中考数学之平面几何最全总结+经典习题

中学数学平面几何练习题及讲解平面几何是数学中的一个重要分支，涉及到图形的性质、关系、证明以及计算等内容。

为了帮助同学们更好地掌握平面几何的知识，下面将为大家提供一些练习题及讲解。

一、直线和角度1. 已知直线AB与直线CD相交于点O，若∠BOC=50°，求∠AOD 的度数。

解：由直线AB与直线CD相交，可知∠BOC与∠AOD互为对角，即∠BOC=∠AOD。

所以∠AOD的度数也是50°。

2. 在平面直角坐标系中，设直线L的斜率为k，且直线L与x轴、y 轴的交点分别为A、B。

若OA=3OB，则求k的值。

解：设B的坐标为(0, b)，由题意得A的坐标为(a, 0)。

根据斜率的定义，k=(b-0)/(0-a)=-b/a。

又知OA=3OB，所以(a-0)^2+(0-b)^2=9(b-0)^2，化简得a^2+9b^2=0。

由此可得a=0，b=0，故k=0。

二、三角形1. 在三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，则∠ABC的度数是多少？解：由题意可知AC=BC，所以三角形ABC是一个等腰三角形，即∠BAC=∠BCA。

又∠ACB=80°，所以∠ABC的度数为(180°-80°)/2=50°。

2. 在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。

求∠C的度数。

解：根据勾股定理可得AC=sqrt(AB^2+BC^2)=sqrt(6^2+8^2)=10 cm。

所以sin∠C=BC/AC=8/10=0.8，∠C=arcsin(0.8)≈53.13°。

三、圆和圆周1. 已知圆O的半径为3 cm，P是圆O上的一点，且OP=4 cm。

求圆O的面积和周长。

解：圆的面积公式为S=πr^2，其中r为半径。

所以圆O的面积为S=π*3^2=9π cm^2。

圆的周长公式为C=2πr，所以圆O的周长为C=2π*3=6π cm。

专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。

中考平面几何精选百题 1．（中考几何）如图，在直角△ABD 中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F 为直线AD 上任意一点，过点A 作直线AC⊥BF，垂足为点E ，直线AC 交直线BD 于点C ．过点F 作FG∥BD，交直线AB 于点G ．（1）如图1，点F 在边AD 上，则线段FG ，DC ，BD 之间满足的数量关系是 ，证明你的结论；（2）如图2，点F 在边AD 的延长线上，则线段FG ，DC ，BD 之间满足的数量关系是 ，证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B 重合，并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M ，N 两点，当FM=2时，求线段NG 的长．图3图2图1BAADD2．（中考几何）如图1，正方形ABCD 中，AC 是对角线，等腰Rt△CMN 中，∠CMN=90°，CM=MN ，点M 在CD 边上，连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE ． （1）若CM=2，AB=6，求AE 的值； （2）求证：2BE=AC+CN ；（3）当等腰Rt△CMN 的点M 落在正方形ABCD 的BC 边上，如图2，连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE ．请探究线段BE 、AC 、CN 的数量关系，并证明你的结论．图2图1BBAN3．（中考几何）已知△ABC 中，点E 为边AB 的中点，将△ABC 沿CE 所在的直线折叠得EC A '∆，AC BF //，交直线C A '于F ．（1）如图1，若∠ACB=90°，∠A=30°，3=BC ，求F A '的长；（2）如图2，若∠ACB 为任意角，已知a F A ='，求BF 的长（用a 表示）； （3）如图3，若∠ACB 为任意角，猜想出AC 、CF 、BF 之间的数量关系： ，并说明理由；（4）如图4，若∠ACB=120°，BF=8，BC=6，则AC 的长为 ．图4图3图2图1FC ABCABC4．（中考几何）如图1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC ，AE=DE ，∠ACB=∠AED=90°，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ． （1）若AD=23，BE=4，求EF 的长； （2）求证：CE=2EF ；（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图2图1AACBBD5．（中考几何）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，连接BF 、CE ，点H 、M 分别为BF 、CE 中点（1）如图1，当正方形DEFG 的边DE 、DG 分别在正方形ABCD 的DA 、DC 边上，猜想MH 、CE 关系，并加以证明；（2）将正方形DEFG 旋转至如图2所示的位置，其它条件不变，结论是否发生变化？请证明你的结论．图2图1BADG6．（中考几何）线段OA 绕点O 逆时针旋得到'AOA ∠，点P 为直线'OA 上一点，点Q 为射线'AA 上一点，连接PQ 、PA 且PQ=PA ．（1）当点P 在线段'OA 上如图1，︒=∠60'AOA 时，求证：OA QA PA =+''； （2）当点P 在A′O 的延长线上如图2，∠AOA′=120°时，线段'PA 、'QA 、OA 之间满足的数量关系为 ．（3）在（2）的条件下，若OA=4，Q 为'AA 的中点时，将射线QP 绕点Q 旋转30°，并与直线PA 交于点M ，求QM 的长．图2图1QAOA7．如图1，在△ABB′和△ACC′中，∠BAB′=∠CAC′=m°，AC=AC′，AB=AB′． （1）不添加辅助线的前提下，请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是： ；旋转角度是 °；（2）线段BC 、B′C′的数量关系是： ；试求出BC 、B′C′所在直线的夹角： ；（3）随着△ACC′绕点A 的旋转，（2）的结论是否依然成立？请从图2、图3中任选一个证明你的结论；（4）利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题：如图4，等边△ABC 外一点D ，且∠BDC=60°，连接AD ，试探索线段AD 、CD 、BD 的数量关系．图4图3图2图1ACB 'AC A8．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ．点P 为AB 边上一点，Q 为BC 边上一点，且∠BPQ=∠APC，过点A 作AD⊥PC，交BC 于点D ，直线AD 分别交直线PC 、PQ 于E 、F ．（1）求证：∠FDQ=∠FQD；（2）把△DFQ 沿DQ 边翻折，点F 刚好落在AB 边上点G ，设PC 分别交GQ 、GD 于M 、N ，试判定MN 与EN 的数量关系，并给予证明．