1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似

矩阵的特征值和特征向量文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式为==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此如果存在一组实数使(3)则上式两边乘以得(4)另一方面,,即(5)(4)－(5)有由归纳假设,线性无关,因此而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五５－12§２相似矩阵定义2设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理3设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．证明因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有于是所以是矩阵的属于的特征向量．下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．定理4阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．证明必要性设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使=设则由上式得即，因此所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故线性无关.充分性如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，则有设则是满秩的，于是，即=[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．课后作业：习题五13－16§３向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．定义3设有维向量，，令=，则称为向量和的内积．[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立．定义4令||=称||为维向量的模（或长度）．向量的模具有如下性质：（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；（2）||=|| ||，（为实数）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特别地，当||=1时，称为单位向量.如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．如果、都为非零向量，由性质（3）≤1，于是有下述定义：定义5当||≠0，||≠0时称为维向量、的夹角．特别地：当=0时，，因此有定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6已知个非零向量，若=0，则称为正交向量组．定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．例如，维单位向量组=，，是正交向量组．正交向量组有下述重要性质：定理5正交向量组是线性无关的向量组．定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，，，…….再取则为标准正交向量组．上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．例5把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.将，，正交化，令=，=，再把单位化，则即为所求的标准正交向量组．定理7若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使，成为正交向量组．推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．例6已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.解应满足方程=0，即.它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取其中于是得定义8如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式（其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有定理8一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．课后作业：习题五1－4§４实对称矩阵的相似对角化在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．是分别属于的特征向量，则，根据内积的性质有，又所以，因，故，即与正交.定理11 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量，.于是得正交矩阵易验证.课后作业：习题五17。

矩阵相似特征向量之间的关系矩阵相似性是线性代数中一个重要的概念，而特征向量则是矩阵相似性的重要组成部分。

特征向量是在矩阵运算中具有特殊性质的向量，它们在矩阵相似性的研究中扮演了重要的角色。

特征向量的研究不仅帮助我们理解矩阵相似性的本质，还在实际问题中有着广泛的应用。

我们来看一下什么是矩阵相似性。

矩阵相似性是指对于两个矩阵A 和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B，那么我们称矩阵A和B是相似的。

简单来说，矩阵相似性就是通过相似变换将一个矩阵转化为另一个矩阵。

而特征向量则是在这个相似变换中起到了关键的作用。

特征向量是指在矩阵A的线性变换下，只发生长度的伸缩而不改变方向的非零向量。

数学上，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么v就是矩阵A的一个特征向量，λ就是对应的特征值。

