2017-2018年福建省泉州市南安一中高一上学期数学期中试卷带答案

南安一中高2020届高2017级高三第一学期期中考试理科数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合{}(5)4A x x x =-,{}|B x x a =≤,若A B B ⋃=,则a 的值可以是( ) A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i 为虚数单位,若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限,则t 的取值范围为( ) A. [1,1]-B. (1,1)-C. (,1)-∞-D. (1,)+∞3.在△ABC 中,“错误!未找到引用源。

>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.设数列错误!未找到引用源。

是单调递增的等差数列,错误!未找到引用源。

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成等比数列,则错误!未找到引用源。

( )A.1009B. 1011C. 2018D. 2019 5.的是( )sin14︒+︒24sin 24︒+︒C.64sin 64︒+︒74sin 74︒+︒6.下列函数既是偶函数,又在(),0-∞上单调递减的是( )A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.23y x -=C.1y x x=- D.()2ln 1y x =+7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤”。

其意思为“今有持金出五关,第1关收税金为持金的12,第2关收税金为剩余金的13,第3关收税金为剩余金的14,第4关收税金为剩余金的15,第5关收税金为剩余金的16,5关所税金之和,恰好重1斤。

”则在此问题中,第5关收税金为( )A. 136斤B. 130斤 C. 125斤 D. 120斤8.设正实数错误!未找到引用源。

福建省泉州市南安一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b22．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6D．23．在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．4．在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2B．﹣1 C．1D．±15．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2D．17．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km8．不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C． [0，2] D．[﹣2，0]9．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．2710．在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞）C．（，3）D．（0，）11．不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）12．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=．14．已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．15．已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=．16．已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．18．已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．19．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．20．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？21．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．福建省泉州市南安一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2考点：不等关系与不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：举反例可知A、B、D不能恒成立，故选C．解答：解：若a=1，b=c=﹣1，故A不成立，B不成立，D不成立；∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，故C成立．故选C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6D．2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和题意易得答案．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，∴a5=（a1+a9）==12故选：B点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．3．在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinB的值代入计算即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，∴由正弦定理=，得：sinA===，故选：A．点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2B．﹣1 C．1D．±1考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可．解答：解：∵a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴a5a6=1，则在等比数列{a n}中，a4•a7=a5a6=1，故选：C点评：本题主要考查等比数列的性质的应用，比较基础．5．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用余弦定理，化简求解即可．解答：解：因为在△ABC中，a2=b2+c2+bc，所以cosA===﹣，所以A=．故选：C．点评：本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，﹣2）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．将A（3，﹣2）的坐标代入目标函数z=x+2y，得z=﹣1．即z=x+2y的最小值为﹣1；故选A．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得这15秒内每秒的飞行路程构成2为首项，2为公差的等差数列，由等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得这15秒内每秒的飞行路程构成2为首项，2为公差的等差数列，∴这15秒火箭共飞行了15×2+×2=240（km）故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8．不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C． [0，2] D．[﹣2，0]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为（x﹣1）2≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，即a2﹣2a≤0，解出即可．解答：解：不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔（x﹣1）2≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔a2﹣2a≤0，解得：0≤a≤2，故选：C．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查不等式的解法，是一道基础题．9．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．27考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．解答：解：由题意可得递增的等差数列{a n}共5项，设公差为d，由题意可得总和S=a1+a2+a3+a4+a5=100，又（a3+a4+a5）=（a1+a2），∴a1+a2=2a1+d=25，且a3+a4+a5=3a1+9d=75，联立解得a1=10，d=5，∴最多的一份为a5=a1+4d=30故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．10．在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞）C．（，3）D．（0，）考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，代入数据，求出x的范围．解答：解：由题意得，△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，则xsinA＜3＜x，解得3＜x＜，所以x的取值范围是（3，），比较各个选项可得（3，+∞），故选：A．点评：本题考查了解三角形一题多解的问题，注意理解，属于基础题．11．