温州大学数学分析(A)2007真题

2007数学分析试题：（请将答案做再答题纸上，再试题上做题无效）（本试卷共六道大题，满分150分）一、（本题满分20分）设()f x 在∞（0，）内可导，并且存在p ＞0使得()lim p x f x x →+∞=1. (1) 对任何1＞|δ|＞0，求极限lim x →+∞[(1)]()p f x f x p x δδ+-； (2) 求二次极限0l i m δ→l i m x →+∞[(1)]()p f x f x p xδδ+-； (3) 若'()f x 单增，证明对任何h ＞0，x ∈(0,)+∞，只要x -h ∈(0,)+∞，就有()f x -()f x h -≤'()hf x ≤()f x h +-()f x ；(4) 证明：lim x →+∞'1()p f x px -=1.二、（本题满份25分）设直线y =ax (0＜a ＜1)与抛物线y =2x 在第一象限所围成的平面图形的面积为1s ，y =ax ，y =2x 与直线x =1所围成的平面图形的面积为2s .(1) 试确定a 的值使得1s +2s 达到最小,并求出最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积；(3) 用定积分表示该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积(不必求出它的值).（1） 设p ∈(0,1)，将()f x =cos px 在[,]ππ-展开为以2π为周期的傅立叶级数；（2）利用11x+的麦克老林展开式，证明：p ∈(0,1)时， 1101p x dx x -+⎰=0(1)nn p n ∞=-+∑； （3）证明：p ∈(0,1)时，1101p px x dx x --++⎰= sin p π．四、（本题满分20分）证明边长分别为,,,a b c d 的凸边形中，当,a b 边的夹角α满足cos α=22222()a b c d ab cd +--+， 并且,c d 的夹角γ满足α+γ=π时，该四边形的面积最大，并且最大面积为 S =1()sin 2ab cd a +．五、（本题满分20分）设 [,]a b ⨯[,)c +∞={(,)x y |,a x b c y ≤≤≤<+∞}，(,)f x y 定义在[,]a b ⨯[,)c +∞上．(1) 叙述含参变量x 的无穷限广义积分()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的柯西原理；(2) 叙述函数级数1()n n x μ+∞=∑在[,]a b 上一致收敛的柯西原理； (3) 证明：()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的充要条件是对任何发散+∞的数列1{}n n A +∞=，(,1,2,...)n A c n >=，函数项级数11(,)n n A A n f x y dy -+∞=∑⎰在在[,]a b 上一致收敛，其中0A =c ．设V 是空间二维单连通的有界区域，其边界∑是简单光滑曲面，点00,0,0()P x y z ∈V .u =(,,)u x y z 在_V =V ⋃∑上具有连续偏导数,在V 内具有二阶连续偏导数,且满足22u x ∂∂+22u y ∂∂+22uz ∂∂=0.(1) 证明:0lim t +→214t πtudS ∑⎰⎰=00,0,0()u x y z ,其中t ∑是含在V 内的球面222000()()()x x y y z z -+-+-=2t ()0t >; (2) 设_n =(,,)n x y z 为t ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量,0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,证明:1tu dS r n∂∂∑⎰⎰ ;(3) 设_n =(,,)n x y z 为 ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量, 0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,计算积分21c o s (,)1[]4r n u u dSr r n π∂+∂∑⎰⎰ .。

2007年研究生入学考试试题考试科目：量子力学(A) 报考学科、专业：凝聚态物理、理论物第 1 页，共 2 页第 2 页，共 2 页2008年硕士研究生招生入学考试试题A科目代码及名称: 618，量子力学适用专业：凝聚态物理，理论物第1 页，共2 页第 2 页，共 2 页2009年硕士研究生入学考试试题A科目代码及名称：619量子力学适用专业：凝聚态物理，理论物第 1 页，共 2 页2009年硕士研究生入学考试试题A科目代码及名称：619 量子力学适用专业：凝聚态物理，理论2010年硕士研究生招生入学考试试题科目代码及名称: 619量子力学A 适用专业：理论物理凝聚态物第 2 页，共 2 页2011年硕士研究生入学考试试题科目代码及名称：619 量子力学A 适用专业：理论物理凝聚态第 1 页，共 3 页第 2 页，共 3 页第 3 页，共 3 页2012年硕士研究生招生入学考试试题（A）科目代码及名称: 620量子力学适用专业：理论物理、凝聚态物第 1 页，共 2 页第 2 页，共 2 页2013年硕士研究生招生入学考试试题科目代码及名称: 623 量子力学适用专业：理论物理凝聚态第 1 页，共 3 页第 2 页，共 3 页第 3 页，共 3 页2014年硕士研究生招生入学考试试题A科目代码及名称: 623 量子力学适用专业：理论物理、凝聚态物第1页，共2页第2页，共2页2015年硕士研究生招生入学考试试题A科目代码及名称: 623 量子力学适用专业：理论物理、凝聚态物理第19 页，共27 页第20 页，共27 页2016年硕士研究生招生考试试题 A科目代码及名称：623 量子力学适用专业：理论物理凝聚态第 1 页，共 2页第 2 页，共 2页2017年硕士研究生招生考试试题A 科目代码及名称: 623 量子力学适用专业：070201理论物理070205凝聚态物理页页。

温州大学期末考试试卷2006—2007学年第二学期一、选择题（每小题只有一个正确答案，多答、不答、答错均不给分，每小题3分，共30分）1、若级数∑∞=1n n u 收敛，那么下列级数收敛的是 C 。

A 、1(10)n n u ∞=+∑ B 、1(10)n n u ∞=-∑ C 、110n n u ∞=∑ D 、110n nu ∞=∑ 2、极限2200lim2x y xyx y →→=+ C 。

A 、0B 、1C 、不存在D 、不能判断3、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则(,)f x y x∂=∂ A 。

A 、-1 B 、x C 、-x D 、2x + y 4、已知三阶行列式3A =-，则3A -= C 。

A 、9B 、-9C 、81D 、-81 5、矩阵A 、B 可以相加，那么 B 。

A 、A 、B 必能相乘 B 、A 、B T 必能相乘C 、2A 、3B 不能相减D 、A + B 不能为方阵6、已知1112131131123213212223212223313233313233a a a a aa aa a A a a a a aa a a a aaa ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A = B 。

