=++-+= 22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭P 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭52P 22:(2)(1)4O x y -+-=59222+=51222-=1922<<P【解析】如图，设点关于直线的对称点为：则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即为入射点，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.故，O l ()11,A x y ()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩1111x y =⎧⎨=⎩()1,1A ()0y kx x =≥l 1k ≠-10y kx x y =⎧⎨+-=⎩111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1,,11k P P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭AP 111111APkk k k k -+==-+AP ()111y x k-=-0y =1x k =-()1,0M k -0x =11y k =-10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN =22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1136k k +=23k =32k =32k =y 23k =故选：B.8.【答案】B【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0，故点的轨迹是以为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】对于A ，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A 正确；对于B ，由A 知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即.(),M x y :AOE MOA V V OA OM OEOA=2||OA OE OM =⋅2222||16||OEOA OM OM x y ==+22221616,x y E x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭E :2160l x y -+=2215(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,x y )M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22115(21)20224⎛⎫-+++-=> ⎪⎝⎭F MF =-=BC ()2,2()1,2A -BC 2y =2y =A ∠2y =A ∠2y =(),2M a AB 1y x =-+10x y +-=直线的方程为：，即，则到直线的距离为：则到直线的距离为：因为，故B 错误；对于C ，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C 错误；对于D ，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D 正确；故选：AD.10.【答案】AD【解析】对于A ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A 正确.对于B ：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B 错误.对于C ：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，AC ()1212y x -=+250x y -+=(),2M a AB 1d (),2M a AC 2d 12d d ≠()4212040,1,23121131AC AB CB k k k ---====-==-----AC ()2122y x x =--=-+BC ()2,2E AC ()1,3F AB ()310,1,210FD D k -==-FD 12y x -=210x y -+=θ[]tan sin 1,1θα=-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-10x y -+=20x y +-=1,1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-y kx =()1,2P 2k =2y x =1x ya a+=()1,2P 3a =30x y +-=所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C 错误；对于D ：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，Q 点，点是线段（含端点）上任一点，，或的取值范围是.故D 正确.故选：AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C ，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A 正确，，()1,2P x y 30x y +-=2y x =()1,1Q 11y x --PQ k ()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 13123Q 4,12134AQ BQ k k ++==-==-+34k ∴≥14,1y k x -≤-∴-(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭OP AB P ,PA PB OP 22ax by a b +=+0OPbx ay -=(,4)P m m --P A O B OP 2222442222m m m m x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2240x y mx m y +-++=224x y +=AB ()440mx m y -++=()440m y x y -++=y x =440y +=1x y ==-AB ()1,1--()()2222PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OP OB OP OA OB OP OA OB⋅=-⋅-=⋅+-⋅-⋅=⋅+-- ()2222232cos 2842cos 1812OA OB AOP OP AOP OP OP OP=⋅∠+-=∠-+-=+-由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B 错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C 正确，设，则，，所以，故D 正确，故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】或，答案不唯一13.【答案】14.【解析】设，取四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2232OP OP +≥ 2232OP OP = 2OP = P 22x y +=PA PB OP OP 0bx ay -=22ax by a b +=+0bxay -=PAPB 22ax by a b +=+AOP θ∠=cos OA OP θ=cos OD OA θ=2cos 4cos OA OP OD OA OA θθ===4(y =34130x y +-=)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),,C m n PO =22222()()x y x m y n ⎡⎤⇒+=-+-⎣⎦()22224420x mx y ny m n ⇒-+-++=1111,,,2222m n C ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭)PO PC PB =+≥=15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.