拟合优度的卡方检验

卡方检验拟合优度检验卡方检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。

拟合优度检验是卡方检验的一种应用，它用于检验样本数据是否符合某个理论分布。

在实际应用中，我们经常需要判断样本数据是否符合某个理论分布，以便进行进一步的统计分析。

这时就可以使用拟合优度检验来判断样本数据是否符合所假设的理论分布。

拟合优度检验的基本原理是比较观测值与理论值之间的差异，如果差异很小，则说明观测值与理论值相符；如果差异很大，则说明观测值与理论值不相符。

拟合优度检验使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度。

卡方统计量的计算公式为：χ² = Σ (Oi - Ei)² / Ei其中，Oi表示观测频数，Ei表示期望频数。

期望频数是指在假设下，每个类别中出现次数的预期值。

在进行拟合优度检验时，我们需要先确定所假设的概率分布，并根据该分布计算期望频数。

然后将观测频数和期望频数代入卡方统计量的公式中计算出卡方值。

最后，根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。

拟合优度检验的步骤如下：1. 假设所观测的数据符合某个特定的概率分布。

2. 根据所假设的概率分布计算期望频数。

3. 计算卡方统计量。

4. 查找卡方分布表，根据显著性水平和自由度确定拒绝域和接受域。

5. 判断样本数据是否符合所假设的概率分布。

在进行拟合优度检验时，需要注意以下几点：1. 样本数据必须是随机抽取的，并且每个观测值必须是独立的。

2. 样本数据必须是分类变量。

如果样本数据是连续变量，则需要将其离散化为类别变量才能进行拟合优度检验。

3. 当样本容量很大时，即使微小的差异也可能导致显著性差异。

因此，在进行拟合优度检验时，需要注意样本容量的大小以及显著性水平的选择。

总之，拟合优度检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。

它使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度，并根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。

正态分布拟合优度检验以正态分布拟合优度检验为标题，我们将介绍正态分布以及如何使用拟合优度检验来判断数据是否符合正态分布。

正态分布是统计学中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。

正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值附近。

在正态分布中，均值、标准差和变异系数是重要的参数。

拟合优度检验是一种用于评估观察数据是否与某个理论分布相符的统计方法。

在正态分布的情况下，我们可以使用拟合优度检验来验证数据是否符合正态分布。

我们需要收集一组数据，并计算数据的均值和标准差。

然后，我们可以使用正态分布的概率密度函数来计算每个数据点的理论值。

接下来，我们使用拟合优度检验来比较观察值和理论值。

拟合优度检验的原假设是数据符合正态分布。

我们使用卡方检验来评估观察值与理论值之间的差异。

卡方检验的计算基于观察频数和理论频数之间的差异。

如果观察频数与理论频数之间的差异较小，则我们可以接受原假设，即数据符合正态分布。

如果差异较大，则我们拒绝原假设，即数据不符合正态分布。

在进行拟合优度检验时，我们需要选择适当的显著性水平。

常见的显著性水平包括0.05和0.01。

如果计算得到的p值小于所选的显著性水平，则我们可以拒绝原假设。

相反，如果p值大于显著性水平，则我们接受原假设。

拟合优度检验的结果可以告诉我们数据是否符合正态分布。

如果数据符合正态分布，则我们可以使用正态分布的统计方法进行后续分析。

如果数据不符合正态分布，则我们需要考虑使用非参数统计方法。

正态分布拟合优度检验是一种用于评估数据是否符合正态分布的重要统计方法。

通过比较观察值和理论值的差异，我们可以得出结论并选择适当的分析方法。

在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的显著性水平，并注意数据样本的大小对结果的影响。

同时，我们也可以使用其他统计方法来验证数据的正态性，以确保结果的准确性和可靠性。

卡方检验与拟合优度检验卡方检验是一种统计学方法，用于确定两个或多个分类变量之间是否存在显著的关联或差异。

它的原理是通过比较实际观察到的频数与期望的频数之间的差异来判断两个变量是否相关。

拟合优度检验则是卡方检验的一种特殊形式，用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。

1. 卡方检验卡方检验可分为独立性检验和拟合度检验两种类型。

独立性检验用于确定两个分类变量之间是否相互独立，拟合度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的差异。

