三角函数的应用-方向角问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.5三角函数的应用-方向角问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【解答】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°，∴PT，即河宽米，故选：B．2．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C 在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．【解答】解：如图．根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（海里），∴BC＝30（海里），即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．3．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°，tan53°）A．225m B．275m C．300m D．315m【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．构建方程组求出x，y即可解决问题．【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°，即，在Rt△AEC中，tan37°，即，解得x＝180，y＝135，∴AC300（m），故选：C．4．（2020•岱岳区一模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A．1小时B．小时C．2小时D．小时【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA ＝30°，得AC＝BC．由此可在Rt△CBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA＝30°．∴AC＝BC，∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，∴AC＝BC＝2×40＝80海里，∴CD BC＝40海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．故选：A．5．（2020•开平区一模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°【分析】由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO＝BO，得出∠BAO＝50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向．【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°∴∠BAO＝∠ABO＝50°，∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，故选：C．6．（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC 于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．7．（2019秋•乐亭县期中）如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（）海里．（结果保留整数）（参考数据： 1.41， 1.74， 2.45）A．66.8 B．67 C．115.8 D．116【分析】过B作BD⊥AC于D，求出∠BAC和∠BCA，解直角三角形求出AD、BD、CD，即可求出答案．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，由题意知：∠BAC＝70°﹣25°＝45°，∵AM∥CN，∴∠MAC+∠NCA＝180°，∴∠NCA＝180°﹣70°＝110°，∴∠BCA＝110°﹣50°＝60°，∵AB＝60海里，∠BAD＝45°，∴AD＝AB×cos45°＝30海里，BD＝AD＝30海里，CD10海里，301030×1.41+10×2.45≈67∴AC＝AD+CD＝67海里，故选：B．8．（2019•咸安区一模）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A．海里B．海里C．海里D．海里【分析】作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．【解答】解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，由已知得：∠AOB＝30°，∠ABC＝45°、OB＝20海里，∴BC＝AC，CO＝AC÷tan∠AOB＝AC÷tan30°，∵CO﹣CB AC＝20，解得：AC海里，∴BC＝AC＝10（1）海里，故选：A．9．（2019•张家口二模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，AC＝15m，那么河AB宽为（）A．15m B．m C．m D．m【分析】先过C作CE⊥AB，在Rt△ACE中，根据∠CAD＝60°，AC＝15m可得出∠ACE的度数及AE、CE的长，再根据∠BCA＝30°可求出∠BCE的度数，由锐角三角函数的定义即可得出BE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD＝60°，AC＝15m，∴∠ACE＝30°，AE AC15＝7.5m，CE＝AC•cos30°＝15，∵∠BAC＝30°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan60°22.5m，∴AB＝BE﹣AE＝22.5﹣7.5＝15m．补充方法：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠CAD﹣∠BCA＝30°，∴AB＝AC＝15m．故选：A．10．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2P A，求出P A即可解决问题；【解答】解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，∴PC＝2×2040（海里），故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是18海里（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD中求得AC 的长即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝189（海里），则在Rt△ACD中，AC92＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．12．（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，2.24）【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，于是得到BN ＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB1022海里．故答案为：22．13．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB400566（米）故答案是：566．14．（2019•新宾县四模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（2）km．【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD＝DE，进而得出EC＝BE＝2km，再利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED km，∴CD＝2（km）．故答案为：（2）km．15．（2019秋•德州期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠P AD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠P AB+∠APB，∠P AB＝90﹣75＝15°∴∠P AB＝∠APB∴BP＝AB＝7（海里）故答案是：7．16．（2018•辽阳）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为5海里．（结果保留根号）【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．17．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），所以BQ＝PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ•tan30°PQ（海里），所以PQ﹣90PQ，所以PQ＝45（3）（海里）所以MN＝PQ＝45（3）（海里）在直角△BMN中，∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90（3）（海里）所以（小时）故答案是：．18．（2018秋•顺义区期末）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是25海里．【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA＝90°，再求出∠CBA＝45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°+60°＝90°，∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC＝50×0.5＝25，∴AC＝BC＝25（海里）．故答案为：25．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•湘阴县一模）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．（1）说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间．【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与200千米相比较即可．（2）以B为圆心，以200为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．【解答】（1）如图所示：∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，∴∠BPQ＝30°作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，得BH＝320sin30°＝160＜200，∴本次台风会影响B市．（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2240，∴台风影响的时间t8（小时）．20．（2020•枣阳市校级模拟）已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？．【分析】作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根据AB＝40即可列出方程求得CD的长，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，则AC＝2x，AD x，在直角△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，BC CD x，∵AB＝40，即AD+BD＝40，∴x+x＝40，解得：x＝20（1），∴BC＝20（1）＝2020，AC＝2x＝40（1），则总路程是：202040（1）海里，则时间是：22≈2.45﹣1.41+2×1.73﹣2≈2.5（小时）．∵该船在C岛停留半个小时，∴需要3小时能把这批物资送到A港．21．（2020•铁西区模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？【分析】过P作PB⊥AM于B，则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，求出PC长和16比较即可，第二问设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案．【解答】解：过P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠P AB＝30°，∴PB AP32＝16海里，∵16＜16，故轮船有触礁危险．为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，∵sin∠P AC，∴在Rt△P AD中，∠P AC＝45°，∴∠BAC＝∠P AC﹣∠P AB＝45°﹣30°＝15°．答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．22．（2020•潮南区模拟）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与6海里比较大小即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴∴CD＝4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．23．（2020春•呼兰区期中）如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速前行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．（1）求∠ACB的度数；（2）求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）【分析】（1）利用三角形内角和定理进行计算；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D．在△BDC中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°．则∠ACB＝180°﹣45°﹣105°＝30°，即∠ACB＝30°；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB＝45°，∠DBA＝45°，AB＝60海里．在△BDC中，∠DBC＝45°+15°＝60°，∠BDC＝90°，cos∠DBC cos60°．∴BC＝60（海里）．答：灯塔B到C处的距离是60海里．24．（2020•滨州模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．【分析】（1）先求出∠BAC＝90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；（2）作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可．【解答】解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，∴BC10，∴飞机航行的速度为：1060＝600（km/h）；（2）能；作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC•sin∠CAE，AE＝AC•cos∠CAE．则AF＝2AE＝15（km），∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km，∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．。