图2图1AABC9．如图1，已知等边△ABC 中，D 为BC 中点，DE∥AC 交AB 于E ，M 是AE 上任意一点（M 不与A ，E 重合），连接DM ，作DN 平分∠MDC 交AC 于N ． （1）求证：ED=DC ； （2）求证：EM+NC=DM ；（3）如图2，作DF⊥AC 于F ，若NF ：FC=3：5，AM=4，连接MN 将∠DMN 沿MN 翻折，翻折后的射线MD 交AC 于P ，连接DP 交MN 于点Q ． ①求△ABC 的边长；②求PQ 的长．图2图1A BA C10．在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠BAC=，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1，当D 为AC 中点时，求tan∠DBE 的值；（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示，求证：BE ﹣DE=2CF ；（3）若BC=3AD=6，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 的中点，则线段CF 长度的最大值为 ．图2图1FFACBABDDEE11．将等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB=2AD=4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P ．（1）如图1，BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD⊥BD 时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．图3图2图1CBBCBD12．四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及的值；（2）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及tan∠ABF 的值．图3图2图1BAAA FFEEGG13．已知等腰Rt△ABC 和等腰Rt△AED 中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如图1，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是 （2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如图2所示，连接BD 和EC ，并连接DB 、EC 的中点M 、N ，则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．图4图3图2图1AACA14．如图，把一块含45°直角三角板的锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合．正方形ABCD 固定不动，让三角板绕点A 旋转．（1）当三角板绕点A 旋转到如图①的位置时，含45°角的两边分别与正方形的边BC 、DC 交于点E 、F ，求证：EF=BE+DF ；（2）当三角板绕点A 旋转到如图2的位置时，含45°角的两边分别与正方形的CB 、DC 两边的延长线交于点E 、F ．试写出EF 、BE 和DF 三条线段满足的数量关系，不必证明．（3）在图1中，当正方形ABCD 的边长为6，EF=5，BE 的长为 ．图2图1DAD15．在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ．BE 与FC 相交于点H ．（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系： ； （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点．求证：MN=；（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： ．图3图2图1HHHDDABCEFA BC ABEMN D16．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ．DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F ． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：BE+CF=AB ；（3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线相交于点F ，作DN⊥AC 于点N ，若DN⊥AC 于点N ，若DN=FN ，求证：BE+CF=（BE ﹣CF ）．图3图2图1BC ABD FE EFCD N E17．如图1，在△ABC 中，AB=AC ，射线BP 从BA 所在位置开始绕点B 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将BP 旋转到图2位置，点D 在射线BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系是 ； （2）当∠BAC=120°时，将BP 旋转到图3位置，点D 在射线BP 上，若∠CDP=60°，求证：BD ﹣CD=AD ；（3）将图3中的BP 继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D 是直线BP 上一点（点P 不在线段BD 上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系（不必证明）．图3图2图1PPACBPDD18．已知，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，作BD⊥AC，垂足为D ，点P 为线段DC 上一动点（不与点D 、C 重合），连接BP ，作AN⊥BP，垂足为N ，设AN 交BD 于点M ．（1）当∠C=45°时（如图1），请证明：CP=BM ； （2）当∠C=30°时（如图2），请直接写出CP 与BM 的数量关系： ； （3）在（2）问的基础上（如图3），连接MC ，设MC 交BP 于点K ，当DP=PC=3时，请求MK 的长度．图3图2图1K MMM ACAPNDDPND PN19．在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，F 为BE 中点，连接CF ，点P 为直线CB 上一点，点Q 在直线AB 上，作∠BFQ=∠PFC （1）当点P 在BC 上时（如图1），若tan∠ABC=，求证：BQ+BP=AC ； （2）当点P 在BC 延长线上时（如图2），tan∠ABC=，直接写出线段BQ 、BP 、AC 之间的数量关系为（3）在（2）的条件下，连接PQ 、连接AP ，BE 的延长线交AP 于点G （如图3），若PQ=BC ，AB=5．求EG 的长．图3图2图1E ACBEFPQB CEFQPB PQGFC20．