在进行卡方检验时，首先需要建立一个原假设（H0）和一个备择假设（Ha）。

原假设通常是假设两个变量之间没有关联或差异，备择假设则是假设两个变量之间存在关联或差异。

然后，计算实际观察到的频数和期望的频数。

实际观察到的频数是指在样本中观察到的不同类别的频数，而期望的频数是指根据原假设计算得出的在理论上预期的频数。

接下来，使用计算公式计算卡方值：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示求和，O表示实际观察到的频数，E表示期望的频数。

最后，根据计算出的卡方值，查找对应的卡方分布表，找到相应自由度下的临界值。

比较计算出的卡方值和临界值，如果计算出的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联或差异；如果计算出的卡方值小于临界值，则无法拒绝原假设，认为两个变量之间不存在关联或差异。

2. 拟合优度检验拟合优度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。

在进行拟合优度检验时，需要根据已知的理论分布计算期望的频数，然后计算卡方值并进行比较，以确定理论分布与实际观察到的分布之间是否存在显著的差异。

拟合优度检验的步骤与卡方检验类似，需要建立原假设和备择假设，并计算实际观察到的频数和期望的频数。

然后根据计算出的卡方值比较原假设和备择假设，判断理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。

总结：卡方检验和拟合优度检验是两种常用的统计方法，用于确定分类变量之间的关联或差异以及评估已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。

定性数据分析——卡方检验卡方检验（Chi-square test）是统计学中用于检验两个定性变量之间关联性的方法。

它可以帮助我们确定两个变量之间的差异是由于随机因素导致的还是由于真实的关联性。

卡方检验的基本原理是，通过比较实际观察到的频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在关联。

在卡方检验中，我们首先要计算期望频数，即假设两个变量之间没有关联时，我们预计每个组别内的频数应该是多少。

然后，我们计算实际观察到的频数与期望频数之间的差异，并将这些差异加总得到一个卡方值。

最后，我们将卡方值与自由度相结合，使用卡方分布表来确定检验结果是否具有统计学意义。

卡方检验可以分为两种类型：拟合优度检验（goodness-of-fit test）和独立性检验（independence test）。

拟合优度检验用于确定观察到的频数是否与预期的频数相匹配。

它在比较一个变量的分布与一个预先给定的理论分布之间的差异时非常有用。

例如，我们可以使用卡方检验来检验一个骰子是否公平，即骰子的六个面是否具有相等的概率。

独立性检验用于确定两个变量之间是否存在关联。

它可以帮助我们确定两个变量是否独立，即它们的分布是否相互独立。

例如，我们可以使用卡方检验来确定男性和女性之间是否存在偏好其中一种产品的差异。

在进行卡方检验时，我们需要满足一些前提条件。

首先，两个变量必须是独立的，即每个观察值只能属于一个组别。

其次，每个组别中的观察值必须相互独立。

最后，期望频数应该足够大，通常要求每个组别的期望频数大于5卡方检验的结果通常以p值的形式呈现。

p值表示观察到的差异是由于随机因素导致的可能性。

如果p值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为变量之间存在关联。

在实际应用中，卡方检验可以帮助我们解决许多问题。

例如，我们可以使用卡方检验来确定广告宣传对购买行为的影响，消费者对不同品牌的偏好程度，或者员工对不同工作条件的满意度。

spss卡方检验SPSS卡方检验SPSS（统计软件包 for the Social Sciences）是一种功能强大的统计软件，在社会科学、商业智能和市场调研等领域得到广泛应用。