不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：解不等式x2﹣x﹣2≥0与不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，求出集合A、B；再由A⊆B，列出关于a的不等式组，求出解集即可．解答：解：解不等式x2﹣x﹣2≥0，得x≤﹣1或x≥2，∴A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，得x＜a或x＞a+1，∴B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；又A⊆B，∴，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合基本关系的应用问题，是基础题目．12．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意，通过解△ABC可先求出AC的值，解△AMC，由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．解答：解：在RT△ABC中，∠CAB=30°，BC=150m，所以AC=300m．在△AMC中，∠MAC=105°，∠MCA=45°，从而∠AMC=30°，由正弦定理得，，因此AM=300m．在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，由得MN=300×=150m；故选B．点评：本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=60°．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和余弦定理求出cosC的值，再由内角的范围和特殊角的余弦值求出角C的值．解答：解：由题意知，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，由余弦定理得，cosC===，又0＜C＜180°，则C=60°，故答案为：60°．点评：本题考查余弦定理的应用，注意内角的范围，属于基础题．14．已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数a，b满足a+b=3，∴3，化为，当且仅当a=b=时取等号．则a•b的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=3．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过关系式a n=及首项a1=2，通过写出前几项的值找出周期，进而计算可得结论．解答：解：∵a n=，a1=2，∴a2===﹣1，a3===，a4===2，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且前3项和S3=﹣1++2=，∴S6=2S3==3，故答案为：3．点评：本题考查数列的前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先求出向量的夹角，然后对满足不等式组的M的集合表示出来．解答：解：由已知，cos∠AOB==，所以∠AOB=，而满足条件的动点M所表示的平面区域是与向量，的夹角都小于等于90°的向量的集合，如图∠COD=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积以及夹角；关键是明确满足不等式组的动点的集合．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．考点：数列递推式；一元二次不等式的解法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）通过﹣2和0是方程x2+bx+c=0的两根，利用韦达定理计算即得结论；（Ⅱ）利用a n=S n﹣S n﹣1计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，0），∴﹣2和0是方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b=﹣2，x1x2=c=0，∴b=2，c=0；（Ⅱ）∵b=2，c=0，∴S n=f（n）=n2+2n，∴a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1（n≥2），又∵a1=S1=1+2=3满足上式，∴a n=2n+1．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）因为x＞1，对函数的f（x）变形为积为定值的情况，利用基本不等式求最值；（Ⅱ）将所求转化为二次不等式x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立的问题解答．解答：解：（Ⅰ）当D=（1，+∞），即x＞1，∴＞0，x1＞0…∴f（x）=x+=x﹣1++1+1=5（当且仅当x=3取等号）∴函数的f（x）最小值为5．…（Ⅱ）D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，化为x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立，当△=（m+1）2﹣16＜0即﹣5＜m＜3时，x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立…当△=（m+1）2﹣16=0即m=3或m=﹣5时，均不合题意综上所述，﹣5＜m＜3．…点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最值以及二次函数恒成立问题；利用基本不等式时注意不等式成立的三个条件．19．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行求解即可求角B的大小；（Ⅱ）结合等差数列以及正弦定理进行判断即可．解答：解：（Ⅰ）由a﹣2bsinA=0可得，由正弦定理=．）解得sinB=．又∵B 为锐角，∴B=．（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴ac=b2．∴cosB===，化简得a2+c2﹣2ac=0，解得a=c．∴△ABC是等边三角形．点评：本题主要考查解三角形的应用，三角形的形状的判断，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．20．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；应用题．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，由已知我们可设设生产A型电视机x 台，B型电视机y台，则根据已知条件，我们可以列出变量x，y的约束条件及目标函数Z 的解析式，利用线性规划的方法，易求出答案．解答：解：设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据已知条件线性约束条件为，即线性目标函数为z=6x+4y．根据约束条件作出可行域如图所示，作3x+2y=0．当直线l0平移至过点A时，z取最大值，解方程组得生产两种类型电视机各20台，所获利润最大．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．21．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，求出BD，（Ⅱ）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．解答：解：（Ⅰ）由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，…在△DAB中，由正弦定理得=，∴DB=====10（海里）…（Ⅱ）在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，…BC=20（海里），由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=300+1200﹣2×10×20×=900，…∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．…答：救援船到达D点需要1小时．…点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，解三角形的实际问题的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，运用条件，求得p=3，再由数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求通项；（Ⅱ）化简b n，再由裂项相消求和，可得T n＜，由不等式恒成立思想可得≤m2﹣m﹣，解不等式可得m的范围．解答：解：（Ⅰ）由题设知（p﹣1）a1=p2﹣a1，解得p=a1或p=0（舍去）．由条件可知（p﹣1）S2=（p﹣1）（a1+a2）=p2﹣a2，解得a2=1．再由（p﹣1）S3=（p﹣1）（a1+a2+a3）=p2﹣a3，解得a3=．由a3=可得=，故p=3=a1．则2S n=9﹣a n，当n＞1时，2S n﹣1=9﹣a n﹣1，以上两式作差得2（S n﹣S n﹣1）=a n﹣1﹣a n，即2a n=a n﹣1﹣a n，故a n=a n﹣1．故数列{a n}是首项为3，公比为的等比数列．故a n=3（）n﹣1=32﹣n．（Ⅱ）因为b n===，所以b n b n+2==（﹣），T n=b1b3+b2b4+b3b5+…+b n b n+2=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）＜．故要使T n＜m2﹣m﹣恒成立，只需≤m2﹣m﹣，即m2﹣m﹣2≥0解得m≤﹣1或m≥2．故所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．682．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为412．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1，a n+1=a n+2b n，b n+1=a n+b n，则下列结论正确的是（）A．