在菱形ABCD 中，∠A=60°，以D 为顶点作等边三角形DEF ，连接EC ，点N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与CD 交于点M ，连接MN ，CE=3，求MN 的长； （2）如图2，若M 为EF 中点，求证：MN=PN ；（3）如图3，若四边形ABCD 为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以D 为顶点作三角形DEF ，满足DE=DF 且∠EDF=∠ABD，M 、N 、P 仍分别为EF 、EC 、BC 的中点，请探究∠ABD 与∠MNP 的和是否为一个定值，并证明你的结论．图3图2图1PPPA AC21．如图1，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． （1）求证：AC=AD ；（2）点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ．①如图1，若β=α，DG=2AD ，试判断BC 与EG 之间的数量关系，并证明你的结论；②若β=2α，DG=kAD ，请直接写出的值（用含k 的代数式表示）．图2图1DDBGAABEE22．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF∥AD，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ． （1）过D 作DH⊥AB，垂足为H ，若DH=2，BE=AB ，求DG 的长；（2）连接CP ，求证：CP⊥FP；（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE ，点P 为DE 的中点，连接FP 、CP ，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．图2图1BPGPDH EFDAFEBA23．已知：等边△ABC 中，D 是射线AB 上的点，点E 是边AC 上的点，线段DE 交BC 于F ．（1）如图1，若DF=EF ，求证：2CF ﹣CE=AB ；（2）如图2，若EF=DF ，直接写出CF 、CE 、AB 之间的数量关系 ； （3）在②的条件下，连接AF 、BE ，BE 与AF 交于点N ，过点E 作EM⊥AF，垂足为M ，连接BM 、MC ，若FC=6，EC=，求线段MBN tan 的值．图3图2图1FFNFC DC ADBEBEB EM24．已知，△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在直线BC 、AC 上，且CD=AE ，直线AD 、BE 相交于点N ，过点B 作BM⊥AD 于点M ．（1）如图1，当点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，求证：AD ﹣2MN=EN ；（2）如图2，当点D 在CB 延长线上，点E 在AC 延长线上，请直接写出AD 、MN 、EN 的关系；（3）如图2，在（2）的条件下，若NB=ND ，MN=2，AC=43，求△BCE 的面积．图2图1ECBD25．已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=kBC ，直线l 经过点A ，过点C 、B 分别向直线l 作垂线，垂足分别为E 、F ，CE 交AB 于点M ． （1）如图1，若k=1，求证：AE+BF=CE ；（2）如图2，若k=2，则AE 、BF 、CE 之间的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF ，过点A 作AG∥CF，交CE 延长线于点G ，若CF=3，BF=5，求MG 的长．图3图2图1ME MMBCCBCAFE EAFAF26．已知：如图，正方形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，∠MQN=90°，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上，（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：DN+31BM=21BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若MB ：MC=3：1，NQ=59，求EF 的长．图2图1A DMN DM27．（中考几何）已知：梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD 于点E ．DP⊥CB 于点P ，连接AP 、AE ．（1）如图1，若∠C=45°，求证：AE AP 2 ．（2）如图2，若∠C=60°，直接写出线段AP 、AE 的数量关系 ． （3）在（1）的条件下，将线段EA 绕点E 顺时针旋转得到线段'EA ，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA 延长线、线段BC 交于点N 、点K ，已知AD=1，EK=．求线段NE 的长．图3图2图1NA'ECAECAECBABBD28．（中考几何）已知：如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC，∠A=90°，CD=CB=2AD ．点Q 是AB 边中点，点P 在CD 边上运动，以点P 为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN 的两边分别与AB 边、CB 边交于点M 、N ．（1）若点P 与点D 重合，点M 在线段AQ 上，如图（1）．求证：BC CN MQ 413=-．（2）若点P 是CD 中点，点M 在线段BQ 上，如图（2）．线段MQ 、CN 、BC 的数量关系是： ，并证明你的猜想．图2图1Q AQA BM M29．（中考几何）已知：点P 为正方形ABCD 内部一点，且∠BPC=90°，过点P 的直线分别交边AB 、边CD 于点E 、点F ．（1）如图1，当PC=PB 时，则PBE S ∆、PCF S ∆、 BPC S ∆之间的数量关系为 ；（2）如图2，当PC=2PB 时，求证：BPG PCF PBE S S S ∆∆∆=+416；（3）在（2）的条件下，Q 为AD 边上一点，且∠PQF=90°，连接BD ，BD 交QF 于点N ，若80=∆BPC S ，BE=6．求线段DN 的长．图3图2图1FFFBBA A AE EE30．（中考几何）矩形ABCD ，∠ACD=30°，点E 为矩形ABCD 的边BC 上一动点，∠EAD 的平分线交CD 于点F 过点A 作EA 的垂线交CD 的延长线于点G （1）如图1，求证：AG=DF+33BE ； （2）当点E 与点C 重合时，如图2，点H 在GA 的延长线上，连接BH ，点M 为BH 中点，连接FM ，FM=21，连接HC 交AB 于点N ，若935tan =∠BCH ，求HN 的长．图2图1GBBC()E。

2020中考数学复习资料之32条平面几何定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。