（2）的中点坐标为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，所以圆，因此圆的方程为；选②：因为圆与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为所以圆的方程为.（2）两种选择圆的方程都是，当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得显然当过点的动直线存在斜率时，设为，直线方程为，因为，所以有，即方程为：.34200x y +-=34-1l l ∥134k =-()3314y x -=-+3490x y +-=,A B ()2,2-2l l ⊥243k =()4223y x +=-43140x y --=A 270x y ++=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(3)20x y -+=210x y --=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(1)(2)20x y ++-=()2,0B -l 2x =-2x =-22(1)(2)20x y ++-=2y =(22+--=()2,0B -l k ()220y k x kx y k =+⇒-+=MN =22132024k ⎛+⨯=⇒= ⎝3460x y -+=综上所述：直线的方程为或.17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，设到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.18.【答案】（1）或（2）存在，【解析】（1）因为由，可得由题意得l 3450x y -+=2x =-()()1212121:,,,1,4241414MN k k k k l y kx M N k k ⎛⎫--+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭14:MN y kx b =+MN 11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142k b =⋅+142k b =-1:42MN k l y kx =+-()()1,1,1,0A B :OA y x =:1AB x =142k y kx y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩()()21412141k x k k y k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩1421k y kx x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩1214x k y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()()212121,,1,41414k k k M N k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11,22OP BP k k ==-1122k -≤≤131,22k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2132144k k AN +-=-=M AN d ()()212314141k k d k k --=-=--()()2113223(23)22441321k k k S AN d k k ---=⋅=⨯⨯=--()()()()21414(1)111111132184184k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-==+-+≥+=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1141k k =--12k =S 14225440x x y y -+-+=220x x y -+=224x y +=()22010x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩20,y ay a -+=，所以或，故所求圆的方程为或.（2）Q 令，得，即，求得，或，所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而.因为的斜率之和为而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19.解：（1）方法一设直线的方程为将代入得，令，则当，即时，方法二直线过点面积等于面积的一半设到直线的距离为，则2Δ()40a a =--=4a =0a =C 225440x x y y -+-+=220x x y -+=4a =∴0y =2540x x -+=()()140x x --=1x =4x =()()1,0,4,0M N 222:O x y r +=AB x AB ()1y k x =-222x y r +=()22222120k x k x k r +-+-=()()1122,,,A x y B x y 2221212222,11k k r x x x x k k-+==++NA NB ､()()()()()()122112121214144444k x x x x y y x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦+=----()()()()()2222122112212222821414258258111k r k r x x x x x x x x k k k ----+--=-++=⨯-⨯+=+++ANM BNM ∠∠=NA NB ､1212044y y x x +=--228201r k-=+24r =AB x ANM BNM ∠∠=NA NB ､22:4O x y +=ANM BNM ∠∠=BC ()()11222,,,,y kx B x y C x y =+2y kx =+229x y +=()221450k x kx ++-=12112ABC S x x =⋅⋅-==V 21k t +=1ABC S t ==≥V 1t =0k =ABC V BC ()0,2,ABC ∴V OBC V O BC d (]0,2d ∈设，则当，即时，（2）设直线和直线的斜率之积为，设，则①，因为为圆上，所以化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线上的动点所以，展开得，将①代入得，化简得，将②代入得1124ABC OBC S S BC d d ==⋅==V V (]20,4t d =∈ABC S =V 4t =2d =ABC V AB AC ()0m m ≠()()()112200,,,,,B x y C x y D x y 121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--()()22122221233y y m x x --=,B C 222:O x y r +=222211229,9x y x y +=+=()()()()22122221233,99y y m y y --=--()()()()122123333y y m y y --=++()()2121223191m y y y y m +=-+--AD AB AC =+ ()()()112200,3,3,3x y x y x y -+-=-()1212,3D x x y y ++-D ()22(1)43x y y +-=≠-()()22121224x x y y +++-=()()()2222112212121222444x y x y x x y y y y +++++-++=()()()12121229933240y y y y y y m++--+-+=()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=，整理得因为，所以，从而又，所以()()()()()()2121223119239101m m y y m y y m m ⎡⎤+⎢⎥+-+--++++=-⎢⎥⎣⎦()212501m m y y m +⋅+=-1233y y +-≠-120y y +≠250m m +=0m ≠15m =-。

}
通项公式为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.
