高中数学1-1空间几何体1-1-7柱锥台和球的体积自我小测新人教B版必修2

1.1.7 柱、锥、台和球的体积1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 ( )A．27 cm3B．60 cm3C．64 cm3D．125 cm3B[长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( ) A ．15π B ．30 C ．12πD ．36πC [圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.]3．若一个球的直径是12 cm ，则它的体积为________cm 3.288π [由题意，知球的半径R ＝6 cm ，故其体积V ＝43πR 3＝43×π×63＝288π(cm 3)．]【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．计算柱体体积的关键及常用技巧1．计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． 2．常用技巧：(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． (2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解] 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2.11111111三棱锥C ­A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算V A 1－ABC ―→计算V C －A 1B 1C 1―→计算V B －A 1B 1C[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .∴V A 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，V C －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴V B －A 1B 1C ＝V 台－V A 1－ABC －V C －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．2．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1­ADC 的体积是( )A ．16B ．13C ．12D ．1 A [三棱锥D 1­ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.]台的体积．[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积． [解] 如图所示，正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．3．本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积．”[解] 如图，正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝ 2 (cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4 (cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝283 2 (cm 3)．【例4】 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积．[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解] 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm)． 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2(cm)， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)．即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍C [半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43π×(2x )3＝3.]的体积为( )A ．24－3π2B ．24－π3C ．24－πD ．24－π2[思路探究] 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．A [该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.]求组合体的表面积与体积的方法1．分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．2．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．3．根据设计的计算方法求值．5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32πC [由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.]1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求空间几何体的体积的方法． (2)求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( ) (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( ) (3)由V 锥体＝13S ·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π B [设轴截面正方形的边长为a ， 由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2. 又∵S 侧＝4π，∴a ＝2. ∴V 圆柱＝π×2＝2π.]3．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 3 [由已知得4π＝13πr 2×4，解得r ＝ 3.]4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积． [解] 如图所示，正三棱锥S ­ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。

一二三
二、柱、锥、台的体积 【问题思考】 1.填空:柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示 上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
名称 柱体 锥体
台体
棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台
体积(V)
Sh πr2h 13Sh 13πr2h 1h(S+ S·S'+S')
1 π
2·4=4π(m3).
②若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得 V=8π(m3),
所以第二种方法可使铁筒体积最大.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积, 即V柱体=Sh.底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱 =πr2h.
2.平行六面体的体积求解是比较常见的,因为平行六面体的六个 面都是平行四边形,故可以用任意一组平行的面作为底面,其余面 作为侧面.解题时,我们以解直棱柱的体积居多,故在平行六面体中 选底面时,以构成直棱柱为首选因素.
2.将球的表面积公式S球=4πR2和球的体积公式V球=
4 3
πR3从公式
结构上进行比较,你能发现S球和V球的关系吗?
提示:半径为R的球,其体积V球和表面积S球有以下关系:V球=
1 3
S
球·R.
3.做一做:已知球的表面积变为原来的4倍,则它的体积变为原来
的
倍.
答案:8
一二三
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
“×”.
(1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍. ( ) (3)在公式 V 台体=13h(S 上+ ������上·������下+S 下)中 h 为该台体的侧棱或母线 长. ( ) (4)在三棱柱 A1B1C1-ABC 中有������������-������1������������ = ������������1-������1������1������ = ������������1-������1������������成立. ()

1．1.7 柱、锥、台和球的体积学习目标 1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识点一祖暅原理思考取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？梳理祖暅原理的含义及应用(1)内容：幂势既同，则积不容异．(2)含义：夹在________________的两个几何体，被平行于这两个平面的________________所截，如果截得的____________________，那么这两个几何体的体积相等．(3)应用：____________的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二柱、锥、台、球的体积公式思考已知直四棱柱A1B1C1D1－ABCD，底面ABCD为矩形．AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则四棱柱A1B1C1D1－ABCD与三棱锥A1－ABCD的体积分别为多少？梳理柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R 表示球的半径．类型一柱体、锥体、台体的体积例1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2π＋2 3 B．4π＋2 3C．2π＋233D．4π＋233反思与感悟(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．类型二球的体积例2 (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm3B.866π3cm3C.1 372π3cm3D.2 048π3cm3(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．反思与感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练 2 (1)一平面截一球得到直径为2 5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是( )A．12π cm3B．36π cm3C．646π cm3D．108π cm3(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2类型三几何体体积的求法命题角度1 等体积法例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．反思与感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积．(2)利用等体积法可求点到平面的距离．跟踪训练 3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.。

体的体积为________m3.
第一章
1.1 1.1.7
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[答案] 30
[ 解析]
由三视图知该几何体由一个棱长为 3,4,2 的长方体
和一个底面是直角梯形高为 4 的直棱柱组成，则体积 V ＝ 2＋1 3×4×2＋ 2 ×1×4＝30.
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∵P、A、B、C 四点是球面上的四个点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径， 3 ∴2R＝ 3a，∴R＝ 2 a，
4 3 4 3 3 3 3 ∴V＝3πR ＝3π a ＝ 2 πa . 2
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6．已知三棱锥的三条侧棱长都等于 13，底面是直角三角
形，且两直角边长分别为6和8，试求棱锥的体积． [解析] 如图所示，在三棱锥S－ABC中， SA＝SB＝SC＝13， △ABC为直角三角形，且AB＝6，BC＝8，
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锥体的体积
(2014· 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 ) 已知
正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－
ABCD的体积和侧面积．
第一章
1.1 1.1.7
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[ 答案] B
)
B．4 倍 D．2 2倍
[ 解析]
设球原来的半径为 R，体积增加到原来的 8 倍时，