2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—12.程序框图 专题卷(乙卷文科)

2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

11．程序框图（含解析）【2018】无一、选择题【2017，8】右面程序框图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n，那么在和和两个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【2017，8】【2016，9】【2015，9】【2016，9】执行右面的程序框图，如果输入的0=x，1=y，1=n，则输出yx,的值满足（）A．xy2=B．xy3=C．xy4=D．xy5=【2015，9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8【2014，7】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=（）A．203B．165C．72D．158【2013，5】执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]nyynxx=-+=,21nyx,,输入开始结束yx,输出1+=nn?3622≥+yx是否【2012，6】如果执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．AB +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数【2013，5】 【2012，6】 【2011，3】【2011,3】执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．504011．程序框图（解析版） 【2018】无 一、选择题【2017，8】右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在 和 和 两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【解析】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000>，排除A 、B ，又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶，故选D ；【2016，9】执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足A ．x y 2=B ．x y 3=C ．x y 4=D ．x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<； 第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． 【2015，9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解析：0.01t =保持不变，初始值11,0,0.52s n m ====， 执行第1次，0.5,0.25,1s m n ===，s t >，执行循环体；执行第2次，0.25,0.125,2s m n ===，s t >，执行循环体；执行第3次，0.125,0.0625,3s m n ===，s t >，执行循环体；执行第4次，0.0625,0.03125,4s m n ===，s t >，执行循环体；ny y n x x =-+=,21n y x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否执行第5次，0.03125,0.015625,4s m n ===，s t >，执行循环体；执行第6次，0.015625,0.0078125,5s m n ===，s t >，执行循环体；执行第7次，0.0078125,0.00390625,6s m n ===，s t <，跳出循环体，输出7n =，故选C ．.【2014，7】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）A .203 B .165 C .72 D .158【解析】选D ，输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = .【2013，5】执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选A ． 若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．【2012，6】如果执行下面程序框图，输入正整数N （2N ≥）和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．AB +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，N a 中最大的数，B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，故选择C ．【2011】（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720选B否 是 是 1k k =+B x =A x =结束输出A ，B ?k N ≥?x B <k x a =?x A >开始 输入N ，1a ，2a ，…，N a 1k =，1A a =，1B a = 否 是 否。

2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质一、选择题【2017，8】函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为（）【2017，9】已知函数()()ln ln2f x x x=+-，则（）A．()f x在()0,2单调递增B．()f x在()0,2单调递减C．()y f x=的图像关于直线1x=对称D．()y f x=的图像关于点()1,0对称【2016，8】若0a b>>，01c<<，则（）A．log loga bc c<B．log logc ca b<C．c ca b<D．a bc c>【2016，9】函数22e xy x=-在[]2,2-的图像大致为（）-221O xy-221O xy-221O xy-221O xyA．B．C．D．【2015,10】已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且f(a)=-3，则f(6-a)=( )A．74-B．54-C．34-D．14-【2015，12】设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( ) C A．-1 B．1 C．2 D．4【2014，5】5．设函数()f x,()g x的定义域为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．()()f xg x是偶函数B．()()f xg x是奇函数C．()()f xg x是奇函数D．()()f xg x是奇函数【2013，9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为()【2013，12】已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]【2012，11】11．当12x<≤时，4logxax<，则a的取值范围是（）A．（0，22）B．（22，1）C．（12）D．2，2）【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（）A．3y x=B．||1y x=+C．21y x=-+D．||2xy-=【2011，10】在下列区间中，函数()e43xf x x=+-的零点所在的区间为（）．A．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【2011，12】已知函数()y f x=的周期为2，当[1,1]x∈-时函数2()f x x=，那么函数()y f x=的图像与函数lgy x=的图像的交点共有（）．A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题【2015，14】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ．【2014，15】设函数113,1(),1xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x≤成立的x的取值范围是_____．【2012，16】16．设函数22(1)sin()1x xf xx++=+的最大值为M，最小值为m，则M m+=_______．2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质（解析版）一、选择题 【2017，8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）【解法】选C 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．． 【2017，9】已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点()1,0对称 【解析】（法一）函数的定义域为)2,0(，)2(ln )2ln(ln )(x x x x x f -=-+=，设2)1(2)2()(22+--=+-=-=x x x x x x t ，)(t f 为增函数，当)1,0(∈x 时，)(x t 为增函数，∴)(x f 为增函数，当)2,1(∈x 时，)(x t 为减函数，∴)(x f 为减函数．排除A,B ，因为)(x t 是二次函数，图像关于直线1=x 对称，故)2()(x t x t -=， 所以)2()(x f x f -=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，故选 C ； （法二）)2(22211)(x x x x x x f --=--='，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数． 