二、多项选择题：本题共4
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为。

江苏省泰州中学2020-2021学年高二数学上学期期中模拟检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题21,0:<+>∃aa a p ，则p 的否定为（ ） A ．21,0<+<∀a a a B ．21,0≥+<∃a a a C ．21,0<+>∀aa aD ．21,0≥+>∀aa a 2。

若双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．3。

已知关于x 不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-解集为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),21,-∞-⋃+∞4。

已知椭圆错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)的左焦点为F ,右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若错误!＝错误!错误!，则椭圆的离心率是（ ）A 。

错误! B. 错误! C. 错误! D. 错误! 5。

在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x （1﹣y )．若不等式(x ﹣a ）⊗(x +1）＜1对任意实数x 成立，则（ ) A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜26.在公比为q的正项等比数列{a n}中，4a＝1，则当262a a+取得最小值时，2log q等于（)A．B．﹣C．D．﹣7.在正项等比数列{a n}中，a1＝1，前三项的和为7,若存在m，n∈N＊使得，则14m n+的最小值为（)A．B．C．32D．548。

已知数列{a n｝的首项a1＝1，前n项的和为S n,且满足2a n＋1＋S n＝2(n∈N＊)，则满足错误!＜错误!＜错误!的n的最大值为（）．A。

2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。

江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于----------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是---------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <03．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为-( )A ．13-=n n a B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =-----------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 26．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为----------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为-------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．228．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A ． (n ＋1)3 B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ．(2n ＋1)2＋1二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( ) A ．6 B ．12 C ．－6 D ．－1210．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( ) A ．a 4=0 B ． S 1=S 6 C ． S n 的最大值为S 3 D ．|a 3|<|a 5|11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( )A ．若59S S =，则必有140S =B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有56S S >D ．若67S S >，则必有78S S >12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ． 14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．15．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a ． 16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．（1）求{a n }的通项公式；（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ．18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<019．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T +=（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ．20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T .21．在①22430a b b ++=，②44a b =，③327S =-这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-（*n ∈N ），是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）22．已知公比为整数的正项．．等比数列{}n a 满足：3454a a -=-，10193a a =． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于-------------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 答案 B 解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x >3或x <－1}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}．2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是------------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D 解析 特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，a ＋b <0，故选D. 3．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =---------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为--( )A ．13n n a -= B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =--------------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 2【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质转化得2226454a a a a ==，化简求得q 的值. 【详解】由2226454a a a a==，得2252414a q a ==，又0q >，所以12q =.故选：B .6．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为--------------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为--------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．22【解析】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选C.