只有有限个正整数n使得a n＜b nB．只有有限个正整数n使得a n＞b nC．数列{|a n﹣b n|}是递增数列D．数列{|﹣|}是递减数列二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x 的最小值为．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．68【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a4+a7=5+8=13，则S10==5×13=65．故选：A．2．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．【解答】解：集合A={x||2x﹣1|＞3}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}={x|﹣＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞【解答】解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选：C．4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【解答】解：⇔a2+b2＞2ab，可得：“b＞a”⇒“”，反之不成立，可能a＞b．∴“b＞a”是“”成立的充分不必要条件．故选：D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵，整理可得：cosA=，∴由余弦定理可得：=，∴可得a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故选：C．7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”【解答】解：若am2≥bm2，m=0，则a≥b不一定成立，故A错误；命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故B正确；若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，故C错误；“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”，故D错误；故选：B．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+4b=2，则a+2b=1．∴=（）（a+2b）=1+16+≥17+=25．当且仅当b2=4a2时上式“=”成立．∴的最小值为25．故选：A．9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B．10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．=，【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1又由a1=＞，则a2=2a1﹣1=，a2=＜，则a3=2a2=，a3=＜，则a4=2a3=，a4=＞，则a5=2a4﹣1=，则有a5=a2，a6=a3，…；a n+3=a n，则a2017=a1+672×3=a1=，故选：B．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x ∈（1，+∞）恒成立，化为：a 2+2a +2≤+x=f （x ）的最小值．f′（x ）=+1=，可得x=3时，函数f （x ）取得极小值即最小值． f （3）=5．∴a 2+2a +2≤5，化为：a 2+2a ﹣3≤0，即（a +3）（a ﹣1）≤0，解得﹣3≤a ≤1． 因此a 的最小值为﹣3． 故选：A ．12．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足a 1=b 1=1，a n +1=a n +2b n ，b n +1=a n +b n ，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n 使得a n ＜b nB ．只有有限个正整数n 使得a n ＞b nC ．数列{|a n ﹣b n |}是递增数列D ．数列{|﹣|}是递减数列【解答】解：根据题意可设数列{a n ﹣b n }，∴a n +1﹣b n +1=a n +2b n ﹣a n ﹣b n =（1﹣）a n ﹣（1﹣）b n =（1﹣）（a n ﹣b n ），∵a 1=b 1=1， ∴a 1﹣b 1=1﹣∴{a n ﹣b n }是以1﹣为首项，以1﹣为公比的等比数列，∴a n ﹣b n =（1﹣）n ，∴A ，B 不正确， 又公比q=1﹣，|q |=﹣1＜1，∴{|a n ﹣b n |}递减，故C 排除， |﹣|=•|a n ﹣b n |，易知{a n }，{b n }为正数且递增，故{}递减，{|a n﹣b n|}递减，、故D正确．故选：D．二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是若a∈M且a∈P，则a ∈M∩P．【解答】解：“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．故答案为：“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．【解答】解：a1=S1=﹣2+3+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣2n2+3n+1）﹣[﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=﹣4n+5，当n=1时，﹣4n+5=1≠a1，∴a n=．故答案为：a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．【解答】解：根据题意，设|PF1|=m，|PF2|=n，P为椭圆C上一点，则有m+n=2a，变形可得m2+n2+2mn=4a2，①又由⊥，则有m2+n2=4c2，②①﹣②可得：2mn=4a2﹣4c2=4b2，③又由△PF1F2的面积为8，即mn=8，④联立③④可得：b2=8，则b=2，故答案为：2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x的最小值为．【解答】解：由（）（+y）≥1，∵y+＞y+|y|≥0，∴﹣x≥=，∵函数f（x）=﹣x=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：由，解得A（，）．∵x2+y2﹣8x=（x﹣4）2+y2﹣16．由点到直线的距离公式可得，P（4，0）区域中A（，）的距离最小，所以x2+y2﹣8x的最小值为：．故答案为：．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x=，在[a2﹣2，+∞）上单调递增；∴a≤a2﹣2，解得a≤﹣1，或a≥2．命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0，则△=16﹣4×8a≥0，解得a≤．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得a≥2，或．∴实数a的取值范围是∪[2，+∞）．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．【解答】解：（I）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1，得，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（II）在△ABD中，由余弦定理得．…①在△CBD中，由余弦定理得，…②①②相加得，整理得a2+c2=4﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴，所以△ABC的面积，当且仅当时“=”成立．∴△ABC的面积的最大值为．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．【解答】证明：（I）由题设数列{a n}中，a1=1，a n+1=，知，∴数列是首项为1，公比为1的等比数列，∴=1，即a n=2n﹣1，n∈N*；（II）∵=（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，=，=，所以a n＞0，=a n+2．解得：a n+1因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由题意得，；则前n项和+…+①；+…+②，则①﹣②得：=+…+]﹣；解得：（3）对一切正整数n恒成立，﹣c n=﹣=≤0，由c n+1可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，则解得t≥1或．即实数t的取值范围为．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时k1=k2=﹣，不合题意．…（1分）当直线l1的斜率存在时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中消去y，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则有．…（3分）则k1k2====，…（5分）由，得k=，故直线l1的方程为y=．…（6分）（Ⅱ）当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时|AB|=3，|DE|=4．则S=|AB|×|DE|=6．…（7分）当直线l1的斜率存在，且不为零时，设直线l1的斜率为k．由（Ⅰ）知|AB|=x1﹣x2|==．…（8分）又直线l2的斜率为﹣，则|DE|=．…（9分）从而S=|AB|×|DE|==，设k2+1=t＞1，则有S==，…（10分）∵，∴则，综合有．所以四边形ADBE的面积S的取值范围为[]．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

