英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A. ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14B. 12C. 6D. 34. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96为5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ） A. 28-B. 28C. 84-D. 846. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.12258. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ） A. ac bc > B. log 1b a >C.114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +>10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于911. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________． 14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的的15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<. ①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值； ②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q.的①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线； ②求DEQ 面积的最大值. 19 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围； ②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ..【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =， 故[)2,4A B ⋂=. 故选:B. 2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案. 【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++， 因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =， 故选：B ．3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，21232527244x +++==，151********y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-， 所以ˆ0.8 1.2yx =-， 当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=， 所以该数据的残差为23.622.80.8-=. 故选：C. 5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ）A. 28-B. 28C. 84-D. 84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数. 【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-， 即26x y 的系数为28-. 故选：A.6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ， 则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=， 所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A === 故选：B.8. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)x f x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)x f x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)x f x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤< 故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ）A. ac bc >B. log 1b a >C. 114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +> 【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确； 对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA = ，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，的然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x +=，A 错误； 对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>， 则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+， 设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA = ，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,3A，(3,B ， 因此直线AB的斜率1212y y k x x -===-C 正确； 对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ， 则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+， 当且仅当4AF BFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确. 故选：BCD的11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C. 若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】 【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =， 因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ， 因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ， 故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅== ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==， 化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ， 即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π4=，C 正确； D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ， 即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +===， 如图所示，设11,22KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ， 在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=， 显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为= D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==- .若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ()//2a b - ， 所以()()423210m m ++-=，解得12m =-. 故答案为：12-. 13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【解析】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α． 【详解】因为cos tan 22sin ααα=-， 所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 0α≠， 所以22sin 112sin 2sin ααα=--， 解得1sin 4α=，所以cos α==，所以sin tan cos ααα==14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【解析】【分析】由条件求tan ABF ∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c 的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c ，2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴212BF b k k ac ==，2212BA b k k k ac===， 设直线,BA BF 的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan 1tan tan 11tan tan 122k k ABF k k k αβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当212b k ac ==即2b =，22c a -=，210e -=，又1e >∴e =四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3 （2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+ ，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可. 【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =． ∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =， 又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =． 【小问2详解】 因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+ ． 因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ， 所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥， ∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,(2,0,0),(0,0,A B C S M N -，∴(30),(10CM MN ==-,， 设(),,n x y z = 为平面CMN的一个法向量，则30=0CM n x MN n x ⎧⋅==⎪⎨⋅-=⎪⎩ ， 取1z =，则==x yn =- ，又(0,0,OS =为平面MBC 的一个法向量，1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴===，sin ,n OS ∴= ， 故二面角N CM B --. 17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望. 【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==； 【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-， ()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦， 令()0f p '=，得34p =， 当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f p 的最大值点034p =； ②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 13256 27512 81512 189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠ （2）①证明见解析，3x =【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 因为P 为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>， 故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠. 【小问2详解】.①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠. 联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=， 易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+. 因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--， 直线EM ：()2121y y x x x x =--， 联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++. 从而点Q 在定直线3x =上. ②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ， 又121212my y y y =+，则1211211224DEQ y y S y y y +=-=-==， 1t =>，则2122DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立， 故DEQ.19. 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f x g f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e a xf x x b =-. ①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3x I x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞ 【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ， 这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈， 所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+， 由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立， 所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=， 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”， 但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=， 令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-， 因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->， 所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=， 且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =， 所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<， 所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减； 当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>， 所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点， 若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12； 若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<， 则()max I x 为函数的极大值或()I k ， 由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+， 令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈， 则()2224e 1624(e 4)20k k s k k k k k '=-+=-+>， 所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>， 所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->， 综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
