最小二乘法曲线拟合原理及matlab实现

1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序例7.2.1 给出一组数据点列入表),(i i y x 7–2中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.表7–2 例7.2.1的一组数据),(y x解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）编写下列MA TLAB 程序计算在)(x f ),(i i y x 处的函数值，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4运行后屏幕显示关于a 1,a 2, a3和a4的线性方程组fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]编写构造误差平方和的MA TLAB 程序>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.5068.04];fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)运行后屏幕显示误差平方和如下J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a 2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2为求使达到4321,,,a a a a J 最小，只需利用极值的必要条件0=∂∂ka J )4,3,2,1(=k ，得到关于的4321,,,a a a a 线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a 4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4);Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),运行后屏幕显示J 分别对a 1, a 2 ,a 3 ,a4的偏导数如下Ja11=56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625Ja21 =32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625Ja31 =1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125Ja41 =23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25解线性方程组Ja11 =0，Ja 21 =0，Ja 31 =0，Ja 41 =0，输入下列程序>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];C=B/A, f=poly2sym(C)运行后屏幕显示拟合函数f 及其系数C 如下C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574f=716503695845759/140737488355328*x^3-7988544102557579/562949953421312*x^2+1804307491277693/281474976710656*x-4648521160813215/562949953421312故所求的拟合曲线为8.25746.410214.19055.0911)(23-+-=x x x x f .（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];n=length(xi);f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;x=-2.5:0.01: 3.6;F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold offlegend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E 1和均方根误差E2及其数据点和),(i i y x 拟合曲线y=f (x )的图形（略）.Ew = E1 = E2 =3.105 4 0.903 4 1.240 97.3 函数的选取)(x r k 及其MATLAB 程序例7.3.1 给出一组实验数据点的),(i i y x 横坐标向量为x =(-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6)，纵横坐标向量为y =(459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22)，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5, -2.7,-3.6];y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.3.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）编写下列MA TLAB 程序计算在)(x f ),(i i y x 处的函数值，即输入程序>> syms a bx=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5,-2.7,-3.6]; fi=a.*exp(-b.*x)运行后屏幕显示关于a 和b 的线性方程组fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b),a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]编写构造误差平方和的MA TLAB 程序如下>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47,12.87, 11.87, 6.69,14.87,24.22];fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)];fy=fi-y;fy2=fy.^2;J=sum(fy.^2)运行后屏幕显示误差平方和如下J =(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*ex p(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2为求使达到b a ,J 最小，只需利用极值的必要条件，得到关于的b a ,线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序>> syms a bJ=(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2;Ja=diff(J,a); Jb=diff(J,b);Ja1=simple(Ja), Jb1=simple(Jb),运行后屏幕显示J 分别对的偏导数b a ,如下Ja1 =2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(27/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87/10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b )-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50*exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*e xp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp (21/5*b)+2*a*exp(27/5*b)Jb1 =1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)^2+8500*a*exp(17/2*b)^2+6800*a*exp(34/5*b)^2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp (18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*ex p(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)^2+5100*a*exp(51/10*b)^2+4500*a*e xp(9/2*b)^2+7200*a*exp(18/5*b)^2+3400*a*exp(17/5*b)^2+2600*a*ex p(13/5*b)^2+2500*a*exp(5/2*b)^2+1500*a*exp(3/2*b)^2+2700*a*exp(27/10*b)^2+8700*a*exp(87/10*b)^2)用解二元非线性方程组的牛顿法的MATLAB 程序求解线性方程组J a1 =0，J b1 =0，得a = b=2.811 0 0.581 6故所求的拟合曲线（7.13）为0811.2)(=x f e x 5816.0-. （7.14）（4）根据（7.2），（7.3），（7.4）和（7.14）式编写下面的MA TLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1 -6.8 -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5-2.1 -1.5 -2.7 -3.6];y=[459.26 52.81 198.27 165.60 59.17 41.66 25.92 22.3713.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];n=length(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*'), hold on plot(x,F,'b-'), hold off,legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.3.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w = 390.141 5，平均误差E 1=36.942 2和均方根误差E 2=106.031 7及其数据点和拟合曲),(i i y x 线y =f (x )的图形（略）.7.4 多项式拟合及其MATLAB 程序例7.4.1 给出一组数据点列入表),(i i y x 7–3中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.