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题28.4锐角三角函数的应用—方向角问题 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•苏家屯区一模）如图，A ，B 两景点相距20km ，C 景点位于A 景点北偏东60°方向上，位于B 景点北偏西30°方向上，则A ，C 两景点相距（ ）A ．10kmB ．10√3kmC ．10√2kmD ．203√3km2．（2020•松北区二模）如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP ＝6√3千米，则A ，B 两点的距离为（ ）千米．A ．4B ．4√3C ．2D ．63．（2020•龙湾区二模）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A 处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，则海轮航行的距离AB 的长是（ ）A ．2sin50°海里B ．2cos50°海里C ．2tan40°海里D ．2tan50°海里4．（2020•广西模拟）如图，在A处的正东方向有港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取√2≈1.41，√6≈2.45，结果保留一位小数，则A，B间的距离为（）A．42.3海里B．73.5海里C．115.8海里D．119.9海里5．（2020•江干区模拟）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．B地在C地的北偏西40°方向上B．A地在B地的南偏西30°方向上C．cos∠BAC=√32D．∠ACB＝50°6．（2020•香坊区二模）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6√3海里C．12√3海里D．24√3海里7．（2020•无棣县二模）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（）A．100海里B．50√2海里C．50海里D．25海里8．（2020•吴江区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，则这时海轮所在的B处距离灯塔P的距离是（）A．80√2sin25°B．40√2sin25°C．80√2cos25°D．40√2cos25°9．（2020•莒县一模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C 地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C 两地的距离为（）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）A．12千米B．（3+4√3）千米C．（3+5√3）千米D．（12﹣4√3）千米10．（2019•河北模拟）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为（）A．5√2海里B．6海里C．10√2海里D．3海里二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•广西一模）如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，则码头A与小岛C的距离为海里（结果保留根号）．12．（2020•葫芦岛一模）如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶海里．13．（2020•宁波模拟）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为海里（精确到1海里，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）．14．（2019秋•泰山区期末）一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向10海里的C处是港口，点A、B、C在一条直线上，则这艘货轮由A 处到B处航行的路程为海里（结果保留根号）．15．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．16．（2019春•雁塔区校级期末）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距海里．17．（2019秋•宝安区期末）如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB＝50米．则BC的长为米．（结果保留根号）18．（2019秋•金凤区校级期末）如图，某海防哨所（O）发现在它的北偏西30°，距离为500m的A处有一艘船，该船向正东方向航行，经过几分钟后到达哨所东北方向的B处，此时该船距哨所的距离（OB）为米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）20．（2020•淮北一模）如图，一艘船由A港沿北偏东70°方向航行以30√2海里/时的速度航行2小时达到小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A，C两港之间的距离．（精确到1海里）（参考数据：√2～1.41，√3=1.73）21．（2020•河南模拟）如图，从A城市到B城市要翻过一座大山，现需要打通隧道，修建高铁方便两地出行，已知在A城市的北偏东30°方向和B城市的北偏西67°方向有一C地，A，C相距230km，求A，B两个城市之间的距离．（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√3≈1.7，结果精确到1km）22．（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C 参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30√3）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．23．（2019秋•大东区期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．24．（2020•锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C 码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）。

