基本不等式知识点归纳上课讲义

基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||abababrrrrrr

≤≤

【注意】： abrr、同向或有0r||||||ababurururur≥||||||||ababurururur； abrr、反向或有0r||||||ababurururur≥||||||||ababurururur；

abrr、不共线||||||||||||abababurururururur.(这些和实数集中类似)

代数不等式： ,ab同号或有0||||||||||||abababab≥；

,ab异号或有0||||||||||||abababab≥.

绝对值不等式： 123123aaaaaa≤ (0)abababab时,取等 双向不等式：ababab≤≤ （左边当0(0)ab≤≥时取得等号，右边当0(0)ab≥≤时取得等号.） 放缩不等式：

①00abam，，则bmbbmamaam.

【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000nmbabanbnamambab1. ②,,abcR，bdac，则bbddaacc； ③nN，1112nnnnn； ④,1nNn，21111111nnnnn. ⑤ln1xx≤(0)x,1xex≥()xR.

函数()(0)bfxaxabx、图象及性质 (1)函数0)(baxbaxxf、图象如图： (2)函数0)(baxbaxxf、性质： ①值域：),2[]2,(abab； ②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.

xabab2

ab2a

b

o

y 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：,abR222abab≥(当且仅当ab时取到“”)．

【变形】：①222()22ababab≤≤（当a = b时，222()22ababab） 【注意】： (,)2abababR≤，2()(,)2abababR≤

2、均值不等式： 两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均” 2222“”1122ababababababab

≤≤≤（当且仅当时取）

*.若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）;

若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

若0x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba时取“=”） *.若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

若0ab，则22-2

ababab

bababa即或 (当且仅当ba时取“=”）

3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： 3333abcabc

≥（0abc等式即可成立，时取等或0cbacba）；

33abcabc≤ 3()3

abcabc

≤333

3abc

≤

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0ab时，

abba222同时除以ab得2baab或baab11。

*,,ba均为正数，baba22

八种变式： ①222baab ； ②2)2(baab； ③2)2(222baba ④)(222baba；⑤若b>0,则baba22；⑥a>0,b>0,则baba411；⑦若a>0,b>0,则abba4)11(2； ⑧ 若0ab，则222)11(2111baba。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ba”。 最值定理 （积定和最小） ①,0,2xyxyxy≥由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p； （和定积最大）

②,0,2xyxyxy≥由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s. 【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22. （1）若积xy是定值，则当||yx最大时，||yx最大；当||yx最小时，||yx最小. （2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小；当||yx最小时，||xy最大.

③已知,,,Raxby，若1axby，则有则的最小值为：21111()()2 ()byaxaxbyababababxyxyxy≥

④已知，若则

和的最小值为： ①. ② 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”： ⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x时，求函的数(82)yxx最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x ，求函数1()4245fxxx

的最大值.

⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1xxfxxx的值域； ⑷变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形,2222abab，222()22abab

不易想到，应重视；

例4.求函数152152()22yxxx的最大值； ⑸连用公式：例5.已知0ab，求216()yabab的最小值； ⑹对数变换：例6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值； ⑺三角变换：例7.已知20yx≤，且tan3tanxy，求txy的最大值； ⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值.

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值 若22xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中02≤.

①(,)sincos2sin()4fxyxyaaa在15[0,],[,2)44上是增函数，在15[,]44上是减函数；

②1(,)sin22gxyxya在1357[0,],[,],[,2)4444上是增函数，在1357[,],[,]

4444

上是减函数；

③11sincos(,)sincosxymxyxyxya.令sincos2sin()4ta，其中[2,1)(1,1)(1,2]tUU.由212sincost，得22sincos1t，从而222(,)1(1)()tmxyatatt在[2,1)(1,1)(1,2]UU上是减函数.

⑵和为定值 若xyb（b为定值，0b），则.ybx

①2(,)gxyxyxbx在(,]2b上是增函数，在[,)2b上是减函数； ②211(,)xybmxyxyxyxbx.当0b时，在(,0),(0,]2b上是减函数，在[,),(,)2bbb上是增函数；当0b时，在(,),(,]2bbb上是减函数，在[,0),(0,)2b上

是增函数.

③2222(,)22nxyxyxbxb在(,]2b上是减函数，在[,)2b上是增函数； ⑶积为定值 若xyc（c为定值，0c），则.cyx ①(,)cfxyxyxx.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在(,],[,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；

②111(,)()xycmxyxxyxycx.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在(,],[,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；

③222222(,)()2ccnxyxyxxcxx在(,),(0,]cc上是减函数，在(,0],[,)cc上是增函数.

⑷倒数和为定值 若112xyd（d为定值，111,,xdy），则.cyx成等差数列且均不为零，可设公

差为z，其中1zd，则1111,,zzxdyd得,.11ddxydzdz.

①222()1dfxxydz.当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在11[0,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0]dd上是增函数，在

11[0,),(,)dd上减函数；

②222(,).1dgxyxydz.当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在11[0,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0]dd上是减函数，在

11[0,),(,)dd上是增函数；