【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A ． (n ＋1)3 B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ． (2n ＋1)2＋1【答案】A 【详解】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝()221nn a n ++，得4(S n －1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4a n ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，即()3311n n n a a n -+=，所以a n ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,a n ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3 点睛：本题主要考查数列通项与前n 项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( )A ．6B ．12C ．－6D ．－12 答案：AC10．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( )A ．a 4=0B ． S 1=S 6C ． S n 的最大值为S 3D ．|a 3|<|a 5|【答案】AB 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+3(a 1+4d)=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 所以a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，故A 正确;因为S 6−S 1=5a 4=0，所以S 1=S 6，故B 正确;由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故C 不正确;因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，故D 不正确．故选：AB ．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( ) A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有56S S > D ．若67S S >，则必有78S S >【解答】解：根据题意，依次分析选项：A ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，则a 7+a 8＝0，S 14＝＝＝0，A 正确；B ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，又由a 1＞0，则有S 7是S n 中最大的项，B 正确；C ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，而a 6的符号无法确定，故S 5＞S 6不一定正确，C 错误；D ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，又由a 1＞0，必有d ＜0，则a 8＝S 8﹣S 7＜0，必有S 7＞S 8，D 正确； 故选：ABD ．12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅ D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【解析】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =，所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，综上选项,,A B D 是正确的. 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) 14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．215．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n，则其通项公式为=n a ．2n16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．【答案】{x |x ＜－2或x ＞2}【解析】分类去绝对值，分别求解不等式取交集，最后取并集．【详解】∵－x 2＋|x |＋2＜0，等价于2020x x x <⎧⎨-⎩－＋＜或2020x x x ≥⎧⎨+⎩－＋＜ 2020x x x <⎧⎨+->⎩或2020x x x ≥⎧⎨-->⎩∴x ＜﹣2或x ＞2∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． 故答案为{x |x ＜－2或x ＞2}．【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．(本题10分)（1）求{a n }的通项公式； (本小题4分，答案错不得分)（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ． (本小题6分) 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (4分)(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1. (6分，答案错不得分，没有化简扣2分)18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本题12分)（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0阶段 (本小题4分) （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本小题8分) (1)注：答案错本小题不得分，答案对没有写集合或区间扣2分(2)注：每种情况讨论2分，小结2分；没有写小结扣2分，答案对没有写集合或区间扣2分 解 (1)不等式的解集为1{|1}2x x x <->或. (4分)答案对没有写集合或区间最后总扣2分 (2)当a >0时，不等式可化为1()a x a-(x －1)<0 ，故1()x a-(x －1)<0 (2分)当0<a <1时，1a >1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)当a ＝1时，不等式的解集为∅. (2分)当a >1时，1a <1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)综上，当0<a <1时，解集为1{|1}x x a <<；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集1{|1}x x a<<.(2分)19．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T += (本题12分)（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (本小题4分)（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ． (本小题8分)解：（1）由22n n n T +=，得当n ≥2时，221(1)(1)22n n n n n n n a T T n -+-+-=-=-=， 11a =适合上式，则n a n =； (2分)由136,0b b ==，得公差31331b b d -==--，则6(1)(3)3n 9n b n =+-⨯-=-+； (2分) (1)注：求n a n =种没有讨论n=1和n ≥2或没有检验n=1扣2分（2）由（1）知，92,1429,29,5n n n n n n c a b n c n n -≤≤⎧=+=-+∴=⎨-≥⎩．当1≤n ≤4时，279282n nS n n n +-=⨯=-； (3分) 当5n ≥时，1234561234122()n n n S c c c c c c c c c c c c c c =+++----=+++----即2242(8)832n S S n n n n =--=-+， (3分)228,14832,5n n n n S n n n ⎧-≤≤∴=⎨-+≥⎩． (2分) (2)注：每种情况讨论3分，小结2分；没有写小结扣2分，答案没有合并同类项扣2分 20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . (本题12分) （1）求n a 及n S ； (本小题6分) （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T . (本小题6分) (2)注：求对Tn 得4分；没有求Tn 直接求T 100答案错本小题不得分。