当)2,1(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数，故排除A,B ． 故选 C ； 【2016，8】若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．c c a b <D ．a bc c >8．B 解析 由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ． 评注 作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可快速得到答案． 另外，对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <． 又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断． 对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误． 【2016，9】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解析 ：选D. 设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e xf x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C ．故选D ．【2015,10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且f (a )=-3，则f (6-a )=( )A ．74-B ．54-C ．34- D ．14-解：∵f (a )=-3，∴当a≤1时，f (a )=2a -1-2=-3，则2a -1=-1，无解．当a>1时，f (a )=-log 2(a +1) =-3，则a +1=8，解得a =7，∴f (6-a )=f (-1)= 2-2-2=74-，故选A ． 【2015，12】设函数y =f (x )的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =-x 对称，且f (-2)+f (-4)=1，则a =( ) C A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4解：设f (-2)=m ，f (-4)=n ，则m +n=1，依题点(-2，m )与点(-4，n )关于直线y =-x 对称点为(-m ，2)与点(-n ，4)在函数y =2x+a 的图像上，∴2=2-m+a ，4=2-n+a ，∴-m+a =1，-n+a =2，∴2a =3+m +n =4，∴a =2，故选C 【2014，5】5．设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x 是偶函数B ． ()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ． ()()f x g x 是奇函数 解：设F (x )=f (x )|g (x )|，依题可得F (-x )=-F (x )，∴ F (x )为奇函数，故选C 【2013，9】函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )解析：选C. 由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A ．当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1．令f ′(x )＝0，得2π3x =． 故极值点为2π3x =，可排除D. 【2013，12】已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D ．可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0．∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2．∴a ∈[－2,0]． 【2012，11】11．当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，2） B ．（2，1） C ．（1，2） D ．（2，2）【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<．在同一坐标系中画出4xy =与log a y x =的图象．11- x y o 1= 10 若102x <≤时，4log xa x <，当且仅当011log 22a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩， 2011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即20112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩． 21a <<，故选择B ． 【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，12()2x x y -==单调递减．故选B ．【2011，10】在下列区间中，函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C ． 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内．故选择C ． 【2011，12】已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【解析】 考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，如下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个． 故选A ．二、填空题【，14】已知函数f (x )=ax 3+x +1的图像在点(2,7)，则a = ．(1, a +2)，且切线过点(2,7)，∴7-(a +2)=3a +1，解得a =1．【2014，15】设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_____．解：(-∞,8]，当x<1时，由e x -1≤2可得x ≤1+ln 2，故x<1；当x≥1时，由13x ≤2可得x ≤8，故1≤x ≤8，综上可得x ≤8．【2012，16】16．设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______． 【解析】2． 2222(1)sin 12sin ()11x x x x x f x x x +++++==++222sin 111x xx x =++++． 令222sin ()11x xg x x x =+++，则()()1f x g x =+，因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=． 所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=．。

2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= （2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A ．3B ．3C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B. 12C. 23D. 34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）( （B ）( （C ）( （D ）( （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8 （2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3（2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________． （2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 解析：设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴， 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； （2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A 解析：解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可=2e=. 解法二：设渐进线的方程为y kx=∴=23k=；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e=-，解得2e=.（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C：()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线方程为2y x=，且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）.A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y x=，则ba=又因为椭圆221123x y+=与双曲线有公共焦点，易知3c=，则2229a b c+==②由①②解得2,a b==C的方程为22145x y-=.故选B.（2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab-+=相切，则C的离心率为（）.ABCD．