表7–3 例7.4.1的一组数据),(y x解 （1）首先根据表7–3给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图. 在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.1219.88];plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.4.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MAT LAB 程序求待定系数k a )3,2,1(=k .输入程序>> a=polyfit(x,y,2)运行后输出（7.16）式的系数a =2.8302 -7.3721 9.1382故拟合多项式为2138.91372.72830.2)(2+-=x x x f .（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88];n=length(xi); f=2.8302.*xi.^2-7.3721.*xi+9.1382x=-2.9:0.001:3.6;F=2.8302.*x.^2-7.3721.*x+8.79;fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*', x,F,'b-'),legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.4.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E 1和均方根误差E2及其数据点(x i ,y i )和拟合曲线y =f (x )的图形（略）.Ew = E1 = E2 =0.745 7, 0.389 2, 0.436 37.5 拟合曲线的线性变换及其MATLAB 程序例7.5.1 给出一组实验数据点的),(i i y x 横坐标向量为x =（7.5 6.8 5.10 4.53.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7 3.6），纵横坐标向量为y =（359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22），试用线性变换和线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.解 （1）首先根据给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图.在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.5.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（2）根据数据散点图，取拟合曲线为a y =e bx )0,0(≠>b a , （7.19）其中是待定b a ,系数.令b B a A y Y ===,ln ,ln ，则（7.19）化为Bx A Y +=.在MATL AB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'), xlabel('x'),ylabel('y')legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')title('例7.5.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)运行后屏幕显示e 的系a y =bx 数b =0.624 1，a =2.703 9,数据与拟合),(i i y x 函数f 的最大误差Ew =67.641 9，平均误差E 1=8.677 6和均方根误差E 2=20.711 3及其数据点和拟合曲),(i i y x 线e 的图形9703.2)(=x f x 1624.0（略）.7.6 函数逼近及其MATLAB 程序最佳均方逼近的MATLAB 主程序function [yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx)m=size(f);n=length(X);m=m(1);b=zeros(m,m); c=zeros(m,1);if n~=length(Y)error('X 和Y 的维数应该相同')endfor j=1:mfor k=1:mb(j,k)=0;for i=1:nb(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));endendc(j)=0;for i=1:nc(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);endenda=b\c;WE=0;for i=1:nff=0;for j=1:mff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));endWE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);endif nargin==3return ;endyy=[];for i=1:ml=[];for j=1:length(xx)l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];endyy=[yy l'];endyy=yy*a; yy1=yy'; a=a';WE;例7.6.1 对数据X 和Y , 用函数进行2,,1x y x y y ===逼近，用所得到的逼近函数计算在处的函 6.5=x 数值，并估计误差.其中X =(1 3 4 5 6 7 8 9); Y =(-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29).解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> X=[ 1 3 4 5 6 7 8 9]; Y=[-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29];f=['fun0';'fun1';'fun2']; [yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)运行后屏幕显示如下yy =2.75000000000003a =-7.00000000000010 -4.99999999999995 1.00000000000000WE =7.172323350269439e-027例7.6.2 对数据X 和Y ，用函数2,,1x y x y y ===，x y cos =，=y e x，x y sin =进行逼近，其中X =（0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00），Y =（0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645）.解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> X=[ 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00];Y=[0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645];f=['fun0';'fun1';'fun2';'fun3';'fun4';'fun5'];xx=0:0.2:3;[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx), plot(X,Y,'ro',xx,yy,'b-')运行后屏幕显示如下（图略）yy = Columns 1 through 7-0.0005 0.2037 0.3939 0.5656 0.7141 0.8348 0.9236Columns 8 through 140.9771 0.9926 0.9691 0.9069 0.8080 0.6766 0.5191Columns 15 through 160.3444 0.1642a = 0.3828 0.4070 -0.3901 0.0765 -0.4598 0.5653 WE = 1.5769e-004即，最佳逼近函数为y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x^2+0.0765*exp(x) -0.4598*cos(x) +0.5653*sin(x). 7.7 三角多项式逼近及其MATLAB 程序计算三角多项式的MATLAB 主程序function [A,B,Y1,Rm]=sanjiao(X,Y,X1,m)n= length(X)-1;max1=fix((n-1)/2);if m > max1m=max1;endA=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);Ym=(Y(1)+Y(n+1))/2; Y(1)=Ym; Y(n+1)=Ym; A(1)=2*sum(Y)/n;for i=1:mB(i+1)=sin(i*X)*Y'; A(i+1)=cos(i*X)*Y';endA=2*A/n; B=2*B/n; A(1)=A(1)/2;Y1=A(1);for k=1:mY1=Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+ B(k+1)*sin(k*X1);Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+ B(k+1).*sin(k*X); k=k+1;endY;Tm; Rm=(sum(Y-Tm).^2)/n;例7.7.1 根据上的个],[ππ-350,60,13=n 等距横坐标点ni x i π+π-=2 ),,2,1,0(n i =和函数3sin 2)(x x f =. （1）求的6阶三)(x f 角多项式逼近，计算均方误差;（2）将这三个三角多项式分别与的傅里)(x f 叶级数nx n n x f n n sin 19)1(318)(121∑∞=+--π= 的前6项进行比较;（3）利用三角多项式分别计算X i = -2, 2.5的值;（4）在同一坐标系中，画出函数)(x f ，350,60,13=n 的三角多项式和数据点的图形.