其中，卡方检验是SPSS中常用的统计方法之一。

本文将介绍SPSS 中使用卡方检验进行数据分析的基本步骤、原理和注意事项。

一、卡方检验的基本概念卡方检验，又称为卡方拟合优度检验，用于比较观察样本与理论预期分布之间的差异。

它基于卡方统计量，可以用于分析分类数据的关联性和独立性。

卡方检验的结果可以帮助研究人员判断观察数据与理论模型之间的差异程度以及独立性。

二、SPSS中进行卡方检验的步骤1. 收集数据并导入到SPSS中。

2. 在SPSS中选择“分析”菜单，点击“描述统计”下的“交叉表”。

3. 在交叉表对话框中，选择需要比较的两个变量。

4. 点击“统计”按钮，选择“卡方”选项。

5. 点击“继续”按钮，然后点击“OK”按钮生成交叉表结果。

三、SPSS卡方检验的原理SPSS中的卡方检验基于卡方统计量，该统计量用于衡量观察值与理论期望值之间的差异。

卡方统计量的计算公式如下：\\[ X^2 = \\sum \\frac{(O-E)^2}{E} \\]其中，O表示观察值，E表示理论期望值。

卡方统计量服从自由度为(k-1) × (m-1)的卡方分布，其中k表示列数，m表示行数。

通过计算卡方统计量，可以得到卡方值和P值。

如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则认为观察值与理论期望值存在显著差异，拒绝原假设。

四、卡方检验的应用场景卡方检验通常用于以下几种情况：1. 检验分类变量之间的关联性。

例如，研究某一地区的居民性别与吸烟习惯之间的关系。

2. 检验分类变量与某一特定属性的关联性。

例如，研究某个产品的用户满意度与不同年龄段之间的关系。

3. 检验分类变量的分布是否服从某一特定的理论分布。

例如，研究某一地区的选民支持率是否符合某个政党的预期。

经济统计学中的卡方检验与拟合优度经济统计学是应用统计学原理和方法来分析和解释经济现象的一门学科。

在经济统计学中，卡方检验与拟合优度是两个重要的概念和工具，用于检验经济数据的合理性和拟合程度。

卡方检验是一种用于检验观察值与理论值之间差异的统计方法。

它基于卡方分布的性质，通过计算观察值与理论值之间的差异程度，来判断两者是否存在显著性差异。

在经济统计学中，卡方检验常用于检验样本数据与理论分布之间的差异，从而判断经济现象是否符合某种理论模型。

以某地区居民收入分布为例，假设理论上收入分布符合正态分布。

我们可以通过抽取一定数量的样本数据，计算样本数据的频数分布，并与正态分布的理论值进行比较。

如果观察值与理论值之间的差异较小，那么可以认为样本数据符合正态分布；而如果差异较大，那么可以认为样本数据不符合正态分布。

通过卡方检验，我们可以得出一个统计量，根据其分布情况来判断观察值与理论值之间的差异是否显著。

拟合优度是用于评估观察值与理论值之间拟合程度的指标。

在经济统计学中，我们经常需要根据已有的数据来拟合一个概率分布模型，以便更好地理解和解释经济现象。

拟合优度可以帮助我们评估所选择的概率分布模型与观察值之间的拟合程度，从而判断模型的合理性和适用性。

以某地区商品价格分布为例，假设商品价格符合泊松分布。

我们可以通过收集一定数量的商品价格数据，计算观察值的频数分布，并根据泊松分布的理论值来比较。

通过拟合优度的计算，我们可以评估观察值与理论值之间的拟合程度，从而判断泊松分布是否适用于该地区的商品价格。

卡方检验和拟合优度在经济统计学中具有广泛的应用。

它们可以帮助我们验证经济理论的有效性，评估经济模型的拟合程度，从而提供决策和政策制定的依据。

在实际应用中，我们需要注意样本数据的选择和处理，以及统计方法的合理性和可靠性。

总之，经济统计学中的卡方检验与拟合优度是两个重要的工具，用于检验经济数据的合理性和拟合程度。

它们可以帮助我们更好地理解和解释经济现象，提供决策和政策制定的依据。

方检验的这点，你千万不能忽视哦！方检验方检验有两种用途：1、拟合优度检验（goodness offit test ）：用卡方统计量进行统计学检验，依据总体分布状况，计算出分类变量中各类别的期望频数，与分布的观察频数进行对比，判断期望频数与观察频数是否有显著差异，从而达到对分类变量的分布进行分析的目的。

