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43多项式方法求特征值问题

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. .. 4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L方法求多项式系数 我们知道，求n阶方阵A的特征值就是求代数方程 0||)(IA （4.3.1）

的根。)(称为A的特征多项式。上式展开为

nnnnppp.....)(2211 （4.3.2）

其中nppp,...,21为多项式)(的系数。 从理论上讲，求A的特征值可分为两步：

第一步 直接展开行列式|IA|求出多项式)(； 第二步 求代数方程0)(x的根，即特征值。 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适

用的。这里我们介绍用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确

定矩阵A的特征多项式)(，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=nnija)(的对角线元素之和为 nnaaatrA...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n个矩阵:),....,2,1(nkBk





),(................),(...............),(),(,11112231121IpBABIpBABIpBABIpBABAB

nnnkkk nn

kk

trBnptrBkptrBptrBptrBp113121332211



（4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,nkpk即是所求A的特征多项式)(的各系数。用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L方法。相应特征方程为：

0).....()1(2211nnnnnppp （4.3.5）

而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为

)(1111IpBpAnnn (4.3.6) 例1 求矩阵



324202423A . .. 的特征值与1A. 解 用F-L方法求得

831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111trBpIpBABtrBpIpBABtrBpAB

所以A的特征方程为 0)8156()1(233 此方程的根,即特征值为





214121418741214121)(11,1,82231321IpBpA



从例1中的计算结果可知.33IpBFaddeev曾经证明: 对n阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的nB总有 IpBnn (4.3.7)

4.3.2 特征向量求法

当矩阵A的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(IA)x=0中,由于系数矩阵IA的秩小于矩阵IA的阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数,但实际上是解有n个未知数的相互独立的r个方程(r问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量. 在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置. 例如,假设矩阵A为 . .. 

142235224A

其特征方程为



142235224

=0 展开后为 0)5)(2)(1(

故特征值分别为 5,2,1321

下面求特征向量，将1代入方程组0)(xIA中，得





004202250223321321321xxxxxxxxx

（4.3.8） 以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得





004202230225321321321xxxxxxxxx

(4.3.9) 用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x,并把主元素所在行调到最后,得





0525205451600545160321321321xxxxxxxxx

(4.3.10) 再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x,并把主元素所在的行调到最后,得





041002100000321321321xxxxxxxxx

(4.3.11) 这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它

两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13x,则得到矩阵A的对应于11的一个特征向量为 . .. 



14121

对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11的推导过程相同. 计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为





52545452516516B

(4.3.12) 以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列. 在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵





412101B

(4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后

矩阵列的数目等于矩阵IA的阶数和秩的差值. 由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,

要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13x,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B最上面的0

元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方

程有k重根时,矩阵IA的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法. 设矩阵A为



324202423A

其特征方程为 . .. 032422423

展开后得 0)8()1(2 所以特征值为 8,1321

为了决定1的特征向量,将1代入方程组(IA)x=0,得

0424212424321xxx

(4.3.14) 应用一次高斯-若当消去法,得

01002/100100321xxx

(4.3.15) 写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为



1002/100B

(4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由

（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132xx求一个特征向量;选择1,032xx求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量

012/1, 

101

计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线

性无关的特征向量。对应于1的全部特征向量为



101012/121kk

其中1k与2k是任意常数，且不同时为零。 为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A为



1004411282

A

其特征方程为

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特征多项式行列式求解技巧

特征多项式行列式求解技巧

特征多项式行列式求解技巧特征多项式行列式求解是线性代数中一个非常重要的技巧，在很多领域都有广泛应用。

本文将介绍特征多项式和行列式的定义，以及求解特征多项式的一些常用技巧。

一、特征多项式的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，我们可以通过求解特征方程来得到它的特征多项式。