解 （1）输入程序>> X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);X1i=[-2,2.5];[A1,B1,Y11,Rm1]=sanjiao(X1,Y1,X1i,6),X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*sin(X2/3);[A2,B2,Y12,Rm2]=sanjiao(X2,Y2,X1i,6)X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);[A3,B3,Y13,Rm3]=sanjiao(X3,Y3,X1i,6)X1i=[-2,2.5];Y1=2*sin(X1i/3)for n=1:6bi=(-1)^(n+1)*18*sqrt(3)*n/(pi*(9*n^2-1))end（2）画图，输入程序>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);Xi=-pi:0.001:pi; f=2*sin(Xi/3);[A1,B1,Y1i,R1m]=sanjiao(X1,Y1,Xi,6);X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*sin(X2/3); X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);[A2,B2,Y2i,R2m]=sanjiao(X2,Y2,Xi,6);[A3,B3,Y3i,R3m]=sanjiao(X3,Y3,Xi,6);plot(X1,Y1,'r*', Xi, Y1i,'b-',Xi, Y2i,'g--', Xi, Y3i, 'm:',Xi, f, 'k-.')xlabel('x'),ylabel('y')legend('数据点(xi,yi)','n=13的三角多项式','n=60的三角多项式','n=350的三角多项式','函数f(x)')title('例7.7.1 的数据点(xi,yi)、n=13，60，350的三角多项式T3和函数f(x)的图形')运行后图形（略）.7.8 随机数据点上的二元拟合及其MATLAB 程序例7.8.1 设节点(X,Y,Z )中的X 和Y 分别是在区间和上的5]3,3[-]5.3,5.2[-0个随机数，Z 是函数Z =7-3x3e 在22y - -x (X,Y )的值，拟合点(X I ,Y I )中的X I =-3:0.2:3, Y I =-2.5:0.2:3.5.分别用二元拟合方法中最近邻内插法、三角基线性内插法、三角基三次内插法和MATLAB 4网格化坐标方法计算在(X I ,Y I )处的值，作出它们的图形，并与被拟和曲面进行比较.解 （1）最近邻内插法.输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成的随机变量.Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z的值.X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'nearest') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('用最近邻内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')hold on %在当前图形上添加新图形.plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.运行后屏幕显示用最近邻内插法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面及其插值Z I （略）.（2）三角基线性内插法.输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z的值.X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'linear') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('用三角基线性内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')hold on %在当前图形上添加新图形.plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.运行后屏幕显示用三角基线性内插法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值Z I （略）.（3）三角基三次内插法.输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z的值.X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'cubic') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('用三角基三次内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')hold on %在当前图形上添加新图形.plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.运行后屏幕显示用三角基三次内插法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值Z I （略）.（4）MATLAB 4网格化坐标方法.输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z的值.X1=-3:0.2:3; Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'v4') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('用MATL AB 4网格化坐标方法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')hold on %在当前图形上添加新图形.plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.运行后屏幕显示用MA TLAB 4网格化坐标方法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值ZI （略）.（5）作被拟合曲面Z =7-3x3e 和22y - -x 节点的图形.输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成随机变量.Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z的值.X1=-3.:0.1:3.;Y1=-2.5:0.1:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.ZI=7-3* XI.^3 .* exp(-XI.^2 - YI.^2);mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('被拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')%legend('被拟合函数曲面','节点(xi,yi,zi)')hold on %在当前图形上添加新图形.plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.运行后屏幕显示被拟合函数Z =7-3x3e 的22y - -x 曲面和节点的图形及其函数值ZI （略）.7.9 随机数据点上的元拟合n 及其MATLAB 程序例7.9.1 首先利用M ATLAB 函数ran d 产生随机数据X 1,Y 1,Z 1,然后用线性变换b at u += (其中5,5-==b a )将随机数据X 1,Y 1 ,Z 1 变换为节点坐标(X,Y,Z ),再用函数e )1(373+-=z y x w 222z y x ---生成数据W, 用三元最近邻内插法方法计算函数w 在插值点x i ,10:5.0:3-= y i ,13:5.0:2-=z i =y i 处拟合数据的值，并作其图形.解 输入程序>> X1=-5+5*rand(10,1);Y1=-5+5*rand(10,1);Z1=Y1;[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);W=7-3* X.^3 .* Y.*(Z+1).* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2);xi=-3:0.5:10;yi=-2:0.5:13;zi=yi;[XI,YI,ZI] = meshgrid(xi,yi,zi);W1=griddata3(X, Y, Z, W, XI, YI, ZI, 'nearest');slice(XI,YI,ZI,W1,[-2 4 9.5],9,[-2 2 9]),%shading flat%lighting flatxlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('被拟合函数W=7-3X^3Y(Z+1)exp(-X^2 - Y^2- Z^2) ');hold oncolorbar('horiz')view([-30 45])运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形（略）.例7.9.2 设节点(X,Y,Z,W )中的X,Y 和Z 分别是在区间和]3,3[-]5.3,5.2[-,Y =Z 上的15个随机数，W 是函数e x w +=2222z y x ---在(X,Y,Z )的值，拟合点(x i ,y i ,z i )中的x i =-3:0.2:3， y i =-2.5:0.2:3.5，z i =y i ， 用'linear '方法计算拟合数据的值，并作其图形.解 输入程序>> x=rand(15,1); y=rand(15,1);X1=-3+(3-(-3))*x;Y1=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z1=Y1;[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);W=2+X.* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2);xi=-3:0.2:3; yi=-2.5:0.2:3.5; zi=yi;[X2,Y2,Z2]=meshgrid(xi,yi,zi);W1=griddata3(X, Y, Z, W, X2,Y2,Z2,'linear');slice(X2,Y2,Z2,W1,[-1 0 1.5],2,[-2 3]),shading flat,lighting flat,xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),title('被拟合函数W=2+X exp(-X^2 - Y^2- Z^2)');hold on,colorbar('horiz'), view([-3 5])运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形（略）.。