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2021>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知函数f(x)=x2−2x对任意的x∈R，不等式f(x)>−mx−1恒成立，则m的取值范围是（）A.[−2,1]B.(−1,0)C.(0,4)D.[1,5)3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4. 已知a>0,b>0，且3a+4b=7，则9a+3b +42a+b的最小值为（）A.43 12B.4112C.257D.2375. 已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(√22, 1) B.(12, 1) C.(0, √22) D.(0, 12)6. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为()A.3B.4C.2√3−2D.92二、多选题若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是（）A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1 a2=b1b2C.a12−a22<b12−b22D.a1−a2<b1−b2对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k−1，a k<a k+1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”，在数列{a n}中，若a n=|n+9n−8|，则数列{a n}的“谷值点”为( )A.2B.3C.5D.7三、填空题已知“x2−x−2>0”是“2x+p>0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．已知关于x的不等式x2−3ax+2a2<0的解集为{x|1<x<2}，则实数a的值为________.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=12(a n+1a n)，则S10=________.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)恒过定点A(1, 2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．四、解答题已知两个等差数列{a n}，{b n}，其中a1=1，b1=6，b3=0，记{a n}前n项和为T n，T n=n22+n2．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+b n，设S n=|c1|+|c2|+|c3|+⋯+|c n|，求S n．如图，已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且2F1F2=PF1+ PF2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120∘，△PF1F2的面积．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由于数列{a n}是等比数列，所以S n=a1⋅1−q n1−q.由于1−q n1−q >0，所以S2021=a1⋅1−q20211−q>0⇔a1>0,所以“a1>0”是S2021>0的充要条件．故选C.2.【答案】C【考点】一元二次不等式与一元二次方程不等式恒成立问题【解析】将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题，根据台的大小进行求解．【解答】解：因为f(x)=x2−2x，故不等式f(x)>−mx−1恒成立，等价于x2+(m−2)x+1>0恒成立，故只需Δ=(m−2)2−4<0，解得m∈(0,4)．故选C．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴ {a 1+(a 1+3d)+(a 1+6d)=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得a 1=13.5，d =−1，∴ 小满日影长为a 11=13.5+10×(−1)=3.5（尺）． 故选C . 4. 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a >0,b >0，且3a +4b =7， 所以9a+3b +42a+b=17[(a +3b)+(2a +b)](9a +3b +42a +b ) =17[13+9(2a+b )a+3b +4(a+3b )2a+b ]≥257，当且仅当9(2a+b )a+3b=4(a+3b )2a+b，即a =2125，b =2825时，等号成立．故选C. 5.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率平面向量数量积的运算 【解析】由∠F 1PF 2为钝角，得到PF 1→⋅PF 2→<0有解，转化为c 2>x 02+y 02有解，求出x 02+y 02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P(x 0, y 0)，则|x 0|<a ， 又F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，又∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→⋅PF 2→<0有解，即(−c −x 0, −y 0)⋅(c −x 0, −y 0)=(−c −x 0)(c −x 0)+y 02<0，即有c 2>x 02+y 02有解，即c 2>(x 02+y 02)min ． 又y 02=b 2−b 2a 2x 02，∴ x 02+y 02=b 2+c 2a 2x 02∈[b 2, a 2)， 即(x 02+y 02)min =b 2．故c 2>b 2，c 2>a 2−c 2，∴c 2a2>12，即e >√22. 又0<e <1， ∴√22<e <1.故选A ． 6. 【答案】 B【考点】 等比中项等差数列的前n 项和【解析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即(1+2d)2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【解答】解：∵ a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴ a 32=a 1a 13，∴ (1+2d)2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n +n(n−1)2×2=n 2， ∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n +1)2−2(n +1)+9n +1=n +1+9n +1−2≥2√(n +1)×9n+1−2=4，当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n =2，且2S n +16a n +3取到最小值4.故选B ． 二、多选题【答案】 A,B【考点】不等式性质的应用 椭圆的离心率椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：依题意，e =c 1a 1=c 2a 2，即√1−(b 1a 1)2=√1−(b2a2)2，所以b1a 1=b2a 2，所以a1a 2=b1b 2，因此B 正确；又a 1>a 2，所以椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，因此A 正确； 设b 1a 1=b 2a 2=m ，其中0<m <1，则有(a 12−b 12)−(a 22−b 22)=(1−m 2)(a 12−a 22)>0，即有a 12−b 12>a 22−b 22，则a 12−a 22>b 12−b 22，因此C 错误； (a 1−b 1)−(a 2−b 2)=(1−m)⋅(a 1−a 2)>0，即有a 1−b 1>a 2−b 2，则a 1−a 2>b 1−b 2，因此D 错误． 故选AB ． 【答案】 A,D【考点】 数列的应用 【解析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，得a 1=2，a 2=32，a 3=2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， ∴ 2，7是数列{a n }的“谷值点”， 3，5不是数列{a n }的“谷值点”. 故选AD . 