学院-------------------------------------- 班级---------------------------------- 姓名------------------------------------- 学号-------------------------------------A 、100010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭B 、101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C 、101010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭D 、100010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭7、设A 为n 阶可逆矩阵，下列等式正确的是 A 。

A 、(2A )T = 2 A TB 、(2 A )-1= 2 A -1C 、0A =D 、22A A = 8、向量组n ααα ,,21线性无关，则必有 B 。

2007年考研数学一真题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→(B)A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C)A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2007浙江省第六届数学分析竞赛试题一．计算题 1. 求951x dx x +⎰.解：原式()55215x d x =+⎰()232211553t dt t t C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰. 2. 求()()1120112limsin xxx x x x→+-+.解：令()()11xf x x =+，则原式()()002lim limsin x x f x f x xx x→→-=()()()0lim 22x f x f x →''=-()()()()()()00002lim lim 2lim 2lim 2x x x x f x f x f x f x f x f x →→→→''=-()()()()002lim 2lim 2x x f x f x e e f x f x →→''=-()()limx f x e f x →'=-()()2001ln 11lim lim 1x x x x x e x x →→-++=-+()0ln 1lim22x x ee x →-+=-=.3. 求p 的值，使()()220070bx p ax p edx ++=⎰.解：情形一，当a b =时，p 的值可以任意取；情形二，当a b ≠时，做变换t x p =+，则 原式左边22007b pt a pt e dt ++=⎰，因为被积函数是奇函数，故当()a p b p +=-+时，即2a b p +=-时，有()()220070b x p a x p e dx ++=⎰. 4. 设(),x ∀∈-∞+∞，()0f x ''≥，且()201x f x e-≤≤-，求()f x 的表达式.解：（1）由()2011x f x e-≤≤-<，知()f x 有界；（2）下证()0f x '=，(),x ∀∈-∞+∞.假若存在()0,x ∈-∞+∞，使得()00f x '≠，则()()()()()()2000012f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+- ()()()000f x f x x x '≥+-，若()00f x '>，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →+∞，这与()f x 有界矛盾；若()00f x '<，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →-∞，这与()f x 有界矛盾，因此()00f x '=，(),x ∀∈-∞+∞，()f x C =，(),x ∀∈-∞+∞；（3）由()00010f e ≤≤-=，知()00f =，因此()0f x =，(),x ∀∈-∞+∞.5. 计算()2Sxy dS +⎰⎰，其中S 为柱面224x y +=，()01z ≤≤.解：方法一 因圆柱面224xy +=，()01z ≤≤的参数方程为2c o s 2s i nx uy u z v =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故2dSEG F dudv =-，其中2224u u u E x y z =++=，0u v u v u v F x x y y z z =++=，2221v v v G x y z =++=， 于是()()122224cos 2sin Sxy dS dv u u du π+=+⎰⎰⎰⎰()2224cos 2sin u u du π=+⎰20cos21882u du ππ-==⎰.方法二 注意到对称性()22SSx y dS x dS +=⎰⎰⎰⎰()2212Sx y dS =+⎰⎰()1144221822S dS ππ==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰. 二．设1211211212345632313nu n n n=+-++-+++--- ， 111123n v n n n=+++++ ，求（1）1010u v ，（2）lim n n u →∞.解：（1）因为111111232n u n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭，111111232n v n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭， 故n n u v =，因此10101u v =， （2）方法一 2111lim lim lim 1n n n n n n k u v k n n→∞→∞→∞===+∑()22001ln 1ln31dx x x ==+=⎡⎤⎣⎦+⎰.方法二 利用111ln 2n n c nε+++=++ ，其中lim 0n n ε→∞=，()()3lim lim ln3ln n n n n n u n c n c εε→∞→∞⎡⎤=++-++⎣⎦()3lim ln3n n n εε→∞=+- ln3=.三．有一个边长为4π的正方形纸（如图），C 、D 分别为AA '、BB '的中点，E 为DB '的中点.现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B 与B '重合，并将圆柱垂直放在xoy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上.求：（1）通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转面方程； （2）此旋转面、xoy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积. 解：()0,0,0B ，()0,4,4C π，()0,4,0D ，()2,2,0E ，通过()0,4,4Cπ和()2,2,0E 两点的直线l 方程为22224x y z π--==-，即22z x π=-，22zy π=+， （1）通过C ，E 两点的直线l 绕z 轴旋转所得的旋转面方程为22222222z z x y ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222282z x y π+=+； （2）此旋转曲面()222228z x y π=+-，xoy 平面0z=和过A 点垂直于z 轴的平面4z π=所围成的立体体积为22224082z x y V dxdydz dzdxdy ππΩ+≤+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰242082z dz πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰432086z z πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 222321283233πππ=+=.四．求函数()2222,,x yz f x y z x y z+=++，在(){}222,,:14D x y z x y z =≤++≤上的最大值和最小值.解：解法一 令cos x ρϕ=，cos sin y ρθϕ=，sin sin zρθϕ=，则()222221,,1sin 21sin 2x yz f x y z x y z θϕ+⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭， 其中[]0,ϕπ∈，[],θππ∈-，因()311sin 21222g θθ-≤=-≤-，且32-，12-分别是()1sin 212g θθ=-的最小值和最大值， 故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为31122⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，101+=.解法二 由()()22221122y z yz y z -+≤≤+， 得()()22222222213112222x y z x x yz x y z x -+++≤+≤+++， ()222222212x y z x yz x y z -++≤+≤++， ()1,,12f x y z -≤≤， 且等号能达到，(),0,01f x =，()10,,2f y y -=-，故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为12-，1. 五．求11limnk n k n n knC →∞=+-∑. 解：记11n n kk n n kx nC =+-=∑， ()()()22212!3!4!10112n x n n n n n n n n≤=+++++---()212!12n n n n ≤+-+()441n n n=-<， 故11lim0nk n k n n knC →∞=+-=∑. 六．证明：24cos 21x x x ≤-++，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.证明：只要证()224cos 21x x x +≤+，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.该不等式等价于222cos 2cos 21x x x +≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即222cos 2sin 2x x x ≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令2tx =，则只要证 sin cos tt t≤，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 为此，作()sin ,cos t f t t t =-0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则()31cos cos 12t t f t +'=-，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭因此()31cos cos 12t t f t +'=-311cos 110cos cos t tt≥⋅-=-≥，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 于是当02t π≤<时，()()sin 00cos tf t t f t=-≥=.结论得证.。