三角函数的应用（视角、方位角）◆随堂检测1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A点在B点的________．2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．(图1) (图2) (图3)3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，•已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（）．A．200m B．1003m C．1003m D．100（3+1）m4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD•为100m，•塔高CD为10031503m，则下面结论中正确的是（）．A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B•处观测到轮船的方向是（）．A．南偏西65° B．东偏西65° C．南偏东65° D．西偏东65°◆课下作业●拓展提高1、一船上午8点位于灯塔A的北偏东60°方向，在与灯塔A相距64海里的B•港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的C处，则此船的速度为______．2、如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，•此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（）．A．1200m B．2400m C．4003m D．12003m(第2题) (第3题)3、如图，飞机A在目标B的正上方，在地面C处测得飞机的仰角为α，在飞机上测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组，共有6组，那么可以求出BC间距离的有（）．A．3组 B．4组 C．5组 D．6组4、倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，•如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．5、海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？6、两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D•点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．7、某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？1、（益阳市）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 52、（广东省）如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈）A B F EP 45° 30°α5米AB随堂检测：1、南偏西35°（或西偏南55°）2、280396+m3、D 点拨：设树高AB=x ，则CB=x ，BD=200+x ， 在Rt △ADB 中，tan ∠ADB=ADB=200x x +=33， ∴x=100（3+1）m ．4、C5、C 点拨：从哪个点观察在哪个点建立方向坐标．拓展提高：1、6433海里/时 2、B 点拨：在直角三角形中找出一直角边和一角，其他均可解．3、C 点拨：掌握直角三角形需要的条件．4、在Rt △ABC 中，AC=2m ，∠ABC=30°，∴tan ∠ABC=32,3AC BC BC=，BC=23m ． 5、如图．过M 作MN ⊥BC 于N ，设MN=x ，则CN=x ，在Rt △BMN 中，tan30°=3,310MN x BC CN x =++，x=5（3+1）． ∵5（3+1）>8，∴船继续向东航行无触礁危险．6、过C 作CE ⊥AB 于E ．在Rt △ADB 中，BD=45m ，∠ADB=60°，∴AB=453（m ）．在Rt △ACE 中，CE=45m ，∠ACE=30°，∴tan ∠ACE=AE CE，∴AE=153（m ）． ∴CD=AB-AE=453-153=303（m ）． 7、如图．由∠ADB=30°，AB=18m ，∴3m ，∴3（m ）．又∵△CDE ∽△BDA ，∴18324,18183CD CE CE BC AB -==，∴CE=18-83（m ）． 故此楼落在后楼的影子高为（18-83）m ．（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x ．则18x =3，x=183（m ）． 故两楼之间的距离应当为183m ．体验中考：1、B2、解：过点P 作PC AB C ⊥，是垂足，则3045APC BPC ∠=∠=°，°，AC PC =·tan 30BC PE =°，·tan 45°,AC BC AB +=Q ，PC ∴·tan 30PC +°·tan 45°=100， 31100PC ⎫∴=⎪⎪⎝⎭，(()5033503 1.73263.450PC ∴=⨯->≈≈答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．。

北师大版数学九年级下册三角函数的应用课时练习一、单选题（共15题）1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．(11-米 B． C．(11- D．4)米答案：D解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米， ∴在直角△CPD 中，DP=DC •cot30°m ，PC=CD ÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P ，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC ∽△PBO ，∴PD CDPB OB=，∴PB=112PD OB CD ⋅==米，∴BC=PB-PC=4)米．故选：D ．分析: 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB 、PC ，再相减即可求得BC 长2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D 、B 、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是（ ）解析：解答: 假设AC=x，∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得：x=2∵∠D=30°，∴2AC=AD，∴故选C．分析:根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。

