[推荐学习]新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.2
- 格式：doc
- 大小：180.25 KB
- 文档页数：12
[k12]
最新K12 第2课时 高度问题
课时过关·能力提升
基础巩固
1在△ABC中,a=5,sin A=√55,则𝑏sin𝐵等于( ).
A.5√5B.√525C.√5D.不确定
解析:𝑏sin𝐵=𝑎sin𝐴=5√55=5√5.
答案:A
2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( ).
A.α>β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.
答案:B
3在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( ).
[k12]
最新K12 A.4003 m
B.400√33 m
C.200√33 m
D.2003 m
解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=𝑂𝐴cos30°=2×200√3(m).
又∠B=120°,在△ABC中,由正弦定理𝐴𝐶sin120°=𝐵𝐶sin30°,得BC=𝐴𝐶sin30°sin120°=400√3×12√32=4003(m).
答案:A
4如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高为60 m,则山高为
.
解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.
由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=30(√6+√2)(m),
∴CD=AC·sin45°=30(√3+1)(m).
答案:30(√3+1) m
5 [k12]
最新K12
如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD= .
答案:32 m
6如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10√6 m,则旗杆的高度为 m.
解析:由题意知∠BAN=105°,∠BNA=30°.
由正弦定理,得𝐴𝑁sin45°=10√6sin30°,解得AN=20√3(m).
在Rt△AMN中,MN=20√3sin60°=30(m).
故旗杆的高度为30m.
答案:30
7在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,则云距湖面的高度为 .
解析:如图,设湖面上高hm处为A,在A处测得云C的仰角为α,测得云在湖中影子D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E. [k12]
最新K12
设云高CM=xm,
则CE=(x-h)m,DE=(x+h)m,
AE=𝐶𝐸tan∠𝐶𝐴𝐸=𝑥-ℎtan𝛼(m).
又AE=𝐷𝐸tan∠𝐷𝐴𝐸=𝑥+ℎtan𝛽(m),则𝑥-ℎtan𝛼=𝑥+ℎtan𝛽.
整理,得x=tan𝛽+tan𝛼tan𝛽-tan𝛼ℎ=sin(𝛼+𝛽)sin(𝛽-𝛼)ℎ.
答案:sin(𝛼+𝛽)sin(𝛽-𝛼)ℎ m
8如图,两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上,利用高为1.5 m的侧角仪器,在点C1,D1处测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB.(结果精确到0.01 m)
解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,
由正弦定理,得𝐶1𝐷1sin∠𝐶1𝐵𝐷1=𝐵𝐶1sin∠𝐵𝐷1𝐶1, [k12]
最新K12 BC1=𝐶1𝐷1sin∠𝐵𝐷1𝐶1sin∠𝐶1𝐵𝐷1=12sin120°sin15°
=(18√2+6√6)(m),
从而A1B=√22𝐵𝐶1=18+6√3≈28.392(m),
因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m).
答:烟囱的高约为29.89m.
9如图,地面上有一旗杆OP,为了测得它的高度,在地面上选一基线AB,测得AB=20 m,在A处测得点P的仰角为30°,在B处测得点P的仰角为45°,同时可测得∠AOB=60°,求旗杆的高度.(结果精确到0.1 m)
分析设旗杆的高度为h,由题意知∠OAP=30°,∠OBP=45°,旗杆OP垂直于地面,即△AOP和△BOP都是直角三角形,在△AOB中,可利用余弦定理构造方程求解.
解设旗杆的高度为h,
由题意,知∠OAP=30°,∠OBP=45°.
在Rt△AOP中,OA=𝑂𝑃tan30°=√3ℎ.
在Rt△BOP中,OB=𝑂𝑃tan45°=ℎ.
在△AOB中,由余弦定理,
得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°,
即202=(√3ℎ)2+ℎ2−2√3ℎ×ℎ×12. [k12]
最新K12 ∴h2=4004-√3≈176.4,
∴h≈13.3(m).
答:旗杆的高度约为13.3m.
能力提升
1有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长( ).
A.5 m B.10 m C.10√2 mD.10√3 m
解析:如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10m.
在△BAB'中,由正弦定理,
得BB'=𝐴𝐵sin45°sin30°=10×√2212=10√2(m).
故坡底延长10√2m时,斜坡的倾斜角将变为30°.
答案:C
★2如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为( ). A.15√6 m [k12]
最新K12 B.20√6 m
C.25√6 m
D.30√6 m
解析:设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=(2h)m,PB=(√2ℎ)m,𝑃𝐶=(2√33ℎ)m,
在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
得cos∠PBA=602+2ℎ2-4ℎ22×60×√2ℎ,①
cos∠PBC=602+2ℎ2-43ℎ22×60×√2ℎ.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.
③
由①②③,解得h=30√6或h=-30√6(舍去),即建筑物的高度为30√6m.
答案:D
3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是
.
答案:50 m
4A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为 .
解析:如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°, [k12]
最新K12
∴CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由𝐴𝐵sin15°=𝐴𝐷sin45°,得
AD=𝐴𝐵·sin45°sin15°=800×√22√6-√24=800(√3+1)(m).
∴CD=AD=800(√3+1)m.
答案:800(√3+1) m
5如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿坡角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为
.
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°.
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°. [k12]
最新K12 又AS=1000,
∴DC=ST=ASsin30°=500.
在△ASB中,𝐴𝑆sin∠𝐴𝐵𝑆=𝐵𝑆sin∠𝑆𝐴𝐵,
即1000sin30°=𝐵𝑆sin15°,
故BS=2000sin15°
=2000×√6-√24=500(√6−√2).
在Rt△SDB中,BD=BSsin∠BSD
=BSsin75°=500(√6−√2)×√6+√24=500.
故山高BC=BD+DC=500+500=1000(m).
答案:1 000 m
★6如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔25 000 m,速度为3 000
m/min.飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°,经过8 min后到达点B,此时看到山顶C的俯角为60°,求山顶的海拔高度.
(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449)
解如图,过C作AB的垂线,垂足为D. [k12]
最新K12
依题意,AB=3000×8=24000(m).
又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°,
故BC=AB=24000(m).
在Rt△CBD中,CD=BC·sin60°≈24000×0.866=20784(m),
故山顶的海拔高度约为25000-20784=4216(m).