2006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1. 12. ≤3. 1、04. 05. ''()()x t y t 与不同时为06. ()x e C ϕ+7. 绝对收敛8. 1p >9. 充要条件 10.[,]a b 二：判断（16分）⨯∨⨯∨∨⨯⨯⨯三：计算下列各题（15分）2222212221()(3)21241)241(1) (5)22x x x x x x C ====-+⎰⎰分分分2令6x u =则原式变为523216(1)(3)16(ln |1|)326ln |1| 5u u du u u u u u C C ==-+-+=-+-++=+⎰⎰分（分）2020220020cos 3sin cos 1cos sin sin cos (3)2sin cos 11(sin cos )22sin cos (ln |sin cos |)| (4)44d d d d πππππθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπ++-+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰分分 (5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数0011,12121n n n x n n ∞∞====±++∑∑2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)- （4分）设3521()3521n x x x F x x n +=++++++在收敛区域||1x <内逐项微分之，得'2321()11F x x x x =+++=- （5分） 注意(0)0F =，即得2011()ln (||1)121xdt xF x x t x+==<--⎰于是当||1x <时，有352111ln (||1)352121n x x x x x x n x+++++++=<+- （7分）2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x t x t x dte dt e 022022lim 解：该极限是∞∞型的不定式极限，利用洛必塔法则有 ()22222222222020lim2lim(3)2lim (5)2lim20 (7)x t xx t x xt x x xt x x xxx e dt e dte e dtee dte e xe →∞→∞→∞→∞====⎰⎰⎰⎰分分分112(1)3lim sin sin sin1(1)lim sin (3)n n n i n n n n n i n n ππππππ→∞→∞=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-=⋅∑分其中的和式是()sin f x x =在区间[0,]π上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),i i i x nn ππξ-∆==为小区间1,(1)[][,]i i i i x x n nππ--=的左端点，1,2,,i n =故有12(1)lim sin sin sin1sin (6)n n n n n n xdxπππππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎰分1(cos )|2(7)x πππ=-=分4 解：为方便起见。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则(C U A)∩B＝(A)｛6｝(B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8}(2)已知cos()2πϕ+=，且||2πϕ<，则tanϕ＝(A)－(B) (C)(D)(3)“x＞1”是“x2＞x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0（C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝0(5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3(6)91)x展开式中的常数项是(A)－36 (B)36 (C)－84 (D)84(7)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行(B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直(C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交(D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648（9)若非零向量a、b满足｜a一b｜＝｜b｜，则(A) ｜2b｜＞｜a一2b｜(B) ｜2b｜＜｜a一2b｜(C) ｜2a｜＞｜2a一b｜(D) ｜2a｜＜｜2a一b｜（10）已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜⋅｜P F2｜＝4ab，则双曲线的离心率是(B) (C)2 (D)3二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分．(11)函数22()1xy x Rx=∈+的值域是______________．(12)若sinθ＋cosθ＝15，则sin 2θ的值是________．(13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．(14)2z x y=+中的x、y满足约束条件25030x yxx y-+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则z的最小值是_________．(15)曲线32242y x x x=--+在点(1，一3)处的切线方程是___________ ．(16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．(17)已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是_________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(18)(本题14分)已知△ABC1，且sinA＋sin B(I)求边AB的长；(Ⅱ)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．(19)(本题14分)已知数列{na}中的相邻两项21ka-、2ka是关于x的方程2(32)320k kx k x k-++⋅=的两个根，且21ka-≤2ka(k ＝1，2，3，…)．(I)求1357,,,a a a a及2na(n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{na}的前2n项和S2n．EM ACBD(20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点．(I)求证：CM ⊥EM ：(Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值．(21)(本题15分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．(22)(本题15分)已知22()|1|f x x x kx=-++．(I)若k＝2，求方程()0f x=的解；(II)若关于x的方程()0f x=在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明12114x x+<．2007年浙江文科试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1)B (2)C (3)A (4)D (5)C(6)C (7)B (8)D (9)A (10)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．(11)[0，1) (12)一2425(13)50 (14)一53(15)520x y+-=(16)266 (17)900三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(18)本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．满分14分．解：(I)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC1．BC+AC，两式相减，得AB＝1．(Ⅱ)由△ABC的面积＝12BC·ACsinC＝16sin C，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得2221cos 22AC BC AB C AC BC +-==⋅ 所以C ＝600．(19)本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．(I)解：方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==．当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =； 当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =； 当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =； 当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =；因为n ≥4时，23n n >，所以22 (4)n na n =≥ （Ⅱ）22122(363)(222)n n n S a a a n =+++=+++++++＝2133222n n n +++-．（20）．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力．满分14分．方法一：(I)证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ．又EA ⊥平面ABC ，所以CM ⊥EM ．(Ⅱ)解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 并延长交ED 于点F ，连结MF 、MD ，∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ⊥ED ，又因为CM ⊥平面EDM ，所以CM ⊥ED ，则ED ⊥平面CMF ，因此ED ⊥MF ．设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2 a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM，MD，得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝90°所以MF＝EM MD DE ⋅=．在Rt △CMF 中，tan ∠FCM ＝1，所以∠FCM=45°，故CM 与平面CDE 所成的角是45°．（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ， 由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ① ｜AB12|2x x -== ② 又因为O 到AB的距离21||S d AB === 所以221b k =+ ③③代入②并整理，得424410k k -+= 解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0故直线AB 的方程是2y x =或2y x =或2y x =-或2y x =-．（22）本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：（1）当k ＝2时，22()|1|20f x x x x =-++= ① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得12x -±=，因为1012-<<，舍去，所以x =． ②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x += 解得12x =-，由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以x =或12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2， 因为22 1 ||1() 1 ||1x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩ 所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解，若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由1()0f x =得11k x =-， 所以1k ≤-； 由2()0f x =得2212k x x =-， 所以712k -<<-； 故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解．因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以11k x =-，22221x kx +-＝0 消去k 得 2121220x x x x --= 即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12114x x +<．。