特征向量与特征值之间存在着紧密的关系，特征向量描述了矩阵的变换方向，而特征值则描述了变换的比例因子。

在矩阵相似性的研究中，特征向量起到了重要的作用。

首先，我们知道相似矩阵具有相同的特征值，也就是说它们具有相似的特征向量。

这是因为相似矩阵之间的相似变换不改变特征值。

因此，如果两个矩阵相似，它们的特征向量一定是相似的。

特征向量的研究帮助我们理解矩阵相似性的本质。

特征向量描述了矩阵的变换方向，而特征值则描述了变换的比例因子。

通过研究特征向量，我们可以了解矩阵的变换性质，进而推导出矩阵相似性的一些性质。

例如，如果一个矩阵的特征向量都是线性无关的，那么这个矩阵就是对角化的，也就是说它与一个对角矩阵相似。

这样的矩阵具有简单的性质，更易于研究和计算。

特征向量还在实际问题中有着广泛的应用。

在物理学中，特征向量被用来描述物理系统的稳定性和振动模式。

在工程学中，特征向量被用来解决信号处理和图像处理等问题。

在计算机科学中，特征向量被用来进行数据降维和模式识别等任务。

特征向量的研究不仅帮助我们理解矩阵相似性，还为实际问题的求解提供了有效的工具。

第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。

对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．解法1：设后k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关，即选项(B)正确．解法2：由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为，即λ2≠0，故选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T 是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．2．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；正确答案：由Aα1=λ1α1知Bα1=(A5-4A3+E)α1=(λ51-4λ31+1)α1=-2α1，故α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量．类似，矩阵B的其他两个特征值为λ5i-4λ3i+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为-2，1，1．因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有x1-x2+x3=0，解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值-2的全部特征向量为K1α1(K1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为K2α2+K3α3(K2，K3是不全为零的任意常数)．解析：若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式，则f(λ)是f(A)的特征值，且矩阵A的属于λ的特征向量α，也是f(A)的属于f(λ)的特征向量．这是矩阵的重要性质．所以第一问就是以具体的矩阵来验证上述结论．第二问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．求矩阵B．正确答案：令求得注：矩阵B也可由下列方法求得：单位化α1得将α2，α3正交化、单位化得由ξ1，ξ2，ξ3构成正交矩阵则涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设三阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为4．将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；正确答案：设对此方程组的增广矩阵作初等行变换得唯一解(2，-2，1)T，故有β=2ξ1-2ξ2+ξ3．解析：本题考查相似矩阵的性质，运用A相似于对角阵去计算An．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．求An(n为自然数)．正确答案：解法1：由于Aξi=λiξi，故Anξi=λniξi；因此解法2：记p=(ξ1，ξ2，ξ3)，则有故从而涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中求k的值与矩阵A．正确答案：由题设AB=C可知A(1，2，1)T=0，从而λ1=0为A的特征值，α1=(1，2，1)T为相应的特征向量；又A(1，k，1)T=(-12，-12k，-12)T=-12(1，k，1)T，由此可知λ2=-12为矩阵A的特征值，α2=(1，k，1)T为相应的特征向量．因为λ1+λ2+λ3=trA=-6，所以λ3=6．又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有αT1α2=0，即(1，2，1)(1，k，1)T=0，解得k=-1．设A 的属于λ3=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则显然αT1α3=0，αT2α3=0，即得到方程组：求得基础解系α3=(-1，0，1)T，即为A的属于λ3=6的特征向量．由Aα1=0α1，Aα2=-12α2，Aα3=6α3，得A(α1，α2，α3)=(0，-12α2，6α3)，即故解析：本题考查相似对角化的逆问题．用特征值与特征向量的定义Ax=λx，求特征值与特征向量．即若Ax=0有非零解x0．知0是A的特征值，x0是A的关于0特征值对应的特征向量，若Ax=λx，则λ是A的特征值，非零列向量x 是A的关于特征值λ的特征向量．还可用λ1+λ2+λ3=trA求特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a-1，-a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，-5a，2a+1)T．试求a、λ0的值，并求矩阵A．正确答案：由于｜A｜=λ1λ2λ3=-2，故A可逆．由于α0是A*的属于λ0的特征向量．所以A*α0=λ0α0．于是AA*α0=λ0Aα0，即｜A｜α0=λ0A α0，亦即-2α0=λ0Aα0．故．从而-2/λ0是A的特征值，α0是A的关于-2/λ0对应的特征向量．又由于α1，α2为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α1，α2正交，即αT1α2=0，得a=±1．无论a=1还是a=-1，则有α0与α1，α2中任何一个都线性无关，所以α0应是矩阵A的属于λ3的特征向量，于是有λ3=-2/λ0从而λ0=2．且α0与α1正交，即αT0α1=52+a-4=0，则a=4/5或a=-1，于是a=-1，λ0=2．令，则P可逆，且所以解析：本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题．运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定a与λ0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的秩为2，且8．求A的所有特征值与特征向量；正确答案：解法1：由题设知所以，由特征值与特征向量的定义，λ1=1是A的一个特征值，对应的一个特征向量为α1=(1，0，1)T．λ2=-1是A的又一个特征值，对应的一个特征向量为α2=(1，0，-1)T．又r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0，设λ3对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，由题设知，αT1α3=0，αT2α3=0，即解得基础解系为α3=(0，1，0)T．故A的特征值为λ1=1，λ2=-1，λ3=0．依次对应的特征向量为K1(1，0，1)T，K2(1，0，-1)T，K3(0，1，0)T，其中K1，K2，K3均是不为0的任意常数．解法2：设，由有得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0．于是再由r(A)=2，得d=0．然后再求A的特征值与特征向量．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化9．求矩阵A．正确答案：由A(α1，α2，α3)=(α1，-α2，0)，有涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+A α-2α=0，试证10．α，Aα线性无关；正确答案：设k1，k2，使得k1α1+k2Aα=0，若k2=0k1α=0，而α≠0，所以k1=0，若是A的特征向量，这与已知矛盾．