3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A ．6sin 50oB ．6tan 50oC ．6cos50°D ．6cos50o答案：D解析：解答:∵BC=6米，∠ACB=50°，∴cos50°=BCAC，∴AC=6cos50cos50BC o o（米）； 故选D ．分析:此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决4.如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）A．100米 B．米 C．3米 D．50米答案:C解析：解答:过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=12BC=50米，∴米，故选：B．分析:过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM 的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（答案:A解析：解答: 设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，x，∵，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，=8米，∴BC=8-3=5米．故选A．分析:设CD=x ，则AD=2x ，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长6.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A ．5mB ．103m C ．．答案:D解析：解答:∵AB=10米，tanA=12BC AC∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得∴故选D．分析:可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（）A ．5cmB ．．10m D m答案:C解析：解答：如图所示：过点C 作CE ⊥AB 延长线于点E ，∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=30°，∵从点B 到点C 上升的高度为5m ， ∴电梯BC 的长是10m ． 故选：C ．分析:根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可8. 一斜坡为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3B ．1：13C ．1．1：10答案:A解析：解答:∵一斜坡为1米，∴坡的水平宽度为：3m ，∴坡比为：13故选：A．分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A．56米 B．66米 C．（）米 D．（）米答案:C解析：解答:作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE 是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB 的坡度i 为1：2.5，在Rt △ABE 中，∵12.5BE AE ∴AE=50米， 在Rt △CFD 中， ∵∠D=30°， ∴DF=CFcot ∠米，∴（）米．故选C ．分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75答案:D解析：解答: 如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF）=12×（2.1-1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6， ∴EM=0.75， 故选：D ．分析:先过点E 作EM ⊥GH 于点M ，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM ，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM ：GM=1：0.6，最后代入计算即可11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为6m ，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）A ．12mB ．．．答案:C解析：解答:如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m ，∴AB=cos30AC ==om ）．故选C ．分析:AB 是Rt △ABC 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为（ ）m ．A ．10B ．8C ．6D ．答案:A解析：解答: ∵天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，∴sinC=35AB AC =， 则635AC = 解得：AC=10，则坡面AC 的长度为10m ． 故选：A ．分析:此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键m，∴AC=BC÷∴．故选：D．分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米 B．28米 C．30米 D．46米答案: D解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．分析:根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高答案:D解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．乙放的高度为：250×sin45°≈176.75米．丙放的高度为：200×sin60°所以乙的最高．故选D．分析:利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可二、填空题（共5题）16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．答案: 1000解析：解答:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×12=1000．故答案为：1000分析: 过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）答案:解析：解答:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，AC=6，∴BC=AC•tanA=6×13 =2．根据勾股定理，得：=邻两树间的坡面距离是米．分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______答案: 12米解析：解答:∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∴BC：AC=1∴（米），==∴12故答案为12米．分析:在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC 的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）答案：6m解析：解答：作CF ⊥AB 的延长线于F ，∵∠ABC=135°，∴∠CBF=180°-135°=45°，∴CF=BC •sin45°×2=6．故答案为6．分析:作CF ⊥AB 的延长线于F ，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF 的长即可．三、解答题（共5题）21.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）答案：3.6米．解析：解答: 由题意得cos24°36′ =0.909，解得：水平距离≈3.6米．故答案为：3.6．分析:倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα∵AB的坡度i=1：3，∴tanα=12 AC BC设AC=x，BC=3x，根据勾股定理可得：则sin α=AC AC AB ==故答案为分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义 23.如图，如果某个斜坡AB 的长度为10米，且该斜坡最高点A 到地面BC 的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比答案：6米解析：解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．。

