第七章-拟合优度检验 (1)

注意英文缩写的含义

TSS：Total Square Sum / 总离差平方和
RSS：

Regression Square Sum / 回归平方和 Residual Square Sum / 残差平方和

ESS


Error Square Sum / 误差平方和（残差平方和）
Explain Square Sum / 解释平方和（回归平方和）
x u0 已知方差 时：选用统计量: U /n
2
x u0 未知方差 时，用s 代替 ，使用统计量： T s/n
2 2 2
回归系数假设检验及意义

回归系数的假设检验，往往是检验 H0 : i 0 H1 : i 0

检验的意义：该系数是否显著，该解释 变量是否对应变量有解释作用。

检验：取 =5%，查表得 t0.025 (17) 2.110 48.6
拒绝原假设，b1显著不为零
统计检验-方程显著性F检验

提出原假设：
备择假设：
b1 0 b1 0
F ESS /1 RSS /(n 2)

构造统计量
计算得 F 2367

检验：取 =5%，查表得 F0.05 (1,17) 4.45 2367
Step5：下结论：若小概率事件发生，拒绝原 假设H0；选择备择假设H1。否则，不拒绝原 假设。
假设检验的具体操作步骤
（以正态总体、已知方差，检验均值u为例）

1、提出零假设 H0： = 0 H1 ： 0
x u0 2，由样本, 计算统计量U / n



3、确定显著水平，如=0.05，查表得 相应的临界值/2 4、判断和下结论：若|U| /2 ，拒绝H0； 若|U|< /2 , 接受H0；（判断区域图示） 5、依据结论，作出经济学上的解释。

2
− nY 2 = Y′ − nY 2 Y
将上述结果代入R2的公式，得到：
′ − nY 2 − (Y′ −Y′ β ) Y′ β − nY 2 Xˆ Σe2 YY Y Xˆ 2 = R =1− 2 = 2 Y′ − nY 2 Y Σ(Y −Y ) Y′ − nY Y
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
1、t统计量 、 统计量
由于
ˆ) Cov(β = σ 2 ( X′X) −1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素， 于是参数估计量的方差为： ˆ Var ( β ) = σ 2 c
i ii
其中σ2为随机误差项的方差，在实际计算 时，用它的估计量代替:
ˆ σ2 =
∑e
2 i
n − k −1
注意：一元线性回归中， 检验与F 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 一方面 H0：β1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 另一方面
F= ˆ ∑y
2 i 2 i
∑ e ( n − 2)
ei2 ∑
=
ˆ β12 ∑ xi2
∑ e ( n − 2)
1、方程显著性的 检验 、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ … +βkXki+µi i=1,2, …,n
中的参数βj是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： β0=β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
t 1 = 7.378, t 2 = 2.201

拟合优度检验公式的详细整理拟合优度（Goodness of Fit）是统计学中用来评估拟合模型与实际数据之间的匹配程度的指标。

它可以帮助我们判断模型的准确性和可靠性，从而为进一步的分析和决策提供重要依据。

本文将详细整理拟合优度检验公式，并解释其背后的统计意义。

一、介绍拟合优度是衡量模型拟合程度的一种常见方法。

在统计学中，我们经常需要将现实世界的数据与数学模型进行比较，以验证模型的有效性。

拟合优度检验公式可以评估模型与实际数据之间的差异，其值越接近1，表示模型与数据的拟合程度越好。

二、拟合优度检验公式的整理拟合优度检验常用的公式有以下几种：1. R-squared（R平方）R平方是最常见的拟合优度指标之一。

它的计算公式为：R平方 = 1 - (SSR/SST)其中，SSR是回归平方和，表示由模型预测产生的误差平方和；SST是总离差平方和，表示观测值与均值之间的离差平方和。

2. Adjusted R-squared（调整R平方）R平方存在一个问题，就是随着自变量数量的增加而增加，不管这些自变量是否对模型有用。

为了解决这个问题，我们引入了调整R平方。

调整R平方的计算公式为：调整R平方 = 1 - [(1 - R平方) * (n - 1) / (n - p - 1)]其中，n是样本容量，p是自变量的个数。

3. F-statistic（F统计量）F统计量也是一种常见的拟合优度检验方法。

它的计算公式为：F统计量 = (SSR / p) / [(SST - SSR) / (n - p - 1)]其中，SSR是回归平方和，p是自变量的个数，SST是总离差平方和，n是样本容量。

4. AIC（赤池信息准则）AIC是一种模型选择准则，可以用于比较不同模型之间的拟合优度。

AIC的计算公式为：AIC = 2p - 2ln(L)其中，p是模型的参数个数，L是模型的似然函数值。

以上是常见的几种拟合优度检验公式，它们在不同的情况下可以提供不同的评价标准。

i 1
t
Y0 ( 1 2 X 0 ) Se(Y0 )


E(Y|X0)的的置信区间
ˆ t Se(Y ˆ ), Y ˆ t Se(Y ˆ )) (Y 0 0 0 0
2 2
均值预测带
参见课本P120图6-12 和图上边的那段话！
区间预测（个值预测）
构造 则有 即 构造
图示如下
1-
/2
/2
σ x n


x

/2
x
σ n
σ n


σ 置信区间: x n
，x

/ 2
区间估计的步骤：
1)找一个含有该参数的统计量; 2)构造一个概率为 1 的事件;
3)通过该事件解出该参数的区间估计.
区间预测（均值预测）
1 (X0 X ) Var (Y0 ) 2 [ n ] n xi2
ˆ Y 0 Y 0 0
1 (X0 X ) 0 ~ N[0, [1 ]] 2 n xi
2 2
0 ~ N (0,Var (0 ))
ˆ Y Y 0 T 0 ~ t (n 2) Se( 0 )
ˆ Y0的的置信区间 (Y 0
ˆ t Se( )) t Se( 0 ), Y 0 0
判定系数和相关系数的关 系：（1）联系
4.3

数值上，判定系数等于应变量与解释变量 之间简单相关系数的平方:
y y ( x y ) r ( x )( y )
2 i 2 i i 2 i 2 i
R
2
yi
2

2 xi2
2 i 2
2