七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十六讲比例线段(含答案)

第十九讲几何不等式趣提引路】已知：如图19一1,三个居民区分别记作A、B、C,邮电局记作0,它是的三条角平分线的交点, 0、A、B、C每两地之间有宜线道路相连，一邮递员从邮电局出发，走遍各居民区再回到O点，若AC> BOAB.问：哪条路线走的距离最短？并说明理由.解析若不考虑顺序，所走路线有三条：OABCO（或OCR40）、OBACO（或OCABO）, OBCAOC或OACBO）, 其中OABCO最短.在AC上截取AB' =AB,连结OB',设三条路线OABCO, OBACO, OBCAO的距离分别为〃「厶、厶，易证△ AOB^AAO B, A50=B0，d厂心=（OB+BC+CA+AO）—（OA+AB+BC+CO） =0B+ （AC -AB）一CO=OB'+ （AC-AB ）一CO=OB'+B'（7 — CO〉。

, A d3>d t,同理d2>d x.・•.路线OABCO最短.知识拓展】1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较•这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中.2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下泄理：（1）三角形任何两边之和大于第三边（2）三角形任何两边之差小于第三边（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.（4）同一三角形中大边对大角.（5）同一三角形中大角对大边例1如图19-2,在等腰梯形ABCD中，AD//BC, AB=CD, E、F分别在AB、CD上且AE=CF.求证：EF2 丄（AD+BC）.i /c G图19・2证明如图所示，延长AD至2,使DD严BC,延长36?至（7「使CC「=AD,连结G D「则ABC；®是平行四边形，ABCD和CDD、C、是两个全等的梯形，在上取一点G 使D、G=AE,连结FG和EGFh AE=CF,则£F=FG,又EG=A D. =AD+BC.•••2EF=EF+FG2EG=AD+BC.即EF=- (AD+BC)・2点评当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立•证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中, 以便应用上述基本不等关系.例 2 如图19-3, △ABC 中，AB>AC. BE、CF 是中线，求证：BE>CF.解析BE、CF不在同一个三角形中.无法比较它们的大小，将BE平移到FG,在AGCF中比较FC与FG的大小即可.证明将BE、CE分別平移到FG、FD,则四边形EFDC为口作FH丄BC于H.VAB>AC9且F、E分别为AB、AC 的中点，:.FB>CE.:.FB>FD.由勾股泄理得：HB>HD,即FB>FD又•••GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH,即GH>CH, :.GF>CF.即BE>CF・例3 如图19-4,在等腰AABC中，AB=AC, D为形内一点，ZADOZADB.求证：DB>DC.解析由于厶DC、/ADB与BD、DC不在同一三角形之中，所以考虑将某一图形绕着某点旋转一是角度，使图中的对应元素不变，使它们能集中在同一个三角形之中.证明把AABD绕点A按逆时针方向旋转至AACD',连接DD',则AD^AD'.:.ZADD^ = ZAZT D,而ZADC> ZADB,:.ZADOZAD C・••• ZADD f + ZD' DC> ZAD f D+ ZCD D••• ZD DC> ZDD C・:.CD r>DC,即DB>DC.点评几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变. 例4 如图19-5,在ZVIBC中，心b、c分别为ZA. ZB、ZC的对边，且求证：2ZB<ZA4-ZC.证明延长BA到D 使AD=BC=u,延长BC到& 使CE=AB=c,连结DE,这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c・:.ZBDE=ZBED・DF//AC. CF//AD,相交于F,连结EF,则ADFC是平行四边形.ffl!9-5•••CF=AD=BC・又ZFCE=ZCBA,•••△FCE仝△CBA (SAS)・:.EF=AC=b.于是DEWDF+ EF=2bJ+c=BD=BE.这样，在ABDE中，便有ZB<ZBDE=ZBED・2ZB< ZBDE+ ZBED= 180°一ZB=ZA+ZC,即2ZB<ZA+ZC.例5过三角形的重心任作一宜线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的丄9证明如图19-6,设AABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为B「C「C?、A?・连结 A 九、B| 、C] C21•.•三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍,：• A| A = A[ B、= B\B,B B? = B、Cj = C] C,CC2 = G = A,A.■ ■ ■ ■V A l A2//BC. B\B」AC、C\CJ AB・••图中的9个小三角形全等.即AA C x C.所以上述9个小三角形的而积均等于AABC而积的1・9若过点G作的直线恰好与直线AG、BG、B2 A2,重合，则AABC被分成的两部分的而积之差等于一个小三角形的而积，即等于而积的1.9若过点G作的直线不与直线AG、BG、场儿重合，不失一般性，设此直线交AC于F,交AB于E, 交G C?于D •：GB严GJ ZEB\G=ZD：C,Zfi, GE=ZC2 GD.GD.:・EF分皿眈成两部分的而积之差等于|S，5-S他伽心|,而这个差的绝对值不会超过5AC|C.C的而积.从而EF分AABC成两部分的而积之差不大于AABC而积的丄・9综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的而积之差不大于整个三角形而积的丄.9好题妙解】佳题新题品味例1如图19-7,求VPHT + J(4_x)‘ +4的最小值.R图19・7解析本题周旋于根式，那就不易求岀最小值，但从式子的特征联想到勾股定理，由数想形，构成直角三角形可使问题迅速解决.解构造如图19-7 所示的RtAPAC. RtAPBD> 使AC=1, BD=2, PC=x, CD=4,且PC、PD 在直线 /上，则所求最小值转化为“在直线/上求一点P,使PA+PB的值最小”.取点A关于/的对称点A',显然有M+PB=% +PB2A' B= j3’+¥ =5.・•. A/P+T + J(4二x)，+4 的最小值是5.