第一章 1.6 利用三角函数测高1．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为米.2. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．3.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为 m(结果精确到0.1m，3≈1.73)4．如图，已知楼AB高30米，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60°，又从离地面5米的一窗口E处测旗杆顶C的仰角为45°，则旗杆CD的高是米．5．如图，在坡角α为30°的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部B 的仰角为45°，斜坡AC的长为400 m，则电视塔BC的高为m.6. 如图，用高为1.5 m的测倾器CD测量一棵大树AB的高，测得B的仰角为α；量出测点C到物体底部A的水平距离为b；则大树的高度为m.7. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m(结果保留根号)．8．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．9. 为了测得河北岸上电线杆MN的高度，在河的这一面电线杆的正南方向A点测量得电线杆顶点M的仰角为α，再在A点的正西方向距A点a m的B处测得A与N之间的水平角为β，则电线杆的高MN为 m.10. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2) mD ．(26－2) m11．如图，某飞行员于空中A 处探测到地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α＝30°，飞机到目标B 的距离AB ＝2400米，则飞机的高度AC 为( )A ．2400米B ．1200米C ．8003米D ．12003米12．如图，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高为( )A ．a 米B ．a tan α米 C.a tan β米 D ．a(tan β－tan α)米 13．如图所示，高远同学在观景塔AD 的顶端A 点处看到地面上有一条河．于是高远在这条河的两岸各选择一点B 、C ，使得点B 、C 、D 在一条直线上，并用测倾器测得B 、C 两点的俯角分别为30°和60°，已知观景塔AD 的高度是24 m ，则河宽BC 为( )A ．8 3 mB ．16 mC ．16 3 mD ．24 m14. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB ′的位置，测得∠PB ′C ＝α(B ′C 为水平线)，测角仪B ′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A.11－sin α B ．11＋sin α C.11－cos α D ．11＋cos α15. 如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )A．20(3＋1)m/s B．20(3－1)m/s C．200m/s D．300m/s16. 如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢线ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)17. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．(参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)18. 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)19. 阳光小学升国旗时，王刚同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得其仰角为30°，若他的双眼离地面1m，则旗杆有多高？20. 某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°.初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(如图2)．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A、B、C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(如图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，3≈1.73)答案：1. 30tan α2. 7tan α3. 5.14. 253－1525. 200(3－1)6. (1.5＋btan α)7. (33＋9)8. tan α·tan β·s tan β－tan α9. a ·tan α·tan β10. B11. B12. D13. C14. A15. A16. 解：设BD ＝x 米，则BC ＝x 米，BE ＝(x ＋2)米，在Rt △BDE 中，tan ∠EDB ＝BE DB ＝x ＋2x ，即x ＋2x ≈1.33，解得x ≈6.06，∵sin ∠EDB ＝BE ED， 即0.8＝8.06ED，解得ED ≈10，即钢线ED 的长度约为10米．17. 解：如图作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ，则四边形ABCE 是矩形，∴AE ＝BC ＝78，AB ＝CE ，在Rt △ACE 中，EC ＝AE ·tan58°≈125(m)，在Rt △AED 中，DE ＝AE ·tan48°，∴CD ＝EC －DE ＝AE ·tan58°－AE ·tan48°＝78×1.6－78×1.11≈38(m)， 答：甲、乙建筑物的高度AB 为125 m ，DC 为38 m.18. 解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H.在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米， ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．故楼房AB 的高为(35＋103)米．19. 解: 如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则EC ＝AB ＝1m ，AE ＝BC ＝24m.在Rt △AED 中，DE ＝AE ·tan30°＝24×33＝83(m)， ∴DC ＝DE ＋EC ＝(83＋1)m.所以，旗杆高度为(83＋1)m.20. 解：(1)过点C 作CG ⊥AM 于点G ，如图①，∵AB ⊥AM ，DE ⊥AM ，∴AB ∥CG ∥DE ，∴∠DCG ＝180°－∠CDE ＝110°，∴∠BCG ＝∠BCD －∠GCD ＝30°，∴∠ABC ＝180°－∠BCG ＝150°；(2)当DE 与地面垂直，过点C 作CP ⊥DE 于点P ，过点B 作BQ ⊥DE 于点Q ，交CG 于点N ，如图②，在Rt △CPD 中，DP ＝CD ×cos70°≈0.51(米)，在Rt △BCN 中，CN ＝BC ×cos30°≈1.04(米)，所以，DE ＝DP ＋PQ ＋QE ＝DP ＋CN ＋AB ＝2.35(米)；当D到最高点，如图③，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt △CKD中，DK＝CD·sin50°≈1.16(米)，所以，DH＝DK＋KH＝3.16(米)，所以，DH －DE＝0.8(米)，所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米.。

