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第五章二元一次方程组案例分析

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示范教学案例分析
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第五章二元一次方程组
6．二元一次方程与一次函数
府谷县第二初级中学 苏悦
一、说学生
1.学生的知识技能基础：学生能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数
及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也
有所接触。
2.学生的活动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能
够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础
上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．

二、说学习内容
本节课的主要内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用．通
过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二
元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二
元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生
数形结合的意识和能力．

三、说教学目标
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识
间可以互相转化的数学思想和方法．

四、说重难点
教学重点二元一次方程和一次函数的关系；
教学难点数形结合和数学转化的思想意识．

五、说教法学法
启发引导与自主探索相结合的方法．
六、说教学过程
本节课设计了六个教学环节：
第一环节设置问题情境，启发引导；
第二环节自主探索，建立“方程与函数图像”的模型；
第三环节典型例题，探究方程与函数的相互转化；
第四环节反馈练习；
第五环节课堂小结；
第六环节作业布置．
示范教学案例分析
2
第一环节 设置问题情境，启发引导
设置目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=
5x
相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．
效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学
生数学转化的思想意识．

第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系
设置目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”
（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．
效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受
到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”
来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．

第三环节 二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况
设置目的：进一步揭示“数”与“形”转化关系．通过想一想，将两直线的
另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对第二环节的有益补充。体现
了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯．
效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的

相互转化．进一步挖掘出两直线平行与k的关系。
第四环节 反馈练习
设置目的：3个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况．
效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的
解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用
数形结合的思想方法解题的重要性

第五环节 课堂小结
设置目的：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能
形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．
效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点
评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．

第六环节 作业布置
七、教后反思
本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图像的基础上，通过教
师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函
数图像之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之
间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函
数的相互转化．教学过程中教师一定要注意将图像与函数解析式之间的对应问题
阐述清楚，让同学们从根本上认识、理解和运用“数”与“形”之间的密切关系．因
此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，增加了反馈练
习中的3个问题，并且在练习和拓展题目训练中进一步利用交点求三角形面积．

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第五章 二元一次方程组-八年级数学上册教学课件(北师大版)

第五章 二元一次方程组-八年级数学上册教学课件(北师大版)


2
x
7.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在
同一条直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
1 = 3 +
=1
∴
−2 = 0 +
= −2
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直
线的交点坐标
两条线的交点坐标是
对应的方程组的解
做一做
x+2y=10
1.二元一次方程组
A.
C.
x=4
y=2x
的解是( C )
x=3
B.
y=3
y=6
x=2
x=4
y=4
D.
y=2
2.解下列方程组.
y=2x
(1)
(2)
x+y=12
解： (1)
4x+3y=65
x=4
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
知识点五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程和一次
函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标
的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标
都适合对应的二元一次方程.
二元一次方程组和一
(2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出x的Байду номын сангаас;
第五章4 应用二元一次方程组增收节支

第五章4 应用二元一次方程组增收节支


基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评
基础主干落实
4
+ -
进价
5
对点小练 1.小李家去年节余50 000元,今年可节余95 000元,并且今年收入比去年高15%,支 出比去年低10%,今年的收入与支出各是多少?设去年的收入为x元,支出为y元,则 可列方程组为
2.某商场按定价销售某种商品时,每件可获利30元;按定价的八折销售该商品5件 与将定价降低20元销售该商品8件利润相等.设该商品的进价、定价分别为x元,y 元,则可列方程组为
素养当堂测评
13
(10分钟·10分) (10分·运算能力、应用意识)(2023·张家界中考)为拓展学生视野,某中学组织八年 级师生开展研学活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同 样数量的60座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车,它 们的载客量和租金如下表所示:
类型 载客量(人/辆) 租金(元/辆)
甲型客车 45 200
乙型客车 60 300
14
15
本课结束
项目 甲种货车数量 乙种货车数量 累计运货重量
第一次 2辆 3辆 14吨
第二次 5辆 6辆 32吨
10
11
【举一反三】 1.(2022·衢州中考)某班环保小组收集废旧电池,数据统计如表.
电池
5号(节)
7号(节)
总质量(克)
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96
问:1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少?设1节5号电池的质量为x克,1节7号电池 的质量为y克,列方程组,由消元法可得x的值为( C ) A.12 B.16 C.24 D.26
八年级数学上册 第五章 二元一次方程组 4 应用二元一次方程组—增收节支 一 如何解决利润问题？素材

八年级数学上册 第五章 二元一次方程组 4 应用二元一次方程组—增收节支 一 如何解决利润问题？素材

一、如何解决利润问题？
【问题】一、如何解决利润问题？

难易度：★★★★
关键词：利润问题
答案：
利润的公式：利润=售价-成本，根据利润公式列出方程组求解得结论。

【举一反三】
典题：某超市同时卖出两种商品，共卖336元，其中一种商品盈利20％，一种商品亏
本20％，在此次交易中超市赔了14元，则这两件商品的成本是多少元？
思路导引：设两种商品的成本，根据共卖336元列出一个方程，再根据两次交易赔14
元得出另一方程，形成方程组得出结论。
标准答案：解：设盈利商品的成本为x元，亏本商品的成本为y元，根据题意得

解得
所以这两件商品的成本分别为140元，210元。

【教案】第五章二元一次方程组5.3-5.5应用二元一次方程组北师大版八年级数学上册

【教案】第五章二元一次方程组5.3-5.5应用二元一次方程组北师大版八年级数学上册

48第五章二元一次方程组§ 5.3应用二元一次方程组---鸡兔同笼【教学目标】1. 使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题2. 通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。

【教学难点】根据题意找出等量关系，列出方程。

【教学过程】我们伟大祖国具有五千年的文明史， 在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作 出了巨大的贡献，特别在数学领域有 ［九章算术］、［孙子算经］等古代名著流传于世，普 及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如 ［九章算术］下卷第三题目“雉兔同笼” 等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。

“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”问题1、“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？ 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头， “下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。

问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？ （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设有鸡x 只，兔y 只，则答：共有鸡23只，兔12只。

这个古老的数学问题， 用今天的方程解决， 体现了古为今用的原则， 为后人理解了数 学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起 “鸡兔同笼”时，曾另有一番 别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？” ••…中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的书上就提供了这样的一个例题例1、 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？接下来老师看一下， 那位同学的古文水平好， 那位同学能自告奋勇地解释一下， 这段古文的意思？（用绳子测量水井的深度， 如果将绳子折成三等分， 一份绳子长比井深多 5尺；如果将 绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺？）（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设绳子长x 尺，井深y 尺，则x 3 x 4议一议-x+y=35-2x+4y=94y=12解之得 y=1：=答：绳子长为48尺，井深11尺。