例2 如图19-8,已知AD是AABC的角平分线，且AB>AC,求证：BD>DC.解析由于AB>AC,所以可在AB h截取AE=AC.连接DE,易证△ ADE^/\ADC.于是DE=DC,这样把DC. BD放入ABDE中进行比较即可.证明：TAD为角平分线，•••作△/!£>（?关于AD为对称轴的△△£>£・:・DC=DE、ZADE= A ADC ・••• ZBED> ZADE= ZADC> ZABD.:.ZBED>ZEBD•:・BD>ED即BD>CD.中考真题欣赏例1 （陕四中考题）如图19-9,已知人》为厶ABC的中线，求证：AD<- （AB+AC）・2解析考虑如何将A AC. AD转移到同一个三角形中去，采取中线加倍法.证明延长AD 至E,使得DE=AD,连结CE,则厶ABD^AECD, :.EC=AB,在AACE 中，AE<AC+EC 即2AD<AB+AC, AD<- （AB+AC）.2例2 （连云港市中考题）在△ABC中，AC=5,中线AD=4.则边AB的取值范帀是（）A. 1VABV9B.3<AB<\3C.5<AB<\3D.9<AB<\3解析参见图19-9.延长AD至E, DE=AD,连结CE,由三角形三边的关系可知3VCEV13,又CE =AB.故3VABV13,选B.竞赛样题展示例1 （1996年“希望杯”初二竞赛题）如图19-10,在厶ABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的大小关系是（）A・AC>2AB B・ AC=2AB C. ACW2AB D. AC<2AB解析关键在于构造等腰三角形，延长CB至D 使得BD=AB,则ZD=ZD/\B=ZC, AD=AC,在厶ABD中，AB+BD^2AB>AD.即2AB>AC.选D例2 （2000年“希望杯”初二竞赛题）如图19-11, AABC中：AB>AC. AD. AE分别是BC边上的中线和ZA的平分线，比较AD和AE的大小关系.解析延长AD 至F,使DF=AD,连结BF•则AADC^AFDB, :.AC=FB. ZDAC=ZF. \9AB>AC.•••AB>FB, :.ZF>ZBAF. :. ZDAC> ZBAF,•••点D 在点 E 的左边，A ZBAF< ZEAC. V ZADE= Z BAF+ A ABC. kAED=ZC+/EAC, ZABCVZC, Z. ZADE< ZAED,故AD>AE.RI19-91^19-10例3如图19-12,在ZVIBC中，P、Q、/?将英周长三等分，且P、Q在AB上，求证：迪竺＞2.S/u 肚9解析易想到作AABC和△PQR的髙，将三角形的而积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例泄理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比.证明如图32作V丄帖厶，R5于H,则进=册=册不妨设IWBC的周长为1,则PQ丄 AB<丄,3 2•陀、2■ ■ , ” — *AB 3'：AP^AP+BQ=AB-PQ< 1-1例4 （2000年江苏省初三竞赛题）如图19-13,四边形ABCD中，AB=BC, ZABC=60a , P为四边形ABCD 内一点，且ZAPD=120°・证明：用+PD+PCMBD・解析在四边形ABCD外侧作等边三角形AB D,由ZAPD= 120°可证明B'P=AP+PD.易知B CMPB' +PC,得B'CWAP +PD+PC.下iiEBD=£C・VAAB D是等边三角形,:.AB r=AD, ZBAD=60° ,又易知ZVIBC是等边三角形，故AC=AB, ZB AC =60°,于是△ AB C竺AADB,:・B'C=DB・例5设h「叽、虬是锐角心菟三边上的髙，求证：訂罟弊“解析如图19-14＞在RtAADC中，由于AC＞AD,故同理可证c> h b, a> h c,Sg3又A迢，从而等h a + % + 九 <"+b+c.设AABC 的垂心为H 点, 由于 HA+HB>AB, HB+HOBC,HC+HA>AC, 则 HA+HB+HC>1 (a+b+c)・ 2从而h a + h b + h e >HA + HB + HC>-(a+h+c),2即5+hJ ②a+b+c 2由①、②得丄v34_vi2 a+b+c例6如图19-15,在Z\ABC 中,®AC ，过点A 作EF//BC,D 为EF 上异于A 点的任一点，求证,AB+AC 〈BD+DC ・解析将AACD 以直线EF 为对称轴对折到厶AC' D 中, ••• ZC'AD 二ZDAC 二 ZACB 二 ZABC ・・・・ ZC ，AD+ZDAC+ZBAC=ZABC+ZACB+ZBAC=180° . ・・.B 、A 、C'三点共线..v BC Z <C D+DB,又•••AC'二AC, CD 二 DC',・•・ AC' +AB<BD-DC.即 AB+ACCBD+DC ・过关检测】A 级1. _______________________________________________________ 在Z\ABC 中，AD 为中线，AB=7, AC 二5,则AD 的取值范围为 ____________________________________ .2. （1994年安徽省数学竞赛题）已知在AABC 中，ZAWZBMZC,且2ZB 二5ZA,则ZB 的取值范围 是 _______ .3. （1997年太原市初中数学竞赛试题）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的 长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数 ___________ •4. （1998年全国高中理科试验班招生数学试题）面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c,且满 足a£bWc,则a+b 的最小值是 ___________ .5. （2000年江苏数学竞赛培训题）在任意AABC 中，总存在一个最小角（「则这个角的取值范围为c r^19-15B级AABC 中，E、F 分别为AC、AB 上任一点，BE、CF 交于P,求证：PE+PF<AE+AF.1.如图19-16,2.如图19-17, 等线段AB、CD 交于0,且ZA0C=60°,求证：AC+BD2AB.3.如图19-18, 矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，求证：EF<AC.4.已知a. b、、y 均小于0, x2 + y2 =1.求证：y]a2x2 +h2y2 + y]a2y2 +b2x2 >a+b.5.如图19-19. 在AABC 中，ZB=2ZC,求证：AC<2AB.A6•平而上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值7•如图19-20.已知ZkABC中AB>AC, P是角平分线AD上任一点，求证:AB-AOPB-PC.第十九讲几何不等式A级1. 1 <AD<62.75°W 乙BW100。