2、拟合优度检验是对一个分类变量的检验，有时我们会遇到两个分类变量的问题（也就是列联表数据，横标目和纵标目各代表一个分类变量），看这两个分类变量是否存在联系。

现在，来个题考考大家！双向无序列联表资料什么时候能用卡方检验，什么时候要用精确概率法？传统的统计教材中般认为：对双向无序的RxC 列联表资料进行卡方检验中，当样本量小，存在单元格的理论频数（又叫期望计数）小于5 ，或这样的单元格数超过总单元格数的20% ，才需要选用精确概率法。

其实，这种说法已经过时了。

John H. McDonald 在Handbook of BiologicalStatistics (3rd ed.）一书中对卡方检验的适用条件进行了新的阐述。

完全颠覆了我的以往思路。

现总结归纳如下、只要样本量小于1000 的列联表资料，都应该使用精确概率法。

因为，1000 以下样本量的精确概率法在Excel 、SAS 、SPSS 等软件中都可以轻松实现。

、当样本量比1000 大很多时，即使在大型计算机上的强大软件（例如SAS ）做精确概率法的运算都可能存在困难，所以对于样本量大于1000 时，应该使用卡方检验。

如果自由度只有1 ，可以使用Yates 连续性校正（但是对于如此大的样本量，Yates 连续性校正对P 值在准确性上的改进是微不足道。

）、为了便于操作，McDonald 将其经验法则建立在总样本量的基础上，而不是最小的期望计数；如果一个或多个期望计数是非常小（个位数），即使总样本量大于1000 ，也应该使用精确概率法，只是但愿你的计算机能够处理这样的运算量。

f检验拟合优度公式
拟合优度（Goodness of Fit）是用来衡量统计模型对观测数据
拟合程度的指标之一。

在统计学中，常用的拟合优度检验包括卡方
拟合优度检验（Chi-Square Goodness of Fit Test）和残差分析等。

其中，卡方拟合优度检验是用来比较观测频数与理论频数之间的差
异是否显著，其计算公式如下：
X^2 = Σ((O_i E_i)^2 / E_i)。

其中，X^2代表卡方值，O_i代表观测频数，E_i代表理论频数，Σ代表求和符号。

在实际应用中，我们通常根据观测数据和所选择
的统计模型来计算卡方值，然后根据自由度和显著性水平查找卡方
分布表，以确定拟合优度的显著性。

除了卡方拟合优度检验外，还可以通过残差分析来评估模型的
拟合优度。

残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差分析可以
帮助我们检验模型是否能够很好地解释观测数据的变异性，从而评
估拟合优度。

残差分析的公式并不是固定的，而是根据具体的统计
模型和假设来确定。

总的来说，拟合优度的公式可以根据具体的统计模型和检验方法而有所不同，但核心的思想是衡量观测数据与模型之间的拟合程度，以此来评估统计模型的有效性和适用性。

在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的拟合优度检验方法，并正确计算相应的拟合优度指标，以便进行统计推断和决策分析。

卡方检验是一种统计检验方法，其原理是比较理论频数和实际频数的吻合度或拟合优度。

基本思想是通过统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，来判断理论值是否符合。

卡方检验的应用范围包括检验某个连续变量或离散变量是否与某种理论分布接近，即分布拟合检验；以及检验类别变量之间是否存在相关性，即列联分析。

卡方检验的基本公式是卡方值，它是由实际频数和理论频数之间的差的平方与理论频数的比值计算得出的。

卡方值的计算公式如下：
卡方值=∑(实际频数-理论频数)^2 / 理论频数
其中，∑表示求和，实际频数和理论频数分别表示观测频数和期望频数。

如果卡方值越大，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越大；如果卡方值越小，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越小，越趋于符合。