13【答案】A 解析：因为以12A A为直径为圆与直线20bx ay ab-+=相切，所以圆心到直线距离d等于半径，所以d a==，又因为0,0a b>>，则上式可化简为223a b=因为222b a c=-，可得()2223a a c=-，即2223ca=，所以cea==故选A.（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【答案】A 解析：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B 解析：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 解析：圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ） AB ．32CD ．2【答案】A 解析：离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．F（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A. 13B. 12C. 23D. 34【答案】A 解析：易得,2ON OB a MF MF AF a cMF BF a c OE ON AO a-=====+ 12a a c a c a c a a c --∴=⋅=++， 13c e a ∴==（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（A）(33-（B）(,)66- （C）(33- （D）(33- 【答案】A 解析：从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y∈(33-，故选（A ）.（2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A．B ．8C．D ．10【答案】C 解析：由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C.（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a，||MN =，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2 = b 2 = c 2 -a 2，即c 2 = 2a 2，所以e = D.（2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）AB .3 CD .3m【答案】A 解析：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C的一条渐近线的距离d =A. .（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 【答案】C 解析：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==.（2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） ABC ．6332D ．94【答案】D 解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB ==，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离00|38d -==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=.【另解】直线AB的方程3)4y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯=.（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【答案】C 解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.（2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = 【答案】C 解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p.又点F 的坐标为(,0)2p ，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2pp =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.（2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32【答案】B 解析：由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =.（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 解析：如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【答案】C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 【答案】C 解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22ac c -=，所以34c e a ==. （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8【答案】C 解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】B 解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B 解析：通径|AB |=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，故选B.二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【答案】3解析：如图，OA a =，AN AM b ==，∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，（法二）如上图可知(,0)A a到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===，1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN AN b c e∠==∠=∴=====又，3e ∴=； （法三）如图在等边三角形AMN ∆中,,AP FH b == 由OAPOFH ∆∆知23a a e c bc =⇒==；（法四）如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，1322ab c c b e a =⇒==； （法五）因为,AM b OA a ==且渐进线bxy a=可得三角形OAN 为 双曲线三角线（即三边分别为,,a b c ），有几何意义易得30MAP MOA ∠=∠=tan b MOA e a ∴∠====；（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【答案】6 解析：∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________. 【答案】3 解析：如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF A B ⊥于F，3AB OA OF ==∴=，3=，m ∴= ∴直线l 的倾斜角为30°，3CD AE ∴=== （2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-；（方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. （2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.【答案】[1,1]- 解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠sin OMONM=∠， 即OM ONM =∠，∵0ONM π≤∠≤，∴OM ≤，即≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||s i nO A O M =o|1OM ≤，解得||OM M (x 0, 1)，所以||OM =解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 【答案】221168x y ∴+= 解析：由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点，将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，， 联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=， 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠，21b k ⇒=--，此时64k ∆=-， 存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：(),N P xx y =-,()00,NM y =.又2NP NM =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=，所以：222x y +=.解法二： 椭圆C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.设),sin Mθθ，),0Nθ,(),P x y ，则：(),NP x y θ=,()0,sin NM θ=.又2NP NM =,所以：()),0,sin x y θθ=，则：,x y θθ==.则：222x y +=.（Ⅱ）解法一：设)Pθθ，()13,Q y -,()1,0F -,则()2OP θθ=，()13,OQ y =-,()13,y PQ θθ=-，()1,PF θθ=-.