浙江省第六届2007年数学分析竞赛试题及答案2007浙江省第六届数学分析竞赛试题一．计算题1．求?x59dx x?1解原式?25?xd5x?1?525?(t?1)dt?22?13?t?t???C 5?3?2x?1?152?5?x?1?1?C?x?2??????515? 3?(1?x)?(1?2x)sinx11x12x55x?1?C2．求limx?0 解令f(x)?(1?x)x，则原式?limxsinxlimf(x)?f(2x)x?lim?f?(x)?2f?( 2x)?x?0x?0x?0?lim?f?(x)?2f?(2x)??limf(x)lim x?0x?0f?(x)f(x)x?0?2limf(2x)limx?0f?(2x) f(2x)x?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimf?(2x)f(2x)11? xx?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimt?0f?(t)f(t) ??elimf?(x)f(x)x?0??elimbx?0limx?(1 ?x)ln(1?x)x2x?02??elim?ln(1?x)2xx?0?e2 3．求p的值，使?(x?p)2007e(x?p)dx?0a解情形1当a?b时，p的值可以任意取．情形２当a?b时，作变换t?x?p，则原式左边?p??b?a2?bab?pa?pt2007edt，因被积函数是奇函数，故当a?p??b?p时，即2t2时，?(x?p)2007e(x?p)dx?0．?x24．设?x?(??,??),f??(x)?0,且0?f(x)?1?e解0?f(x)?1?e?x2，求f(x)的表达式．?1知，f(x)有界．下证f?(x)?0,?x?(??,??)，假如存在x0?(??,?)使得f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0)?f( x0)?f(x0)(x?x0) 若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界矛盾． 1 若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界也矛盾．因此f?(x)?0,?x?(??,??)，f(x)?C,?x?(??,??) 0?f(0)?1?e0?0知，f(0)?0，因此f(x)?0,?x?(??,??) 5．计算??(x?y)dS,其中S为圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)．S2?x?2cosu?解因圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)的参数方程为?y?2sinu，故?z?v?dS?2222?y?z4?，F?xuxv?yuyv?zuzv?0，EG?Fdudv，其中E?xuuu2G?xv?yv?zv?1，于是122???(xS2?y)dS?2?dv0?(4cos??22u?2sin u)du ???2???(4cosu?2sinu)du?16?co sudu?8? 02二．设un?1? vn?1n?112??23?1n?214?15?26????113n?2 ?13n?1?23n ??3n 求u10v10limun n??解因un?1?12???11????1?????，3n?2n???，?1vn?1?12???11???1????3n? 2n1故un?vn，因此u10v10?1．2limun?limvn?n??n???1 ?x01dx??ln(1?x)?0?ln3 2 三．有一张边长为4?的正方行纸，C、D分别为AA?、BB?的中点，E为DB?的中点。

2020年硕士研究生招生考试试题（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）222sin ()322211122636cos limcosln ,ln (1)2!()(),1,23636lim x x x x n nn L n n d t dtdx xx u duy z xdxn x y x y dx x y dy L a a -→-∞=→∞=+-⋅-+++==⎰⎰∑⎰1 计算题（每小题分，共分）（1）求微分（2）求极限（3）设求全微分（4）求定积分（5）求级数和（6）求是椭圆逆时针方向。

2 （每小题分，共分）（1） 假设，求证12221++211++lim .1lim 2.32()()[1,)()()[1,)lim (),lim '()lim '()0.[1,)nn x x x x a a a a nx x x f x f x f x dx dx x f x f x xf x xf x εδ→∞→∞∞→+∞→+∞→+∞=--=--++∞+∞=+∞⎰⎰（2） 用极限的定义证明（3） 设 在上连续， 收敛。

求证 绝对收敛.（4） 若 在上可微，且都存在、有限，求证（5） 构造一个在上可微()lim ()lim '().()()(0,)lim 0,().x x x g x g x g x h x h x xh x →+∞→+∞→+∞+∞=的函数，使得存在、有限，但不存在（6） 设是上的凸、增函数，二阶可导，且求证是常值函数⎰⎰⎰所围成的空间闭区域。