解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。

那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。

现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。

由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。

上北下南左西又东。

2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。

以B是坐标原点。

在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。

B是坐标原点。

正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。

我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。

我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。

师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。

平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。

如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。

2 能准确地确定问题中提出的各个方位。

刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。

出示课题。

刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步练习题一、选择题1．2sin45°的值等于( ) A ．1B. 2C. 3D ．22．已知α是锐角，sin α＝cos60°，则α等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定 3．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tanA ＝1，cosB ＝22，你认为△ABC 最确切的判断是( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形二、填空题4．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，cosA ＝32，则tan B2的值为_____． 5．计算：tan 260°＋2cos45°2sin 260°－cos60°＝_____．6．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，∠ACD ＝45°，∠DCB ＝60°，CD ＝40，则AB ＝_____．7．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD ＝_____．8．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，夹边BC 的长为6.则△ABC 的面积为_____．9．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ，给出以下四个结论：①sin(－30°)＝－12；②cos2x ＝cos 2x －sin 2x ；③cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ；④cos15°＝6－24.其中正确的结论是_____．10．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，则广告牌EC的高度约为_____.(结果精确到0.01)11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE＝5 cm，OD＝8 cm，点D，E可在槽中滑动．(1)∠BDE＝_____°；(结果精确到1°)(2)点D到OA的距离为_____cm.(结果精确到0.1)12．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2 m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，则CB＝_____m.三、解答题13．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．14．阅读理解题：下面是利用45°角的正切值，求tan22.5°的值的方法：解：构造Rt△ABC，其中∠C＝90°，∠B＝45°，如图．延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，则∠D＝12∠ABC＝22.5°.设AC＝a，则BC＝a，AB＝BD＝2a. ∴CD＝BD＋CB＝(1＋2)a.∴tan22.5°＝tanD＝ACCD＝a（1＋2）a＝2－1.请你仿照此法求tan15°的值．15．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A，H，F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．(HE平行于地面，FE 垂直于地面)(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝_____．(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1米)参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章 1.230°，45°，60°角的三角函数值 同步练习题一、选择题1．2sin45°的值等于(B) A ．1B. 2C. 3D ．22．已知α是锐角，sin α＝cos60°，则α等于(A)A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定 3．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tanA ＝1，cosB ＝22，你认为△ABC 最确切的判断是(B)A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形二、填空题4．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，cosA ＝32，则tan B 2的值为35．计算：tan 260°＋2cos45°2sin 260°－cos60°＝6．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，∠ACD ＝45°，∠DCB ＝60°，CD ＝40，则AB ＝407．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD 38．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，夹边BC 的长为6.则△ABC 的面积为9．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny，给出以下四个结论：①sin(－30°)＝－12；②cos2x ＝cos2x－sin2x；③cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny；④cos15°＝6－24.其中正确的结论是①②③．10．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，则广告牌EC的高度约为4.46m.(结果精确到0.01)11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE＝5 cm，OD＝8 cm，点D，E可在槽中滑动．(1)∠BDE＝111°；(结果精确到1°)(2)点D到OA的距离为4.8cm.(结果精确到0.1)12．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2 m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，则CB三、解答题13．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．解：∵α为锐角，∴由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°.∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3.14．阅读理解题：下面是利用45°角的正切值，求tan22.5°的值的方法：解：构造Rt△ABC，其中∠C＝90°，∠B＝45°，如图．延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，则∠D＝12∠ABC＝22.5°.设AC＝a，则BC＝a，AB＝BD＝2a. ∴CD＝BD＋CB＝(1＋2)a.∴tan22.5°＝tanD＝ACCD＝a（1＋2）a＝2－1.请你仿照此法求tan15°的值．解：构造Rt△ABC，其中∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，则∠D＝12∠ABC＝15°，设AC＝a，则AB＝2a，BC＝3a，BD＝2a. ∴CD＝2a＋3a＝(2＋3)a.∴tan15°＝tanD＝ACCD＝a（2＋3）a＝2－ 3.15．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A，H，F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．(HE平行于地面，FE 垂直于地面)(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°；(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1米)解：延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM于点G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝AB BC ，∴AB＝BC·tan75°＝0.60×tan75°≈2.239. ∴GM＝AB≈2.239.在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝FG AF ，∴FG＝AF·sin60°＝2.5×32≈2.165.∴FM＝FG＋GM≈4.4.答：篮板顶端F到地面的距离约为4.4米．。