特征方程的定义如下：det(A-λI)=0，其中，det(A-λI)是A-λI的行列式，λ是特征值，I是n 阶单位矩阵。

特征方程可以写成如下形式：p(λ)=det(A-λI)=(-1)^ndet(λI-A)，其中，n是A的阶数，p(λ)是特征多项式。

特征多项式是以特征值作为自变量的多项式函数，通过求解特征方程可以得到它的根，即特征值。

二、特征多项式的求解技巧1. 展开行列式根据特征方程的定义，我们可以将特征多项式展开为一个行列式，并进行展开运算。

这种方法通常在方阵阶数较小的情况下使用，因为行列式的展开运算会涉及到大量的计算。

2. 利用特征值的性质特征值有许多重要的性质，利用这些性质可以简化特征多项式的求解过程。

2.1 特征值的个数等于特征多项式的次数根据特征多项式的定义，特征值是特征多项式的根，特征值的个数等于特征多项式的次数。

2.2 特征值的和等于矩阵的迹矩阵的迹定义为主对角线上元素之和，记为tr(A)。

特征值的和等于矩阵的迹，即λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)。

2.3 特征值的积等于矩阵的行列式矩阵的行列式定义为矩阵所有特征值的乘积，记为det(A)。

特征值的积等于矩阵的行列式，即λ1 * λ2 * … * λn = det(A)。

利用特征值的性质，我们可以通过计算矩阵的迹和行列式来求解特征多项式的系数，从而得到特征多项式的表达式。

3. 特征多项式和幂函数的关系特征多项式和矩阵的幂函数存在密切的关系。

对于一个n阶方阵A，特征多项式的第k次幂可以表示为A^k的线性组合。

具体而言，设A的特征多项式为p(λ)，则有：p(A)=c0I+c1A+c2A^2+…+cn-1A^n-1，其中，c0, c1, …, cn-1是待定系数。

第四章 矩阵的特征值与特征向量问题

第四章 矩阵的特征值与特征向量问题

8
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1 Ax A1 x A1 x
x A 1 x A 1 x 1 x
故 是矩阵A 的特征值, 且x是A 对应于
1 1 1
1
的特征向量.
★ 特征值和特征向量的性质:
A或AT
特征值
i 1
19
例 估计方阵A特征值的范围
0.1 0.2 1 0.5 3 0.1 A 1 0.3 1 0.2 0.3 0.1 0.3 0.2 0.5 4
解：
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
1i n

因为
a
j 1
n
kj
x j x k
n
( akk ) xk akj x j
j k
akk |
j k
n
n
akj x j xk
| | akj |
j 1 j k

| xj | | xk |
| akj |
j 1 j k
n
Gk Gi
n
I A ( 1 )( 2 ) ( n ) (1) k s k n k
k 0
n s1n 1 s 2 n 2 (1) n A 其中 : s k 为A中一切k阶主子式之和。
(1) 1 2 n a11 a22 ann＝tr（A） ;
5
重数：
det(I A) ( 1 ) ( 2 ) ( P )
矩阵的特征值问题求解

矩阵的特征值问题求解

矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。

矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。

什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。

其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。

特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。

特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。

给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。

2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。

特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。

通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。

3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。

通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。

应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。

通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。

综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。

如何解决数学中的特征值与特征向量问题

如何解决数学中的特征值与特征向量问题

如何解决数学中的特征值与特征向量问题特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。

解决数学中的特征值和特征向量问题是学习线性代数的关键，本文将重点介绍如何有效地解决这类问题。

一、特征值与特征向量简介在矩阵和线性代数中，特征值和特征向量是一对相关的概念，它们具有重要的几何和代数意义。

特征值是一个标量，表示线性变换在某个向量上的伸缩比例。

特征向量是与特征值对应的非零向量，表示线性变换在某个方向上的不变性。

二、求解特征值与特征向量的方法解决特征值和特征向量问题的方法有多种，下面将介绍最常用的两种方法：特征方程法和幂法。

1. 特征方程法特征方程法是一种基于特征方程求解特征值的方法。

对于一个n阶方阵A，其特征方程定义为：|A-λI|=0其中，A是待求特征值的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。

解特征方程就是解上述方程，从而求出特征值。

找到特征值后，再通过代入特征值求解相应的特征向量。

2. 幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

具体步骤如下：步骤一：选择一个初始向量x0。

步骤二：计算向量y=A*x0，其中A为原矩阵。

步骤三：求解y中的最大分量，得到最大特征值λ1的近似值。

步骤四：将向量y进行归一化处理，得到新的初始向量x1。

重复步骤二至步骤四，直到收敛得到满足要求的特征值和特征向量。

三、应用范例下面通过一个具体的例子来说明如何解决数学中的特征值与特征向量问题。

假设有一个2阶方阵A：A = [[3, 1],[1, 2]]首先，使用特征方程法来求解特征值：|A-λI| = |3-λ, 1||1, 2-λ|= (3-λ)(2-λ) - 1 = λ^2 - 5λ + 5解这个特征方程，得到特征值λ为2+√3和2-√3。

接下来，分别代入λ=2+√3和λ=2-√3，求解特征向量。

当λ=2+√3时，代入特征方程(A-λI)x=0，得到特征向量为：x1 = [√3-1,1]当λ=2-√3时，代入特征方程(A-λI)x=0，得到特征向量为：x2 = [-√3-1,1]最后，将特征值和特征向量带入原矩阵A，验证计算结果是否正确。