求分）设曲面S由方程=0给出。

求证F{2,分）求平面点集D x y x=<<为曲面5z=-温州大学2004年数学分析1、（12分）设0lim ()x x f x A →= ，0lim ()x x g x B →=，并且A B <.求证：存在0δ>，使当00x x δ<-< 时 成立 ()()f x g x < . 2、（16分）设数列{}n a 满足条件：对任何正整数n 成立 112n n n a a +-≤ . （1）求证：当n >m 时12111222n m n n ma a ---≤+++； （2）应用柯西收敛准则证明{}n a 收敛. 3、（16分）计算下列极限：（1） 2220lim ln(1)x x x a b x →-+ (0)a b >>，（2）112310lim 10nnnnn →+∞⎛⎫++++⎪⎝⎭. 4、（12分）（1）求证：2200sin cos sin cos sin cos x xdx dx x x x x ππ=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠； （2）求积分 20sin sin cos xdx x xπ+⎛⎜⎠ 的值.5、（15分）设空间闭区域V 由曲面22z x y =+，222()z x y =+及圆柱面22(1)1x y +-=所围成，试求V 的体积.6、（10分）设()f x 在闭区间[]a b ，连续，01λ<<，求证：存在[]a b ξ∈，，使得()()(1)()f f a f b ξλλ=+-.7、（15分）设 2()(1)n nxf x x =+（0x ≤<+∞，2n ≥），（1）求0max ()n n x a f x ≤<+∞=；（2）求极限lim )n n a →+∞.8、（16分）设0n a >，1nn a+∞=∑收敛，n kk nr a+∞==∑，求证下列结论：（1）{}n r 单调减少并趋于0；（2≤； （3）1n +∞=收敛.9、（16分）设222222(2,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++++≠⎪=⎨⎪+=⎩ ，（1） 求(,)x f x y ，(,)y f x y 并讨论它们在点(0,0)处的连续性； （2）讨论(,)f x y 在点(0,0)处的可微性.10、（12）设0α>，对[0,)x ∈+∞考察级数1nxn x eα+∞-=∑，（1）求这个级数的和函数()f x ；（2）讨论这个级数在[0,)+∞的一致收敛性. 11、（10分）设()f t dt +∞-∞⎰存在，证明：()()sin g x f t tx dt +∞-∞=⎰在(,)-∞+∞一致连续.温州大学2005年数学分析1、（15分）（1）设ln(1),0()1,xx x f x e x --+≥⎧=⎨-<⎩，求证：(())f f x x =.（2）除上述函数及y x =，y x c =-+以外，试再给出一个函数使满足x ∀∈，(())f f x x = .2、 （15分）设()f a '存在，()()g x f x =，求证：（1） 若()0f a ≠，则()g x 在点a 可导.（2） 若()0f a =，则()g x 在点a 可导当且仅当()0f a '=. 3、（10分）设()f x 在区间开(,)a b 连续，(,)k x a b ∈ (1,2,,)k n =，求证：存在(,)a b ξ∈使122()[()2()()](1)n f f x f x nf x n n ξ=++++ .4、（15分）设()f x 在(,)-∞+∞内连续，并且是单调增加的奇函数，又设()(2)()xg x t x f x t dt =--⎰ .试判断()g x 的单调性和奇偶性并证明之.5、（15分）讨论(,)2f x y x y =+在点(0,0)处的可微性.6、（15分）设()f u 非零并且可微，22()yz f x y =-，求证： 211z z zx x y y y∂∂⋅+⋅=∂∂. 7、（20）（1）求222(,,)254f x y z x y z yz =++-在单位球面S ：2221x y z ++=上的最小值和最大值；（2）求证：3(,,)x y z ∀∈成立不等式2222222222546()x y z x y z yz x y z ++≤++-≤++ .8、（15分）证明函数项级数1sin n nxn +∞=∑在开区间(0,2)π收敛但不一致收敛. 9、（30分）计算下列积分： （1）设()f x 在闭区间[0,1]连续，1()f x dx m =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.（2）33(2))Lxy y dx x dy -+-⎰（L 为圆周224x y +=逆时向）（3）222()()()Syz dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-⎰⎰（其中S 为锥面z =(0)z h ≤≤，法线朝下）.温州大学2006年数学分析1、（15分）设A x f ax =→)(lim ，B x g Ax =→)(lim 而且在某)(0a U 内A x f ≠)(.（1）求证：B x f g ax =→))((lim ；（2）举例说明去掉条件“在某)(0a U 内A x f ≠)(”结论（1）不成立. 2、（20分）（1）求证：0→x 时xx x f 1sin 1)(=是无界量但不是无穷大量. （2）设)(x f 在],[b a 上连续，*x 是)(x f 在],[b a 上唯一的最大值点.如果],[}{b a x n ⊂使得)()(lim *x f x f n n =∞→，求证：*lim x x n n =∞→.3、（18分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f m.试确定整数m 的取值范围，使得 （1）)(x f 在0=x 处连续； （2）)(x f 在0=x 处可导； （3）)(x f '在0=x 处连续.4、（20分）（1）设)(x f 在],[b a 上连续，)(x f '在),(b a 中存在而且0)()(==b f a f .求证：存在),(b a ∈ξ使得)()(ξξf f ='.（2）试求方程x x sin 2π=在闭区间]2,0[π上的解.5、（12分）设)(x f 在]1,0[上可微，0)0(=f 而且当)1,0(∈x 时，1)(0<'<x f .求证：⎰⎰>1321)())((dx x f dx x f .6、（15分）（1）设0>n a )1(≥n .求证：n n a ∞=∑1与nnn a a +∑∞=11具有相同的敛散性.（2）讨论级数3cos )1(21n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=（其中a 为常数）的敛散性.7、（16分）（1）试构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明. （2）设由),(y x f z =，)(xy y x ϕ+=所确定的隐函数)(x z z =可微，试求dxdz.8、（10分）计算第二型曲面积分：⎰⎰+++++++=Szy x dxdyz dzdx y dydz x I 222333)1()1()1(，其中S 是球面2222R z y x =++，0≥z 的上侧. 9、（12分）求函数项级数n nn x5sin41∞=∑的收敛域、一致收敛域及和函数的连续域. 10、（12分）（1）确定参变量α的取值范围使得下述含参变量广义积分收敛：⎰∞+-+= 02)1ln()(dx x x I αα.（2）确定参量函数)(αI 的连续域.2007年研究生入学考试试题请注意:全部答案必须写在答题纸上，否则不给分。

