【名师一号】届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练椭圆理北师大版-精

1 计时双基练五十四 椭圆

A组 基础必做

1．椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于( )

A．4 B．8

C．4或8 D．12

解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，

10－m－(m－2)＝4，∴m＝4。

当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8。

答案 C

2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )

A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1

C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝1

解析 由题意知2a＝12，ca＝13，即a＝6，c＝2，故b2＝36－4＝32。

答案 D

3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(0,2) D．(0,1]

解析 由x2＋ky2＝2，得x22＋y22k＝1。

∵椭圆的焦点在y轴上，∴2k>2，即1k－1>0，

∴1－kk>0⇔k(k－1)<0。∴0

答案 A

4．设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )

A．30 B．25

C．24 D．40 2 解析 ∵|PF1|＋|PF2|＝14，

又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。

∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。

∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24。

答案 C

5．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

解析 由题意得a＝3，c＝7，则|PF2|＝2。

在△F2PF1中，由余弦定理可得

cos ∠F2PF1＝42＋22－2722×4×2＝－12。

又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝2π3。

答案

C

6．从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

A.24 B.12

C.22 D.32

解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，

kOP＝－y0c，kAB＝－ba，由于OP∥AB，

∴－y0c＝－ba，y0＝bca，

把P－c，bca代入椭圆方程得－c2a2＋bca2b2＝1，

而ca2＝12，∴e＝ca＝22。选C。 3 答案 C

7．过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________。

解析 解法一：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4。由椭圆的定义知，

2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，

解得a＝25。

由c2＝a2－b2可得b2＝4。

所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1。

解法二：因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16。

设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)。

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16。①

又点(3，－5)在所求椭圆上，

所以－52a2＋32b2＝1，即5a2＋3b2＝1。②

由①②得b2＝4，a2＝20，

所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1。

答案 y220＋x24＝1

8．若椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率e＝12，则k的值为________。

解析 (1)若焦点在x轴上，

即k＋8>9>0时，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝c2a2＝a2－b2a2＝k－1k＋8＝14，解得k＝4。

(2)若焦点在y轴上，即0

a2＝9，b2＝k＋8，

e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－k9＝14，解得k＝－54。

综上，k＝4或k＝－54。

答案 k＝4或k＝－54 4 9．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________。

解析 由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则可得 x21a2＋y21b2＝1a>b>0，x22a2＋y22b2＝1a>b>0。 ①②

①－②，并整理得x1＋x2a2y1＋y2＝－y1－y2b2x1－x2。 (*)

∵M是线段AB的中点，且过点M(1,1)的直线斜率为－12，

∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝y1－y2x1－x2＝－12。

∴(*)式可化为1a2＝12b2，

即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，即c2a2＝12。

∴e＝ca＝22。

答案 22

10．(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510。

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB。

解 (1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b，

又kOM＝510，从而b2a＝510。

进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255。

(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为a2，－b2，可得NM→＝a6，5b6。 5 又AB→＝(－a，b)，从而有

AB→·NM→＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2)。

由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB→·NM→＝0，

故MN⊥AB。

11．(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且点3，12在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P点为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q。

①求|OQ||OP|的值；

②求△ABQ面积的最大值。

解 (1)由题意知3a2＋14b2＝1，

又a2－b2a＝32，解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1。

(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1。

①设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)。因为x204＋y20＝1，

又－λx0216＋－λy024＝1，即λ24x204＋y20＝1，

所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2。

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，

可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，

由Δ>0，可得m2<4＋16k2。①

则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2。 6 所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2。

因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，

所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|

＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝216k2＋4－m2m21＋4k2

＝2 4－m21＋4k2m21＋4k2。

设m21＋4k2＝t。

将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，

可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2。②

由①②可知0

因此S＝24－tt＝2－t2＋4t。

故S≤23，

当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23。

由①知，△ABQ面积为3S，

所以△ABQ面积的最大值为63。

B组 培优演练

1．(2015·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 B．6

C．9 D．12

解析 ∵抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，∴E的右焦点的坐标为(2,0)。

设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∴c＝2。

∵ca＝12，∴a＝4。∴b2＝a2－c2＝12，

于是椭圆方程为x216＋y212＝1。

∵抛物线的准线方程为x＝－2，将其代入椭圆方程可得A(－2,3)，B(－2，－3)，∴|AB|＝6。

答案 B 7 2．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________。

解析 如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知|AN|＝2|PF1|。

同理可知|BN|＝2|PF2|。

∴|AN|＋|BN|

＝2(|PF1|＋|PF2|)＝4a＝12。

答案 12

3.(2015·乌鲁木齐诊断)如图，椭圆 的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________。

解析 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>5－12或e<－5－12，又0

答案 5－12，1

4．(2015·湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点。C1与C2的公共弦的长为26。过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向。

(1)若C2的方程；

(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率。

解 (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)。

因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1。①