需要注意的是，卡方检验的前提假设是样本数据服从卡方分布，且样本量足够大。

同时，卡方检验对于样本量较小的数据可能不太稳定，此时可以考虑使用其他统计方法如Fisher's exact test等。

，文本采用彩色字标记1什么是卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验（也称为卡方检验，Chi-square Test of Goodness of Fit），是一种常用的统计检验，它用来检测样本数据是否符合指定的概率分布。

卡方拟合优度检验有通用的用途，检验该统计数据是否从某种理论分布中得出。

2卡方拟合优度检验的基本步骤计算卡方拟合优度检验的基本步骤包括：（1）确定假设：你要检验的任务是确定给定的数据是否从指定的概率分布中得出；（2）计算卡方统计量：使用给定的样本数据，计算卡方统计量，通常使用总体均值和总体偏差作为参数；（3）对比观察统计量：将计算出来的卡方统计量与所期望的卡方分布作比较；（4）拒绝和接受假设：根据比较结果，判断检验假设是拒绝还是接受。

3应用实例卡方拟合优度检验可以用于检测样本的分布是否与你认为的分布相符合。

例如，如果你对一组数据进行了正态分布检验，你可以计算出卡方统计量，与给定的数据的卡方分布的观察值来进行比较，以验证样本数据是否符合正态分布。

4卡方拟合优度检验结果分析卡方拟合优度检验是一种检测样本数据是否符合指定概率分布的技术，当观察卡方统计量比较小时，可以判断该统计数据服从所指定的概率分布，反之，如果观察的卡方统计量比较大时，则不能判断它服从指定的概率分布。

在卡方拟合优度检验结果分析中，需要比较卡方统计量和所计算的参数（即在检验过程中构造的卡方分布）的对应位置的值，如果计算出的位置大于卡方分布中的值，则可以拒绝原假设（即，样本没有从指定的概率分布获得）；反之，如果计算出的位置小于卡方分布中的值，则可以接受原假设（即，样本从指定的概率分布获得）。

因此，以上卡方拟合优度检验的结果分析，可以根据观测到的卡方统计量，判断样本是否从给定的概率分布中得出。

卡方检验公式卡方拟合优度检验卡方独立性检验的计算方法卡方检验公式：卡方拟合优度检验和卡方独立性检验的计算方法卡方检验是一种常用的统计假设检验方法，用于判断实际观测值与理论期望值之间的差异是否显著。

在卡方检验中，常见的包括卡方拟合优度检验和卡方独立性检验两种类型。

本文将介绍这两种卡方检验的公式和计算方法。

一、卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验用于检验观测值与理论期望值是否具有显著的差异。

它适用于当我们想要检验一组观测数据是否符合某种理论分布时使用。

假设我们有一个分类变量，有 k 个不同的类别，对于每个类别，我们希望计算出理论上的期望频数 Ei，并与实际观测频数 Oi 进行比较。

卡方检验的原假设（H0）是观测值与理论期望值没有差异，备择假设（H1）是观测值与理论期望值存在差异。

卡方拟合优度检验的卡方统计量计算公式如下：χ² = Σ(Oi - Ei)² / Ei其中，Oi 为观测频数，Ei 为理论期望频数。

以一个例子来说明卡方拟合优度检验的计算方法。

假设我们有一组观测数据，其中有4个类别，分别观测到的频数为120、150、130和100。

我们假设这些观测值符合某种理论分布，理论期望频数为125、135、128和112。

首先，我们需要计算出每个观测值的卡方值，然后将得到的卡方值相加，得到最终的卡方统计量。

下面是具体的计算过程：Observed (Oi) Expected (Ei) (Oi - Ei)² / Ei120 125 0.20150 135 1.67130 128 0.02100 112 1.57计算完每个类别的卡方值后，我们将它们相加得到最终的卡方统计量。

χ² = 0.20 + 1.67 + 0.02 + 1.57 = 3.46这个卡方统计量可以用来判断观测值与理论期望值之间的差异是否显著。

通过查阅卡方分布表，我们可以根据自由度和显著水平确定临界值，从而进行假设检验。

主题：Python 正态分布拟合优度检验引言在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，在许多领域都有广泛应用。