《数学分析》期末考试参考答案及评分标准(2008.1.16)一、填空题(每题4分，共24分)1.极限πarctan 2lim 3sinx x x→+∞-＝13.2.极限112lim p p p p n n n +→∞+++=11p + （其中0p >）.3.积分π20082π[(e e )2sin ]d x x x x x ---+⎰=2π.4.3320d e d d x x t t t x-⎰=32e x x . 5.设曲线方程为0y t =⎰，0πx ≤≤，则曲线的长度为4.6.常微分方程1y y '-=的通解是e 1x y C =-（C 为任意常数）.二、单项选择题(每题3分，共12分)1.设22()()()f x x a g x =-，其中()g x 在a 点连续，则()f a '＝（ B ） (A)22[2()()()]x axg x x a g x ='+-； (B)2()ag a ；(C)0； (D)不存在.2.设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x ⎰＝（ D ）C +；(B)C ；(C)3221(1)2x C --+； (D)3221(1)3x C --+.3.设'()(),[,]F x f x x a b =∈.则下列结论正确的是( A ) (A)()d ()f x x F x C =+⎰；(B)()f x 在[,]a b 上必Riemann 可积； (C)()()d xa F x f t t C =+⎰，[,]x ab ∀∈；(D)()d ()()baf x x F b F a =-⎰.4.考虑下列断语( A )I 设[,]f g R a b ∈、.若()()f x g x ≥（等号仅在有限个点取得），则()d ()d bbaaf x xg x x >⎰⎰；II 设[,]f g R a b ∈、.若()()f x g x >，则()d ()d bbaaf x xg x x >⎰⎰.(A)命题I 、命题II 都正确； (B) 命题I 正确,命题II 不正确； (C)命题I 不正确,命题II 正确； (D) 命题I 、命题II 都不正确.三、计算下列各题（每题6分，共24分）.1.x ⎰.解令t =，………………………………………………………………………………1分则2222arccot d arccot d 1t x t t t t t==++⎰⎰⎰ (3)分 2arccot arctan t t t t C x C =+-+=……6分2.设(0,)+∞上的连续函数()f x 满足e 21()()2ln d f x f x x x x x=-⎰，求()f x .解 令e 1()d f x A x x=⎰，则 2()2ln f x x Ax =-………………………………………1分于是e2ee 222111()2ln d d (ln )1(e 1)22f x x Ax A AA x x x x x x -===-=--⎰⎰………3分解得 22e 1A =+………………………………………………5分故 222()2ln e 1x fx x =-+.…………………………………………6分3.22x -⎰.解令sec x t =，则3π2342π23sec d x t t -=-⎰⎰……………………………………2分 由于3233sec d sec dtan sec tan sec tan d sec tan (sec sec )d sec tan sec d ln sec tan t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t==-=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰故 31sec d (sec tan ln sec tan )2t t t t t t C =+++⎰…………………………4分所以原式3π42π311[sec tan ln sec tan ]222t t t t =-++=-6分 4.求方程20yy y '''+=满足(1)1,(1)1y y '==的特解. 解 令 p y '=代人原方程，得2d 0d p yp p y+= 或 d ()0d pp y p y += 因而 d 00d pp y p y=+=或……………………………………2分 注意到0p =显然满足后一个方程d 0d py p y+=，故只须考虑后一个方程，通解为 1Cp y=（1C 为任意常数）……………………………4分由于(1)1,(1)1y y '==，从而11C =，d 1d y p x y==，求出通解为y=负号舍去，求出21C =，故所求特解 y =……………………………………………6分四、(10分)全面讨论函数2(2)1x y x -=-的性态（已知22322,(1)(1)x x y y x x -'''==--），并作图. 解 1. 定义域R \{1}D =，与坐标轴交点(2,0),(0,4)-.驻点为0x =和2.…………………2分又2(2)lim lim 1(1)x x y x k x x x →∞→∞-===-，34lim()lim()lim31x x x x b y x y x x →∞→∞→∞-+=-=-==--， 故 3y x =-为斜渐近线.………………………………………………………………8分 4. 图形如下10分五、(12分)设直线y ax =与抛物线2y x =所围成的图形面积为1S ，他们与直线1x =所围成图形面积为2S ，且01a <<，（1）试确定a 值，使12S S +达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解 (1) 联立方程 y ax =及2y x =，求出交点 2(0,0),(,)a a ，…………………………1分 于是 122120()()d ()d aaS S a S S ax x x x ax x ==+=-+-⎰⎰…………………3分13332201()()2332323a aa x x a a a x x =-+-=-+……………………5分 令 ()0S a '=，求出驻点2a =±，02S ''=>，2a =为()S a 在01a <<内唯一极小值点，故为最小值,最小值1236S =-.………………………………………8分(2) 1244201π[()]d π[()]d π2230x V x x x x x x +=-+-=⎰…………………12分六、(8分)设()f x 在[,]a b 上二阶可导，()0,()0,f a f b ''<<()()f a f b =.证明:(1)()f x '在(,)a b内至少存在两个零点；(2)在(,)a b 内至少存在一点η满足()()d ()()0af f t t f f ηηηη'''+=⎰.证明 (1)由 ()()()lim 0x a f x f a f a x a+→-'=<-，于是111()():0,(,):02b a f x f a x a a x aδδδ--∃<<∀∈+<-，即()()f x f a <，取11(,)x a a δ∈+，有1()()f x f a <. ………………………………………………2分同理有222(,):()()x b b f x f b δ∈->，注意到()()f a f b =，故连续()f x 在[,]a b 上的最大、最小值必在(,)a b 内达到且不相等，即存在(,)a b ξγ∈、且ξγ<，使得()f x 在x ξ=处取得极小值、在x γ=处取得极大值，而()f x 在x ξ=及x γ=处可导，于是()0,()0f f ξγ''==，即表明()f x '在(,)a b 内至少存在两个零点. …………………………………………………………………5分(2)令 ()()()d xa F x f x f t t '=⎰，[,]x ξγ∈根据(1),易见()F x 在[,]ξγ上连续且可导，且()()0F F ξγ==,由Rolle 中值定理知，存在(,)(,):()0a b F ηξγη'∈⊂=,即()()d ()()0a f f t t f f ηηηη'''+=⎰.得证！ ………………………8分 七、（10分）设()f x 在[,]a b 上有定义，且[,]x a b '∀∈，lim ()0x x f x '→=.证明：(1)对于0ε∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于2ε； (2)证明()[,]f x R a b ∈； (3)计算()d ba f x x ⎰的值.