福建省南安一中2021-2021学年高一数学上学期期中试题(考试时刻：120分钟 总分值：150分)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，那么()U C A B ⋂=（ ） A.{}0 B.{}3,4-- C.{}1,2-- D.φ2．设1232,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，那么[(2)]f f 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．()1-=x x f |的图象是（ ）4．以下各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．2)(|,|x y x y == D ．33,x y x y == 5．函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ）A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]6．函数log (3)2a y x =-+（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点 （ ） A. ()3,0 B. ()3,2 C. ()4,2 D.()4,0 7．以下函数是奇函数的是（ ）A ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--B ．()22xxf x -=+C ．()||f x x =-D ．3()1f x x =-8．设0.3777,0.3,log 0.3a b c ===，那么c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a << 9. 函数()f x =xe x1-的零点所在的区间是 （ ）A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2） 10．已知0,0a b >>且1ab =,那么函数xa x f =)(与x x gb log )(-=的图象可能是（ ）A B C D11．函数()log |1|a f x x =+（0>a 且1≠a ）.当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有( ) A ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数 B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数 C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 D ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数12．已知函数x e ax 0f (x)2x 1x 0⎧+≤=⎨->⎩，假设函数)(x f 在R 上有两个不同零点，那么a 的取值范围是( ) A. ),1[+∞- B.()+∞-,1 C.()0,1- D.[)0,1- 二、填空题（每题4分，共16分，请将答案填在答题卡相应位置） 13．函数1x y x+=的概念域为 14．幂函数αx x f =)(的图象通过点)21,4(，那么1()4f 的值为__________． 15. 已知奇函数)(x f 在0≥x 时的图象如下图，那么不等式0)(<x f 的解集是 ．16．函数()f x 的概念域为A ，假设12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，那么称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．以下结论：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③假设()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，那么12()()f x f x ≠；④假设()f x 在概念域上是单调函数，那么()f x 必然是单函数．其中结论正确是_________．（写出所有你以为正确的编号）三、解答题（本大题共6小题，共74分。