三、填空题【答案】 (−∞, −4] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】利用不等式的性质，结合必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：由2x +p >0，得x >−p2，令A ={x|x >−p2}.由x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，令B ={x|x >2或x <−1}， 由题意知A ⊆B ， 即−p2≥2，解得p ≤−4，∴ 实数p 的取值范围是(−∞, −4]． 故答案为：(−∞, −4]． 【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用． 【解答】解：因为关于x 的不等式x 2−3ax +2a 2<0的解集为{x|1<x <2}， 所以方程x 2−3ax +2a 2=0的两根是1，2， 所以{1−3a +2a 2=0,4−6a +2a 2=0,解得a =1． 故答案为：1． 【答案】 √10【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】本题考查等差数列的判断． 【解答】解：当n =1时，S 1=12(a 1+1a1)=a 1，解得a 1=1，S 1=1，当n ≥2时S n =12(S n −S n−1+1Sn −S n−1)，整理可得S n 2−S n−12=1，∴ S n 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴ S n 2=1+(n −1)×1=n . ∵ {a n }是正项数列，∴ S n =√n ，∴ S 10=√10． 故答案为：√10． 【答案】√5+2 【考点】椭圆的准线方程 椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)，可得1a 2+4b 2=1，利用椭圆几何量之间的关系，设a 2c =1t ，等式可转化为t 2a 4−(t 2+1)a 2+5＝0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解：设椭圆的焦距为2c ，同时可设a 2c=1t，∴ c =ta 2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴1a2+4b 2=1，∴ b 2+4a 2=a 2b 2，∴ 5a 2−c 2=a 2(a 2−c 2)，∴ 5a 2−(ta 2)2=a 2[a 2−(ta 2)2]， ∴ t 2a 4−(t 2+1)a 2+5=0，∴ Δ=(t 2+1)2−20t 2≥0时，方程有解， ∴ t 2−2√5t +1≥0，∴ t ≥√5+2，或0<t ≤√5−2， ∴ 0<1t ≤√5−2，或1t ≥√5+2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴ 椭圆的中心到准线x =a 2c>1，∴ 椭圆的中心到准线的距离的最小值√5+2. 故答案为：√5+2. 四、解答题 【答案】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【考点】 数列的求和等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式（1）由T n =n 22+n2，结合a n ＝T n −T n−1求得n ≥2时的通项公式，验证a 1＝1适合，即可求解a n ；由b 1＝6，b 3＝0，得公差d ，再由等差数列的通项公式可得{b n }的通项公式； （2）由（1）知，c n ＝a n +b n ＝9−2n ，分类写出|c n |，然后分类利用等差数列的前n 项和求S n ． 【解答】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意知c =1，F 1F 2=2，所以4=PF 1+PF 2=2a ，所以a =2， 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)在△PF 1F 2中，PF 2=2a −PF 1=4−PF 1．由余弦定理，得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2cos 120∘，即(4−PF 1)2=PF 12+4+2PF 1，所以PF 1=65,所以S △PF 1F 2=12F 1F 2⋅PF 1⋅sin 120∘=12×2×65×√32=3√35．【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知c=1，F1F2=2，所以4=PF1+PF2=2a，所以a=2，所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y23=1.(2)在△PF1F2中，PF2=2a−PF1=4−PF1．由余弦定理，得PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos120∘，即(4−PF1)2=PF12+4+2PF1，所以PF1=65,所以S△PF1F2=12F1F2⋅PF1⋅sin120∘=12×2×65×√32=3√35．试卷第11页，总11页。

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.9 B.13 C.10 D.112. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−13. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.√−a <√−b B.a 2>ab C.1a<1bD.a 2<b 24. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2−n +1 B.n 2+1C.(n −1)2+1D.2n5. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−1,+∞) B.[−2,+∞) C.(−3,+∞)D.(−92,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.9 B.12 C.25 D.368. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22020−4B.22021−4C.22022−4D.22023−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x 2+116x 2B.y =x√1−x 2，x ∈[0,1]C.y =x 2x 4+1D.y =x +4x+2，(x >−2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.S n =3n−1 B.{S n }为等比数列 C.a n =3n−1 D.{a n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.12B.14C.34D.54三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】由题意得到数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2，利用等差数列通项请假记录. 【解答】解：由a 1=3，a n+1−a n =2可得：数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2， ∴ a n =3+2(n −1)=2n +1， ∴ a 5=11. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2.故选B . 3.【答案】 B【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：对于A ，∵ a <b <0，∴ −a >−b >0，∴ √−a >√−b >0，因此A 不正确； 对于B ，∵ a <b <0，∴ a 2>ab ，因此B 正确； 对于C ，∵ a <b <0，∴ 1a >1b ，因此C 不正确； 对于D ，∵ a <b <0，∴ a 2>b 2，因此D 不正确． 故选B . 4.【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，移项可得，a n+1−a n =2n ，进行叠加，从而求出a n ； 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ， ∴ a n+1−a n =2n ， a 2−a 1=2， a 3−a 2=4， ⋯a n+1−a n =2n ， 进行叠加可得，a n+1−a 1=2+4+6+⋯+2n =n(2+2n)2=n(n +1)，∴ a n+1=1+n(n +1)，∴ a n =n(n −1)+1=n 2−n +1. 