证明：(1)[,]x a b '∀∈，因lim ()0x x f x '→=，0ε∀>，0x δ'∃>，当(,)[,]x x U x a b δ''∈⋂时，有()()2f x x x ε'≤≠. 由于开区间族{(,)[,]}x U x x a b δ'''∈覆盖了[,]a b ，即[,](,)[,]x x a b U x a b δ''∈'⊃，根据有限覆盖定理知，在开区间族中存在有限个开区间覆盖[,]a b ，不妨设1(,)[,]i ni x i U x a b δ=⊃及(,)i i x x U x δ∈时，()()2i f x x x ε≤≠(1,2,,)i n =，因而对于0ε∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值绝对值大于2ε.……………………………………………………………………………………4分 (2) 由(1)的结论知,()f x 为[,]a b 上的有界函数且0,0εσ∀>∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于3σ，不妨设为N 个，对任意分划π，当π2N ε<时，22ii x N Nεε∈Λ∆<⋅=∑，其中{}i i ωσΛ=≥.由可积性第二充要条件知，()[,]f x R a b ∈.……7分 (3)0ε∀>,由(1)的结论知，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于2ε，对和式中的介点取其函数值的绝对值小于等于2ε的点，则 01()()d lim ()()22nbi i a i b a f x x f x b a πεεξ→=--≤=∆≤-∑⎰，故 ()d 0baf x x =⎰.……………………………………………10分（C 类电院、软院B 卷） 一、填空题(每题4分，共24分)1.12-；2.11q +；3.2π；4.2e x x ；5.4；6.e 1x y C -=+（C 为任意常数）.二、单项选择题(每题3分，共12分) 1.(C)；2.(A)；3.(D)；4.(A).三、计算下列各题（每题6分，共24分）.1.x ⎰.解令t =，………………………………………………………………………1分则2222arctan d arctan d 1t x t t t t t==-⎰⎰⎰ (3)分 2arctan arctan t t t t C x C =-++=-++……6分2.设(0,)+∞上的连续函数()f x 满足e 21()()ln d f x f x x x x x=-⎰，求()f x .解 令e 1()d f x A x x=⎰，则 2()ln f x x Ax =-………………………………………………1分于是e2ee 222111()ln 11d d (ln )(e 1)2222f x x Ax A AA x x x x x x -===-=--⎰⎰………3分解得 21e 1A =+…………………………………………………5分故 22()ln e 1x f x x =-+.……………………………………………6分4.求方程20yy y '''+=满足(1)1,(1)2y y '==的特解. 解 令 p y '=代人原方程，得2d 0d p yp p y+= 或 d ()0d pp y p y += 因而 d 00d pp y p y =+=或…………………………………………………2分 注意到0p =显然满足后一个方程d 0d py p y+=，故只须考虑后一个方程，通解为 1Cp y =（1C 为任意常数）……………………………4分由于(1)1,(1)2y y '==，从而12C =，d 2d y p x y==，求出通解为y=负号舍去，求出23C =，故所求特解 y =…………………………………………6分《数学分析》期末考试参考答案及评分标准(2008.1.16)（E 类管院A 卷）一、填空题(每题4分，共24分)1.求极限πarctan 2lim 3sinx x x→+∞-＝13 .2.函数32()694f x x x x =-+-在[0,4]上的最大值为0.3.求极限112lim p p p p n n n +→∞+++=11p + （其中0p >）.4.求积分π20082π[(e e )2sin ]d x x x x x ---+⎰=2π.5.3320d e d d x x t t t x-⎰=32e x x . 6.设曲线方程为0y t =⎰，0πx ≤≤，则曲线的长度为4.二、单项选择题(每题3分，共12分)1.设22()()()f x x a g x =-，其中()g x 在a 点连续，则()f a '＝（ B ） (A)22[2()()()]x axg x x a g x ='+-； (B)2()ag a ；(C)0； (D)不存在.2.设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x ⎰＝（ D ）C +；(B)C ；(C)3221(1)2x C --+； (D)3221(1)3x C --+.3.设'()(),[,]F x f x x a b =∈.则下列结论正确的是( A ) (A)()d ()f x x F x C =+⎰；(B)()f x 在[,]a b 上必Riemann 可积； (C)()()d xa F x f t t C =+⎰，[,]x ab ∀∈；(D)()d ()()baf x x F b F a =-⎰.4.考虑下列断语( A )I 设[,]f g R a b ∈、.若()()f x g x ≥（等号仅在有限个点取得），则()d ()d bbaaf x xg x x >⎰⎰；II 设[,]f g R a b ∈、.若()()f x g x >，则()d ()d bbaaf x xg x x >⎰⎰.(A)命题I,命题II 都正确； (B) 命题I 正确,命题II 不正确； (C)命题I 不正确,命题II 正确； (D) 命题I,命题II 都不正确.三、计算下列各题（每题6分，共24分）.1.x ⎰.解令t =，………………………………………………………………………1分则2222arccot d arccot d 1t x t t t t t t ==++⎰⎰⎰…………………………3分2arccot arctan t t t t C x C =+-+=……6分2.设(0,)+∞上的连续函数()f x 满足e 21()()2ln d f x f x x x x x=-⎰，求()f x .解 令e 1()d f x A x x=⎰，则 2()2ln f x x Ax =-………………………………………1分于是e2ee 222111()2ln d d (ln )1(e 1)22f x x Ax A AA x x x x x x -===-=--⎰⎰………3分解得 22e 1A =+………………………………………………5分故 222()2ln e 1x f x x =-+.…………………………………………6分3.22x -⎰.解 令sec x t =，则3π2342π23sec d x t t -=-⎰⎰……………………………………2分由于3233sec d sec dtan sec tan sec tan d sec tan (sec sec )d sec tan sec d ln sec tan t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t==-=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰故 31sec d (sec tan ln sec tan )2t t t t t t C =+++⎰………………………4分所以原式3π42π311[sec tan ln sec tan ]222t t t t =-++=-6分 4.求a 的范围，使方程ln ax x =恰有两个根.解 作辅助函数 ()ln ,(0,)f x ax x x =-∈+∞，………………………………………………1分 易见()f x 在(0,)+∞上连续且可导，由于0,0lim (),lim (),0x x a f x f x a +→+∞→+∞>⎧=+∞=⎨-∞≤⎩…………………………2分 且211(),()0f x a f x x x'''=-=>，当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有唯一极小值也是最小值1()1ln f a a=+，………………………………………4分 于是结合上面的分析知，当1()1ln 0f a a =+<，即10ea <<时，()f x 在(0,)+∞上恰有两个零点，即方程ln ax x =恰有两个根.