又1OP PQ ⋅=,所以：)()22113,y 2cos sin 2sin 1θθθθθθθθ⋅-=---=即：1sin 3θθ=-.那么：()()11,3,y 3sin 0PF OQ θθθθ⋅=-⋅-=+-=. 所以：PF OQ ⊥. 即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F ．解法二：设()11,P x y ，()23,Q y -,()1,0F -,则()11,OP x y =，()23,OQ y =-,()1213,PQ x y y =---，()111,PF x y =---.又1OP PQ ⋅=,所以：()()221112111121,3,31x y x y y x x y y y ⋅---=--+-=.又()11,P x y 在222x y +=上，所以：11233x y y -=-.||MMN y y=-又()()1121121,3,330PF OQ x y y x y y⋅=---⋅-=+-=.所以：PF OQ⊥，即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F．（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E点，求四边形MPNQ解析：⑴圆A整理为(xBE ACQ∥，则C=∠EBD D∴=∠∠，则⑵221:143x yC+=；设l联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩(23m圆心A到PQ距离d=所以||PQ==()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.解析：⑴当4t=时，椭圆E的方程为22143x y+=，A点坐标为()20-，，则直线AM的方程为()2y k x=+．联立()221432x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k+++-=，解得2x=-或228634kxk-=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以2121341AN k =⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭1243k k =+，因为AM AN =，0k >，所以212124343k k k++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为2211122234AM ⎫=⎪+⎭14449=． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =，所以AM ==，所以3A N k k=+，因为2A M A N =，所以23k k =+，整理得23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解析：(1)法一：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k aa a a ab ---=====-=+-.所以FQ AR ∥. ......5分法二：证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP ∥BQ ，得∠AFP +∠BFQ =90°，∴∠PFQ =90°，∵R 是PQ 的中点，∴RF =RP =RQ ，∴△P AR ≌△F AR ，∴∠P AR =∠F AR ，∠PRA =∠FRA ， ∵∠BQF +∠BFQ =180°﹣∠QBF =∠P AF =2∠P AR ，∴∠FQB =∠P AR ，∴∠PRA =∠PQF ，∴AR ∥FQ ．(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1yx a b x =≠+-. 而a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-. ....12分（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解析：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =方程为y a x -=-0y a --=；同理，x =-y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k . 直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解析：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠,将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +-==+，299M M by kx b k =+=+. 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0,3k k >≠，由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =(,)3m m 的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，于是2(3)23(9)k k m k -=⨯+，解得1244k k ==，因为0,3,1,2i i k k i >≠=，所以当l的斜率为44+OAPB 为平行四边形.（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.解析：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =，得c =又c a =， 所以，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,22814k x k±=+，从而212143kPQ x -=-=，又点O 到直线PQ 的距离d =，所以∆OPQ 的面积21214OPQS d PQ k ∆==+ ， t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t=，2k =±等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：22y x =- 或22y x =--. …………………………12分 （2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .解析：（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34，∴2324b ac =，又222a b c =+，解得12c e a ==或2-（舍），故直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意知，点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =…①，∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a=--， ∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a --，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……②，联立①、②解得：7a =，b =（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k＝4±当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.解析：（Ⅰ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22=163x y +.（Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解析得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝3.由题意可设直线CD 的方程为(y x n n =+<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |43|x x -=由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=当n ＝0时，S.所以四边形ACBD（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，BFD △为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长2BD p =. 点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△得，11222BD d p ⨯⨯=⨯=， 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=.（Ⅱ） 由对称性，不妨设点(,)A A A x y 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直径，90oADB ∠=，2BD p ∴=，32A y p ∴=，代入抛物线:C py x 22=得A x .直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为0x -=. 由py x 22= 得22x y p =,x y p '=.由x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为)6p ，直线n的方程为0x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. （2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．解析：（Ⅰ）设M (x , y )，由已知得B (x , -3)，A (0, -1). 所以,1)(MA x y -=--u u u r ， (03)MB y =--，u u u r，(,2)B x A =-u u u r .。