温州大学2007年数学分析

∫
1
0
dy ∫ (e − x + e y sin x)dx.
2
1
（10 分） （10 分）
y
1 3、应用 Taylor 公式计算 lim x − x 2 ln(1 + ) . x →∞ x
4、证明：若 f 在 [a, b] 上连续增，
x 1 f ( t ) dt , F ( x ) = x − a ∫a f (a),
( p > 0) ，
试讨论函数在 (0,0) 处的连续性.
(14 分)
8、设 y = arcsin x ，验证它满足以下方程:
(1 − x 2 ) y ( n + 2) − (2n + 1) xy ( n +1) − n 2 y ( n ) = 0 (n ≥ 0). (14 分)
9、设周期为 2π 的可积函数 ϕ (x ) 与 φ ( x ) 满足关系式：ϕ (− x ) = −φ ( x ) ，给出 ϕ (x ) 的 Fourier 系数 a n , bn 与 φ ( x ) 的 Fourier 系数 α n , β n 之间的关系. (14 分) 10、 计算曲线积分
x ∈ ( a, b ] x=a
，
则 F ( x ) 为 [a, b] 上的单调增函数.
（ b] (0 < a < b) 上连续, 在 (a, b) 内可微. 求证存在 c ∈ (a, b) 使得 b 1 b − a f (b) a = f (c) − cf ′(c). f (a ) （11 分）
n →∞
（3）若条件改为 0 ≤ f ( x ) < x ， x ∈ (0,+∞ ) ，则 t = 0 . （14 分）

吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的；2、若无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，则无穷积分()0f x dx ∞⎰也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数；67、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数，则(),f x y 在()0,0连续；8、1sin x在()0,1内有无穷多个极大极小值点； 9、若()00f x '=，则()f x 在点0x 必取极大值或极小值；10、向量场()222222,,y z z x x y ---是无源场。

二、（共20分）填空题1、设()222arctan u x y z =++，则grad ()u =；2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++，则div ()F →=；3、设()222,,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=； 4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()()3s x y z ds ++=⎰⎰；5、数列()11n n n +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的上、下极限的和为()；三、（共20分）计算下列极限1、222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L ；六、（10分）计算第二型曲面积分222222222222x y z dydz dzdx dxdy x y z x y z x y z ∑++++++++⎰ 其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。

u u cosn, x u sinn, x
n x
y
是 u(x, y) ， v(x, y) 沿曲线 L 的外法线 n 的方向导数．
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浙江理工大学
二 OO 九年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目：数学分析
代码： 360
注 1：请考生在答题纸上答题（写明题号，不必抄题，在此试题纸上答题无效）； 注 2：本试卷共 5 页，3 小时完成，满分 150 分．
）．
（A） lim f (x) 不存在 （B）存在极限但不连续 （C）可导 （D）连续但不可导 x0 第1页共5页
7．设 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim f (x) 2 ，则（ ）． x0 1 cos x
（A） f '(0) 不存在
（B） f '(0) 存在但非零
（C） f (0) 为极小值
（B）对任给的 0 ，存在唯一自然数 N ，使当 m, n N 时都有 am an
（C）存在 0 及自然数 N ，使当 m, n N 时都有 am an
（D）对任给自然数 N ，存在 0 ，使得对所有自然数 p 都有 aN p aN
4．设
f
(x)
x2
sin1/
x
，则 lim
x 0, x 0,
若 lim f (x) 存在，则必有（ ）． x0
（A） a b 0 （C） a 为任意常数， b 1
（B） a 1 ， b 0 （D） a 2 ， b 1
5．设当
x
时，
x
与 sin 3
1 x2
是等价无穷小量，则
为（
）．
（A） 6
（B） 3

x
y
其中 p(t ) ， p(t )dt 确定的函数，
(u ) 连续且 (u) 1 ，求 p( y )
z z p( y ) . x y
11 、 设 函 数 f (t ) 满 足 f (t ) 1

D
f(
1 2 x y 2 )dxdy ， 其 中 由 D 为 圆 环 2
z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 必连续.
二、计算题（每小题 7 分，共 56 分） 5、若 1 3x 3 1 2 x ~ ax （ x 0 ） ，求 a 和 n .
n
6、求函数 f ( x) 7、求积分
( x x 6)e 的所有渐近线. ( x 2 4) arctan x
a
y
1 b (b x) n1 f ( x)dx . a n 1
17、 （12 分）设 u ( x, y) ， v( x, y) 是 D 上的连续可微函数， D 是由分段光滑闭曲线围成的平 面区域， D 表示其正向边界.证明

18、 （12 分）证明积分
D
u
v dxdy x

D
得 f ( ) cos f ( )sin 0 .
15、 （12 分）证明级数
(1)
n 1

n 1
1 e (1 ) n 条件收敛. n
16、 （12 分）设 f (t ) 为连续函数，证明

b
a
dy ( y x)n f ( x)dx
3、函数 f 2 ( x) 在 a, b 上 Riemann 可积当且仅当 f ( x) 在 a, b 上 Riemann 可积. 4、若二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的两个偏导数 f x( x0 , y0 ) ， f y( x0 , y0 ) 都存在，则