故选A . 5.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答】解：若x =1，则x 2−4x +3=0，是充分条件， 若x 2−4x +3=0，则x =1或x =3，不是必要条件. 故选A ． 6.【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】此题暂无解析【解答】解析：∵{a n}递增，∴a n+1−a n>0，∴(n+1)2+b(n+1)−(n2+bn)>0，∴2n+1+b>0，∴b>−2n−1(n∈N∗)，∴b>(−2n−1)max=−3，即b>−3．故选C.7.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意得到4a +1b=1，则a+b=(a+b)(4a+1b)，利用基本不等式求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，a+4b=ab，∴4a +1b=1，∴a+b=(a+b)(4a +1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba⋅ab=9，当且仅当4ba =ab，即a=6，b=3时等号成立.故a+b的最小值为9.故选A.8.【答案】C【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】首先利用关系式的组合求出数列{a n+b n}是以a1+b1＝2，以2为公比的等比数列，数列{a n b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+√a n2+b n2，b n+1=a n+b n−√a n2+b n2，a1=1，b1=1，∴a n+1+b n+1=2(a n+b n)，a1+b1=2.∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=(a n+b n)2−(a n2+b n2)=2a n b n，∴a n b n=2n−1．∴c n=2n(1a n+1b n)=2n⋅a n+b na nb n=2n⋅2n2n−1=2n+1，则数列{c n}的前n项和=4(2n−1)2−1=2n+2−4.所以S2020=22022−4，故选C.二、多选题【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，A，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C，电路图中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D，电路图中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A，y=x2+116x2≥2√116=12，当且仅当x=±12时取等号，y的最小值是12，无最大值；B，y2=x2(1−x2)≤(x2+1−x22)2=14，y≥0，∴y≤12，当且仅当x=√22时取等号，∴y的最大值为12；C，x=0时，y=0．x≠0时，y=1x2+1x2≤12，当且仅当x=±1时取等号，y的最大值为12；D，y=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，(x>−2)，当且仅当x=0时取等号，y的最小值为2，无最大值.故选BC.【答案】A,B【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】首先求出S n，再求a n，即可判断.【解答】解：∵a n+1=2S n(n∈N∗)，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，又：S1=a1=1≠0，∴{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，故B正确；∴S n=3n−1，故A正确；当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，又当n=1时，不符合上式，∴a n={1，n=1，2×3n−2， n≥2.故CD错误.故选AB.【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．【解答】解：由x+y=1，y>0得y=1−x>0，解得x<1且x≠0，①当0<x<1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1，=12x +x2−x=x+2−x4x+x2−x，=14+(2−x4x+x2−x)≥14+2×12=54，当且仅当2−x4x =x2−x即x=23时取等号；②当x<0时，12|x|+|x|y+1=−(12x+xy+1)，=−(12x+x2−x)=2−x+x−4x+−x2−x=−14+(2−x−4x+−x2−x)≥−14+1=34，当且仅当2−x−4x=−x2−x即x=−2时取等号．综上可得，原式最小值34，可能值为34，54.故选CD.三、填空题【答案】(−2,2]【考点】函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=(a−2)x2+2(a−2)x−4，当a−2>0即a>2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；当a−2=0即a=2时，不等式变为−4<0，恒成立；当a−2<0即a<2时，函数为开口向下的抛物线，要使(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，即要Δ<0，即4(a−2)2+16(a−2)<0，化简得：4(a+2)(a−2)<0，解得：−2<a<2．综上，使不等式恒成立的a的取值范围是(−2, 2]．故答案为：(−2, 2].【答案】∃x0≥2，x02<4【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02<4．故答案为：∃x0≥2，x02<4．【答案】3n−2n−1−1【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】利用递推关系，构造等比数列，即可求出通项公式.【解答】解：由递推关系得，a n+1+1=2(a n+1)+3n，所以a n+1+1−3n+1=2(a n+1−3n)，而a1+1−31=−1≠0，则数列{a n+1−3n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1−3n=−2n−1，故a n=3n−2n−1−1.故答案为：3n−2n−1−1.【答案】√2−1 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m−2，y=n−1，∵x，y均为正实数，且x+y=1，∴m>2且n>1,(m−2)+(n−1)=1，即m+n=4，∴x2x+2+y2+1y+1=(m−2)2m+(n−1)2+1n=m2−4m+4m+n2−2n+2n=m+4m−4+n+2n−2=(m+n)+4m+2n−6=4m+2n−2=m+nm+m+n2n−2=(1+nm)+(m2n+12)−2=nm+m2n−12≥2√nm⋅m2n−12=√2−12，当且仅当nm =m2n时取等号，∴x2x+2+y2+1y+1取得最小值是√2−12.故答案为：√2−12.四、解答题【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】解：(1)当x≤0，不等式显然成立；当x≥1时，不等式可化为x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，即1≤x≤2；当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0，由于x2−x+2=(x−12)2+74>0，则当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0恒成立.综上，不等式的解集为{x|x≤2}．(2)令p的解集为A，q的解集为B，由(1)知A={x|x≤2}，由题意知B⊆A.方程x2−(3m−1)x−3m=0的两根为−1和3m.当−1=3m，即m=−13时，B=⌀，B⊆A显然成立；当−1>3m，即m<−13时，B={x|3m<x<−1}，B⊆A显然成立；当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立，则3m ≤2，即m ≤23. 综上m ≤23．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ≤0，不等式显然成立；当x ≥1时，不等式可化为x 2−x −2≤0⇒−1≤x ≤2，即1≤x ≤2； 当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0， 由于x 2−x +2=(x −12)2+74>0，则当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0恒成立. 