而当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上严格单减,此时方程ln ax x=恰有一个根,故所求的a 的范围为10ea <<.……………………………………………………6分四、(10分)全面讨论函数2(2)1x y x -=-的性态（已知22322,(1)(1)x x y y x x -'''==--），并作图. 解 1. 定义域R \{1}D =，与坐标轴交点(2,0),(0,4)-.驻点为0x =和2.…………………2分又2(2)lim lim 1(1)x x y x k x x x →∞→∞-===-，34lim()lim()lim31x x x x b y x y x x →∞→∞→∞-+=-=-==--， 故 3y x =-为斜渐近线.………………………………………………………………8分 4. 图形如下.10分五、(12分)设直线y ax =与抛物线2y x =所围成的图形面积为1S ，他们与直线1x =所围成图形面积为2S ，且01a <<，（1）试确定a 值，使12S S +达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解 (1) 联立方程 y ax =及2y x =，求出交点 2(0,0),(,)a a ，……………………………1分 于是 122120()()d ()d aaS S a S S ax x x x ax x ==+=-+-⎰⎰…………………3分13332201()()2332323a aa x x a a a x x =-+-=-+……………………5分 令 ()0S a '=，求出驻点2a =±，02S ''=>，2a =为()S a 在01a <<内唯一极小值点，故为最小值,最小值1236S =-. ……………………………………8分(2) 1244201π[()]d π[()]d π2230x V x x x x x x +=-+-=⎰…………………………12分六、(8分)设()f x 在[,]a b 上二阶可导，()0,()0,f a f b ''<<()()f a f b =.证明:(1)()f x '在(,)a b内至少存在两个零点；(2)在(,)a b 内至少存在一点η满足()()d ()()0af f t t f f ηηηη'''+=⎰.证明 (1)由 ()()()lim 0x a f x f a f a x a+→-'=<-，于是111()():0,(,):02b a f x f a x a a x aδδδ--∃<<∀∈+<-，即()()f x f a <，取11(,)x a a δ∈+，有1()()f x f a <. ………………………………………………2分同理有222(,):()()x b b f x f b δ∈->，注意到()()f a f b =，故连续()f x 在[,]a b 上的最大、最小值必在(,)a b 内达到且不相等，即存在(,)a b ξγ∈、且ξγ<，使得()f x 在x ξ=处取得极小 值、在x γ=处取得极大值，而()f x 在x ξ=及x γ=处可导，于是()0,()0f f ξγ''==，即表明()f x '在(,)a b 内至少存在两个零点. …………………………………………………………………5分(2)令 ()()()d xa F x f x f t t '=⎰，[,]x ξγ∈根据(1),易见()F x 在[,]ξγ上连续且可导，且()()0F F ξγ==,由Rolle 中值定理知，存在(,)(,):()0a b F ηξγη'∈⊂=,即()()d ()()0a f f t t f f ηηηη'''+=⎰.得证！………………………8分 七、（10分）设()f x 在[,]a b 上有定义，且[,]x a b '∀∈，lim ()0x x f x '→=.证明：(1)对于0ε∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于2ε； (2)证明()[,]f x R a b ∈； (3)计算()d ba f x x ⎰的值.证明：(1)[,]x a b '∀∈，因lim ()0x x f x '→=，0ε∀>，0x δ'∃>，当(,)[,]x x U x a b δ''∈⋂时，有()()2f x x x ε'≤≠. 由于开区间族{(,)[,]}x U x x a b δ'''∈覆盖了[,]a b ，即[,](,)[,]x x a b U x a b δ''∈'⊃，根据有限覆盖定理知，在开区间族中存在有限个开区间覆盖[,]a b ，不妨设1(,)[,]i ni x i U x a b δ=⊃及(,)i i x x U x δ∈时，()()2i f x x x ε≤≠(1,2,,)i n =，因而对于0ε∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值绝对值大于2ε.……………………………………………………………………………………4分 (2) 由(1)的结论知,()f x 为[,]a b 上的有界函数且0,0εσ∀>∀>，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于3σ，不妨设为N 个，对任意分划π，当π2N ε<时，22ii x N Nεε∈Λ∆<⋅=∑，其中{}i i ωσΛ=≥.由可积性第二充要条件知，()[,]f x R a b ∈.……7分 (3)0ε∀>,由(1)的结论知，()f x 在[,]a b 上至多有有限个点的函数值的绝对值大于2ε，对和式中的介点取其函数值的绝对值小于等于2ε的点，则 01()()d lim ()()22nbi i a i b a f x x f x b a πεεξ→=--≤=∆≤-∑⎰，故 ()d 0baf x x =⎰.……………………………………………10分（E 类管院B 卷）一、填空题(每题4分，共24分)1.12-；2.2；3.11q +；4.2π；5.2e x x ；6.4.二、单项选择题(每题3分，共12分)1.(C)；2.(A)；3.(D)；4.(A).三、计算下列各题（每题6分，共24分）.1.x ⎰.解令t =，…………………………………………………………………………………1分则2222arctan d arctan d 1t x t t t t t t==-+⎰⎰⎰……………………………………3分2arctan arctan t t t t C x C =-++=-++……6分2.设(0,)+∞上的连续函数()f x 满足e 21()()ln d f x f x x x x x=-⎰，求()f x .解 令e 1()d f x A x x=⎰，则 2()ln f x x Ax =-………………………………………………1分于是e2ee 222111()ln 11d d (ln )(e 1)2222f x x Ax A AA x x x x x x -===-=--⎰⎰………3分解得 21e 1A =+…………………………………………………5分故 22()ln e 1x f x x =-+.……………………………………………6分4.求b 的范围，使方程ln x b x =恰有两个根.解 作辅助函数 ()ln ,(0,)f x x b x x =-∈+∞，…………………………………………1分 易见()f x 在(0,)+∞上连续且可导，由于,0lim ()0,0,lim (),0x x b f x b f x b +→+∞→+∞>⎧⎪===+∞⎨⎪-∞<⎩…………………………2分且2()1,()b bf x f x x x'''=-=，当0b >时，()f x 在(0,)+∞上有唯一极小值也是最小值()(1ln )f b b b =-，………………………………………4分于是结合上面的分析知，当()(1ln )0f b b b =-<，即e b >时，()f x 在(0,)+∞上恰有两个零点，即方程ln x b x =恰有两个根.而当0b ≤时,()f x 在(0,)+∞上严格单增,此时方程ln x b x =恰有一个根,故所求的b 的范围为e b >.……………………………………………………………6分。