综上，可得k1=k2=0，所以α，Aα线性无关．解析：本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件．用向量组线性无关的定义可证得α，Aα线性无关；再由A2α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值，由于特征值各不相同，故方阵A可对角化．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化11．A可相似对角化．正确答案：由A2α+Aα-2α=0(A2+A-2E)α=0，因为α≠0，所以齐次线性方程组(A2+A-2E)x=0有非零解，于是有若｜A+2E｜≠0，则有(A+2E)(A-E)α，即α是A的特征向量，这与已知矛盾，所以｜A+2E｜=0；同理可证｜A-E｜=0，所以A有两个不同的特征值λ1=-2，λ2=1，故A可相似对角化．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化12．设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．正确答案：因为α，β为单位向量，且αTβ=0，故的秩为2，从而有x≠0，使即αTx=0，βTx=0，于是有Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0．又Aα=(ααT+ββT)α=ααTα+ββTα=α，Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵p=(α，β，x)，使解析：本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化13．设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．正确答案：因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3 =λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ21α1+λ22α2+λ23α3．设存在常数K1，K2，K3，使K1β+K2Aβ+K3A2β=0，进而得(k1+k2λ1+k3λ21)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0．由于α1，α2，α3线性无关，于是有其系数行列式故k1=k2=k3=0，所以，β，Aβ，A2β线性无关．解析：本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化14．设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．正确答案：因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得(P-1AP)(P-1BP)=P-1ABP=P-1BAP=(P-1BP)(P-1AP)，即Λ(P-1BP)=(P-1BP)Λ．令P-1BP=(cij)n×n，代入上式，有比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0．由此有cij=0(i≠j)，故解析：本题考查矩阵相似对角化的条件．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足A α1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．15．求矩阵B．使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；正确答案：由题设条件，有可知解析：本题主要考查矩阵的基本运算．相似矩阵的性质(相似矩阵有相同的特征值)，矩阵的特征值与特征向量的计算以及矩阵对角化的方法．由题设，容易求得矩阵B．由A与B相似，要求矩阵A的特征值，仅需求矩阵B的特征值，最后求可逆矩阵P即可．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化16．求矩阵A的特征值；正确答案：因为α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值．由得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值λ1=λ2=1，λ3=4．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化17．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵则因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵故P即为所求的可逆矩阵．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化已知矩阵A与B相似，其中18．求x与y；正确答案：因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE-B｜，即整理得(λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]．比较上式两边λ同次幂的系数可得x=0，y=1，此时解析：本题主要考查矩阵相似的性质及利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．由矩阵A与B相似，知它们有相同的特征多项式，由此可求出x和y，然后用常规方法求出正交矩阵Q，使Q-1AQ=B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化19．求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B．正确答案：由于B是对角矩阵，其特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1，而A 与B相似，故它们也是A的特征值．对于特征值λ1=2，由得A的属于λ1=2的特征向量可取为ξ1=(1，0，0)T．对于特征值λ2=1，由得A的属于λ2=1的特征向量可取为ξ2=(0，1，1)T．对于特征值λ3=-1，由得A的属于λ3=-1的特征向量可取为ξ3=(0，1，-1)T．显然，ξ1，ξ2，ξ3已正交，再单位化，得令则Q可逆，且有Q-1AQ=B．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．20．求A的特征值与特征向量；正确答案：由题设知α1，α2是Ax=0的两个解，所以有Aα1=0，Aα2=0．即Aα1=0α1，Aα2=0α2．而α1，α2线性无关，所以λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量．又矩阵A的各行元素之和均为3，即由特征值与特征向量的定义，知λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T为A的属于特征值3对应的一个特征向量．于是，A 的全部特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．属于特征值0对应的全部特征向量k1α1+k2α2(k1，k2是不全为零的任意常数)，属于特征值3对应的全部特征向量k3α3(k3是不为零的任意常数)．解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．由α1，α2是线性方程组Ax=0的解，知α1，α2是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化21．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=Λ；正确答案：对α1，α2正交化，令b1=α1=(-1，2，-1)T，再分别将b1，b2，α3单位化，得则Q为正交矩阵，且QTAQ=∧．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化22．求A及，其中E为3阶单位矩阵．正确答案：因QTAQ=∧，且Q为正交矩阵，故A=Q∧QT．由A=Q∧QT得所以涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，试证：23．r(A)=2；正确答案：由于α3=α1+2α2知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量．解析：本题考查向量组线性相关和矩阵特征值的概念和性质，矩阵相似对角化的条件以及非齐次线性方程组通解的结构．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化24．若α1+α2+α3=β，求Ax=β的通解。

矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。

在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。

一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。

特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。

特征值则是衡量该变换强度的标量。

二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。

解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。

2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。

三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。

2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。

这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。

3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。

四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。

对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。

2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。

相似矩阵具有相同的特征值。

3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。

例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。

五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。

特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。

通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。

特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。

它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。

考研数学三（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )A．P－1αB．PTα．C．PαD．(P－1)Tα．正确答案：B解析：由于(P－1AP)TPTα=PTAT(P－1)TPTα=PTA(PT)－1α=PTAα=PT λa=λPTα．由特征值与特征向量的定义知(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量为PTα因而应选(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化2．设矩阵有3个线性无关的特征向量，则a，b应满足的条件为( ) A．a=b=1．B．a=b=－1．C．a≠b．D．a+b=0．正确答案：D解析：由A的特征方程得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，由于对应于不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以当A有3个线性无关的特征向量时，对应于特征值λ1=λ2=1应有两个线性无关的特征向量，从而r(E －A)=1，由知，只有a+b=0时，r(E－A)=1，此时A有3个线性无关的特征向量，故应选(D)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．设矩阵已知矩阵A相试于B，则秩r(A－2E)+r(A－E)=( ) A．2．B．3．C．4．D．5．正确答案：C解析：因A相似于B，所以存在可逆矩阵P，使A=PBP－1．从而故选(C)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化填空题4．设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵．E为n阶单位矩阵，若A有特征值A，则(A*)2+E必有特征值___________．正确答案：解析：由于A是A的特征值，所以是A*的特征值．从而(A*)2+E必有特征值知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．设n阶矩阵A的每行元素之和为a，则A3+3A2+2A+E必有特征值___________.正确答案：a3+3a2+2a+1．解析：由于根据矩阵特征值与特征向量的概念知a是A的一个特征值，从而a3+3a2+2a+1必是A3+3A2+2A+E的特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式|B-1－E|=__________.正确答案：24解析：由矩阵A与B相似，知A与B有相同的特征值，因此B的特征值也为易知B－1的特征值为2，3，4，5，而B－1－E的特征值为1，2，3，知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，则k=_________．正确答案：1或－2．解析：设λ是A-1的对应于α的特征值，则A-1α=λα，即λ=λAα，亦即得方程组解之，得或于是，k=1或－2时，α是A－1的特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化8．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________.正确答案：1解析：由于令P=(α1，α2)，则有AP=PB，由于α1，α2线性无关，从而P=(α1，α2)可逆，于是P-1AP=B，再由得λ=0，1，故A的非零特征值为1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。