综上，不等式的解集为{x|x ≤2}． (2)令p 的解集为A ，q 的解集为B ，由(1)知A ={x|x ≤2}，由题意知B ⊆A .方程x 2−(3m −1)x −3m =0的两根为−1和3m . 当−1=3m ，即m =−13时，B =⌀，B ⊆A 显然成立；当−1>3m ，即m <−13时，B ={x|3m <x <−1}，B ⊆A 显然成立； 当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立， 则3m ≤2，即m ≤23.综上m ≤23．【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【考点】全称量词与存在量词 函数恒成立问题 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【答案】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ，∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ， ∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ， ∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【考点】 数列的应用基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【答案】解：(1)由S 1=a 1=a 1−a 12=0得a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=na n 2−n−12a n−1，故(n −2)a n =(n −1)a n−1， 故当n >2时，a n =n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a 2=(n −1)p ，由于n =2时a 2=p ，n =1时a 1=0，也适合该式，故对一切正整数n ， a n =(n −1)p . (2)S n =n(a n −a 1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n −1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1 n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．【考点】数列与不等式的综合数列与函数的综合数列的求和等差关系的确定等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S1=a1=a1−a12=0得a1=0，当n≥2时，a n=S n−S n−1=na n2−n−12a n−1，故(n−2)a n=(n−1)a n−1，故当n>2时，a n=n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a2=(n−1)p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=(n−1)p.(2)S n=n(a n−a1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n−1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．。

江苏省泰州市兴化中学2020学年度第一学期高二数学十月月考试卷回归系数公式：b=∑∑∑∑∑=====--n i ni i i ni i n i n i i i i x x n y x y x n 1212111)()()(a=x b y -一、选择题（每小题5分，共50分） 1、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时2、从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回的取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是 （ ）(A)0.53 (B)0.5 (C)0.47 (D)0.37 3、三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程是（ ）(A) ^y =5.75-1.75x (B) ^y =1.75+5.75x (C) ^y =1.75-5.75x (D)^y =5.75+1.75x4、For x From 0 To 5 Step 2,该程序共执行循环（ ）次)(A)6 (B)5 (C)(D)45、按下列程序运行的结果是( )A←4.5B←6If A≥5 ThenB←B+1ElseB←B-3B←B+2End IfIf B≥4 ThenB←B×BElseB←A+BEnd IfPrint B(A)10.5 (B)11.5 (C)16 (D)256、上右程序运行后输出的结果为 ( )（A） 3 4 5 6 （B） 2 3 4 5 （C） 5 6 7 8 （D） 6 7 8 97、在装有相同数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出白球的概率比在原口袋中取出白球的概率大0.1，则口袋中原来共有球的个数为（）（A）2个（B）4个（C）8个（D）10个8、某招呼站，每天均有3辆开往省城南京的分为上、中、下等级的客车。

江苏省泰州中学2020－2021学年上学期高二年级期初检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5D ．72．过点P240x y --=216y x =28x y 216y x =28x y216y x =216x y =281x y =)0(1222>=-a x ay F O P FP OP ⋅323-332-47-432222:1x y C a b -=(0,0)a b >>22(3)1x y -+=C (321,4)(231,3)(32,4)+∞(23,3)+∞ABC ∆,,A B C ,,a b ccos cos 2b C c B b +=a b =232 222:14x C y +=OM ON ⊥OH MN ⊥N 于点H ，则HA HB ⋅的取值范围是（ ）A ．323,323⎡-+⎣B ．4454455555⎡-+⎢⎣⎦C ．614,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．515,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）A ．E 为PA 的中点B ．BD ⊥平面PAC C ．PB 与CD 所成的角为3π D ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:410．三角形有一个角是60︒，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）． A ．三角形另一边长为7 B ．三角形的周长为20C ．三角形内切圆周长为3πD ．三角形外接圆面积为493π11．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则（ ）A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(),x y 在曲线E 上，则33x -≤≤12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A ．当0m =时，FAB 3B ．不存在m 使FAB 为直角三角形C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC ∆中，若三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为_________．14．椭圆221254x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过1F 交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为__________．15．已知直线:0l ax by +=与椭圆2219y x +=交于A 、B 两点，若()5,5C ，则CA CB 的取值范围是_____． 16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，在抛物线C 上存在两点,A B 关于直线:60l x y +-=对称，且O 为坐标原点，则||OA OB +的值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。