分式方程增根无解解的正负性

专题17 辨析分式方程增根与无解 【专题综述】 分式方程的增根与无解是分式方程中的两个重要概念，两者既有区别，又有密切的联系．对于分式方程，当分式中分母的值为零时，分式方程无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值．在分式方程转化为整式方程的变形 中，这种限制被取消了，使原方程中未知数的取值范围扩大了，导致转化后的整式方程的根可能是原方程未知数的允许值范围之外的值，从而产生了不是原方程 的根，即分式方程的增根 ，而分式方程无解有两种情况，其一是变形后的整式方程本身无解；其二是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值为零，即为分式方程的增根．现以含有字母参数的分式方程为例，来阐述如何辨析增根与无解的具体问题．【方法解读】一、 已知分式方程有增根，求字母参数例1 若关于x 的方程211333k x x x x x +-=--有增根，求k 的值． 【举一反三】(江苏省扬州市)若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是( ) A. 4 B. 0或4 C. 0 D. 0或﹣4二、已知分式方程无解，求字母参数例2 若关于x 的方程2312x a x x --=-无解，求a 的值． 【举一反三】(陕西省西安)若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是__________． 三、已知分式方程解的符号，求字母参数例3 当m 为何值时，关于x 的方程()()11212x x m x x x x --=+-+-的解是正数． 【举一反三】（浙江省杭州市）已知关于x 的分式方程的根为正数，则m 的取值范围为（ ） A. B. C. D.四、从分式合并的角度出发，求字母参数例4 若()()412121A a a a a a a -+=+-+-成立，求A 的值． 【举一反三】（人教版八年级上册）已知233x m x x -=--的解为正数，求m 的取值范围. 关于这道题，有位同学作出如下解答：解：去分母得， ()23x x m --=，化简，得6x m -=-，故6x m =-+ .欲使方程的根为正数，必须60m -+> ，得m<6.所以，当m<6时，方程233x m x x -=-- 的解是正数. 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答.【强化训练】1.( 四川省资阳市简阳市 )当k 为何值时，分式方程有增根？ 2.(重庆市荣昌区)若关于x 的分式方程=﹣2的解是非负数，求a 的取值范围． 3.（江苏省苏州市）关于x 的方程122x a x x +=--有增根，则a 的值为__________． 4. （华东师大版）若分式方程1x a a x -=+无解，则a ＝________. 5. （山东省荣成市）若关于x 的分式方程322x a x -=-的解为正数，那么字母a 的取值范围是__________________．6. （山东省昌乐县第三中学）关于x 的方程133x m x x +=--有增根，则m 的值为________． 7. （黑龙江省大庆市）已知关于x 的分式方程211a x x +--=1的解是非负数，则a 的取值范围是_____． 8.（浙江省杭州市） 已知关于x 的分式方程的根为正数，则m 的取值范围为（ ） 9. （重庆市荣昌区）若关于x 的分式方程=﹣2的解是非负数，求a 的取值范围． 10.（山东省济南市）若关于a 的分式方程有增根，则m 的值为__________.。

【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。

今天，给大家带来 2 类典型的问题。

一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。

1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。

换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。

因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。

而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。

由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。

1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。

故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。

这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。

因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。

那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。

一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。

二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。

分式方程无解方程无解：它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，且解为分式方程增根，从而原方程无解． 例1 解方程2344222 x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321 xx x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x ＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程32x x =2m x 无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x =－2m x ．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x ①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x ①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。

3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。

培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。

【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。

跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。

【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。

跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。