4.2必修2 4.2直线、圆的位置关系

题型二：与弦长有关的问题
例2 过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋ y2＋4y－21=0所截得的弦长为 ，求直 线l的方程.
y A
k 1 或k 2 2
C M
o
x
B
2x y 3 0或x 2 y 9 0
题型三：圆的切线问题 例3 求过点P（2，1），圆心在直线2x＋ y=0上，且与直线x-y-1＝0相切的圆方程.
风的影响？
港口
台风
轮船
第四章 圆与方程 高一数学 必修2
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学习目标：
1.掌握直线与圆的位置关系及其判定方法； 2.能灵活地选择恰当的方法来判定直线与圆的 位置关系.
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定
思考1:在平面几何中，直线与圆的 位置关系有几种？
M M
思考2:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2 上一点，如何求过点M的圆的切线方 程？
y
M
o
x x0x+y0y=r2
思考3:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2 外一点，如何求过点M的圆的切线方 程？
y
M
o
x
理论迁移
题型一：位置关系的判定
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C 的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位 置关系；如果相交，求两个交点的距离．
几何法： 1.把直线方程化为一般式，并求出 圆心坐标和半径r；
2.利用点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离d；
3.比较d与r的大小关系：
若d＞r，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交．
知识探究（二）：圆的切线方程

解
, 或k=2.
所以，所求直线I有两条，它们的方程分别为
或 y+3=2(x+3).
,
即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
2.已知直线4x+பைடு நூலகம்y-35=0 与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
解：由题意可知圆C的圆心为(0,0), 已知直线4x+3y-35=0与圆C相切
∴圆C的方程为 x²+y²=72
2.直线和圆有两个公共点，叫做 直线和圆相交.
3.直线和圆没有公共点时，叫做 直线和圆相离.
77
圆心0到直线的距离d 半径r
0
1.直线l和◎0相离，此时d与r大小关系为 d>r
●十
杠
O
2. 直线l和⊙0相切，此时d与r 大小关系为 d=r
l
3. 直线l和⊙0相交，此时d与r大小关系为_d<r
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
:2024/12/23 :
课堂小结
直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)和圆(x-a)²+(y-b)²=r², 则圆心(a,b)到此直线的距离为
位置 d与r
相离 d>r
则有以下关系：
相切 d=r
相交 d<r
图形
交点个数
0个
1个
2个
判断直线和圆的位置关系
几何方法 求圆心坐标及半径r
(配方法)
n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆 x²+y²-2y-4=0, 判断直线l与圆的位置关系；如果 相交，求它们交点的坐标.

(2)已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的 情况．
求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P( 3，1)；(2)斜率为－1， (3)过点Q(3,0)
[解析] (1)∵点P( 3，1)在圆上． ∴所求切线方程为 3x＋y－4＝0. (2)设圆的切线方程为y＝－x＋b， 代入圆的方程，整理得 2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切， ∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0. 解得b＝±2 2. ∴所求切线方程为x＋y±2 2＝0. 也可用几何法d＝r求解．
③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|.
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，所以－50<a<50；
②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，所以a＝50或a＝
规律总结：本题求弦长问题时，利用了代数法和几何
法，其中解法一(几何法)较直观，求解过程要构造直角三角
形，利用勾股定理得到(半径)2＝(
弦长 2
)2＋(弦心距)2这一关系
是求出弦长的关键．
直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦 长为4 5，求l的方程．
[解析] 根据题意知直线l的斜率存在，
思路方法技巧
直线与圆的位置关系
学法指导 判断直线和圆的位置关系的方法 “用方程组解的个数”和“用圆心到直线的距离”，一 般情况下后一种方法相对简单，但如是要判断两圆相交并求 交点坐标时，必须求方程组的解，这样用第一种方法可起到 一举两得的作用．
[例1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2 －4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线

直线 l是⊙A的
割线
r
r
d
d
C
C
l
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
例１：k为何值时直线2x+y=k①与圆x2+y2=4② 相交；相切；相离。 解：利用直线与圆的位置关系判定d与r大小
思考:能否①代入②求解方程组，判定Δ，从而确 定直线与圆的位置关系？
5、已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于4的点的个数为 .
变1：已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于h的点的个数只有3个，则h的值＝——.
解：设P(x, y), O(0,0) y y 0 表示直线OP的斜率。 x x0 又由题义可知 P在圆(x 2)2 y2 1上。 问题转化为：在圆上作 一点P，使直线 OP的斜率 最大，求此斜率的最大 值。
课堂小结：
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察
思考：