第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。

求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。

2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。

（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

第九讲 恒等式的证明趣题引路】 请证明下列恒等式：()()()()xx x x xx nn--=++++1111114242考虑()()2111x x x -=+-，()()422111x x x -=+-，…，于是左边乘以11xx--：左边=()()()()()()xx x x x x x x x x n n n n --=-+-=+++--1111111111142222 这里的技巧在于添乘（1－x ）后，能反复运用平方差公式在恒等式的证明中类似的技巧很多，下面逐一介绍.知识拓展】1.如果两个代数式A 和B ，对于它们的变数字母在允许取值范围内的任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式是恒等的，一般记作A =B ，有时也记作A =B ，这样的等式就称为恒等式，而把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式就叫做代数式的恒等变形。

2.恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。

通常的证明方法有：（1）将左边转化到右边，或将右边转化为左边，一般是从复杂的一边向简单的一边转化；（2）将两边都变形，化成同一个代数式；（3）证明左边－右边=0或左边右边=1，此时右边≠0.（4）换元法：对于结构较复杂但又有许多典型结构的恒等式可用此法。

3.对于有条件限制的恒等式的证明：常要变换条件并灵活运用条件，方能使等式得到证明.一、无条件恒等式的证明 1.左右法 例1 求证：()()()0.()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++=++++++ 解析 直接通分难度太大，考虑一、二项作一组通分，后两项作一组通分。

证明 左边=()()()()[]()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++ =2()2()()()()()()()b a c b a c c a a b b c a b b c c a -+-++++++ =2()2()0()()()()b ac b a c a b b c a b b c ---=++++.点评：后两项通分后分子分母出现公因式，从而化难为易.恒等式的证明往往从结构较复杂的一边开始.2.作差法例2 证明：2221113.x y z ax a ay a az a x a y a z a a++=+++------ 解析 因左边三个分式的分母都是右边分式分母的a 倍，考虑作差通分化简求证。

新人教版七年级数学上册专题训练：线段的计算(含答案)一、选择题1. 已知线段AB的长度为5cm，线段BC的长度为9cm，求线段AC的长度是多少？A) 4cmB) 6cmC) 10cmD) 14cm答案: B) 6cm2. 已知线段DE的长度为7cm，线段EF的长度为3cm，求线段DF的长度是多少？A) 4cmB) 7cmC) 10cmD) 14cm答案: A) 4cm3. 正方形ABCD的一条边长为10cm，求它的对角线的长度是多少？A) 5cmB) 10cmC) 14cmD) 20cm答案: C) 14cm二、填空题1. 直线段AB的长度为15cm，点P在AB上，且AP与PB的比例为2:3，则AP的长度为__ cm。

答案: 6 cm2. 直线段CD的长度为12cm，点P在CD上，且CP与PD的比例为1:4，则PD的长度为__ cm。

答案: 9 cm三、解答题1. 三角形ABC中，线段AB的长度为8cm，线段AC的长度为10cm，求线段BC的长度。

答案: 使用勾股定理计算，BC = √(AB² + AC²) = √(8² + 10²) = √(64 + 100) = √(164) ≈ 12.81cm2. 线段EF的长度为15cm，点P在EF上，且PE与PF的比例为3:4，求PE和PF的长度。

答案: 根据比例关系，PE = (3/7) * EF = (3/7) * 15 = 6.43cm，PF = (4/7) * EF = (4/7) * 15 = 8.57cm以上为新人教版七年级数学上册专题训练中关于线段的计算的题目及答案。

希望能够帮助到你！。