Python作为一种强大的编程语言，提供了许多用于概率分布拟合和优度检验的函数和库。

本文将探讨Python中如何使用正态分布拟合优度检验方法，并提供个人观点和理解。

正态分布简介正态分布是一种连续的对称概率分布，常用来描述自然界和社会现象中的许多随机变量。

正态分布的概率密度函数可表示为：f(x) = (1 / (σsqrt(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。

正态分布的特点是呈钟形曲线，均值处为对称轴。

正态分布的拟合优度检验拟合优度检验可以判断数据是否服从正态分布。

在Python中，可以使用scipy库的stats模块来进行正态分布的拟合优度检验。

下面将介绍一种常用的方法——卡方检验。

卡方检验的原理是通过比较观测值与期望值之间的差异来判断数据的拟合优度。

步骤如下：1.准备一组数据，假设为样本数据。

2.计算样本数据的均值和标准差，作为正态分布的参数。

3.利用正态分布的参数生成一组期望值，与样本数据的长度相同。

4.利用scipy库的stats模块中的chisquare函数进行卡方检验。

5.根据卡方统计量和自由度，得出拟合优度检验的结果。

在Python中，拟合优度检验代码示例如下：import numpy as npfrom scipy import stats# 样本数据data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])# 计算均值和标准差mean = np.mean(data)std = np.std(data)# 生成期望值expected = stats.norm(mean, std).pdf(data)# 进行卡方检验chi2, p = stats.chisquare(data, expected)# 输出拟合优度检验结果if p < 0.05:print("样本数据不服从正态分布")else:print("样本数据服从正态分布")个人观点和理解正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，对于理解和分析数据具有重要意义。

拟合的卡⽅检验实验中⼀个常见的任务是，⼿头有⼀组数据，要拟合⼀条曲线。

然后要检验拟合的优度。

在使⽤卡⽅(χ2)或者约化卡⽅(reduced chi-squares,χ2red )检验时，会遇到⾃由度到底等于⼏的问题。

本⽂先参考[1-2]介绍了测量数据为何服从正态分布，再参考[3]介绍了线性回归的概念和⽅法，最后参考[4]解释了⾃由度的问题。

整篇⽂章不涉及⾼深的数学知识，也没有数学意义上的严格证明，只有直观解释和物理上的推导，是为理⼯科实验数据处理⽽总结的。

测量的物理量的均值设x 1,x 2,⋯,x n 是⼀组独⽴同分布的随机变量且x i ∼N (µ,σ2)。

记¯x =1n ∑i x i以及S 2=1n −1∑i (x i−¯x )2令X =√n (¯x −µ)/S 则有X ∼t n −1，其中t n −1是⾃由度为n −1的t 分布[1]，密度函数t n(x )如下，f n (x )=Γn +12Γn 2√n π1+x 2n −n +12当n →∞，有f n (x )→1√2πe −12x 2即当n →∞时，有X ∼N (0,1)，或记为¯x∼N (µ,S 2/n ),n →∞如果我们每次测得的物理量的值服从某正态分布，则对这样的⼀组测量结果取均值，视该均值为⼀随机变量，则期望是µ，⽅差是S 2/n ，其中S 2是该组测量结果的样本⽅差。

当测量的物理量的值并不服从正态分布时，我们⼀样可以在n →∞时得到该结果，推导如下：符号同前，但取消x i ∼N (µ,σ2)的约束，⽽仅仅限定独⽴同分布，总体的均值为µ，⽅差为σ2。

记z =∑n i =1x i −nµ√n σ这时中⼼极限定理给出[2]lim其中\Phi(z_0)为标准正态分布N(0,1)的累积分布函数。

换⾔之，当n 很⼤时，随机变量z 趋于标准正态分布N(0,1)，即\bar{x}\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\sim N(\mu,\sigma^2/n), n\to\infin如果在上式中⽤样本⽅差S^2代替总体⽅差\sigma^2，则(8)式回到了(5)式，同时取消了x_i\sim N(0,1)的限制。