最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种数值计算方法，用于拟合曲线，求解未知参数的值。

它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。

本文将介绍最小二乘法在Matlab中的实现原理及程序编写。

一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种数值计算方法，它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。

最小二乘法的基本原理是：给定一组数据点，用直线拟合这组数据点，使得拟合直线与这组数据点的误差的平方和最小。

具体地说，假设有一组数据点，其中每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。

拟合这组数据点的直线通常用一元线性函数表示，即y=ax+b，其中a和b是未知参数。

最小二乘法的思想是：求出使误差的平方和最小的a和b，即求出最优解。

二、Matlab程序编写1. 准备工作首先，我们需要准备一组数据点，每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。

例如，我们可以准备一组数据点：x=[1,2,3,4,5];y=[2,4,6,8,10];2. 程序编写接下来，我们就可以开始编写Matlab程序了。

首先，我们需要定义一个一元线性函数，用于拟合这组数据点。

函数的形式为：y=ax+b，其中a和b是未知参数。

%定义函数f=@(a,b,x)a*x+b;然后，我们需要定义一个误差函数，用于计算拟合直线与这组数据点的误差的平方和。

%定义误差函数error=@(a,b)sum((y-f(a,b,x)).^2);最后，我们就可以使用Matlab提供的fminsearch函数，求解最小二乘误差的最优解，即求出最优a和b的值。

%求解最优解[a,b]=fminsearch(error,[1,1]);经过上面的程序编写，我们就可以求得未知参数a和b的最优值。

matlab最⼩⼆乘法数据拟合函数详解定义：最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。

它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。

利⽤最⼩⼆乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。

最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。

其他⼀些优化问题也可通过最⼩化能量或最⼤化熵⽤最⼩⼆乘法来表达。

最⼩⼆乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到⼀系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直⾓坐标系中，若发现这些点在⼀条直线附近，可以令这条直线⽅程如（式1-1）。

Yj= a0 + a1 X （式1-1)，其中：a0、a1 是任意实数。

matlab中⽤最⼩⼆乘拟合的常⽤函数有polyfit（多项式拟合）、nlinfit（⾮线性拟合）以及regress（多元线性回归）。

⾃变量有2个或以上时，应变量⼀个，可以使⽤的有nlinfit和regress，线性时⽤regress，⾮线性时⽤nlinfit。

对于进阶matlab使⽤者还有更多的选择，如拟合⼯具箱、fit函数、interp系列插值拟合等等。

MATLAB中关于最⼩⼆乘法的函数主要有：help polyfit -- POLYFIT Fit polynomial to data.help lsqcurvefit -- LSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.help lsqnonlin -- LSQNONLIN solves non-linear least squares problems.help nlinfit -- NLINFIT Nonlinear least-squares regression.help regress -- REGRESS Multiple linear regression using least squares.help meshgrid -- MESHGRID X and Y arrays for 3-D plots.本⽂主要讲解的函数：polyfit，lsqcurvefit，lsqnonlin，regress1.多项式曲线拟合:polyfit1.1 常见拟合曲线直线： y=a0X+a1多项式：，⼀般次数不易过⾼2，3双曲线： y=a0/x+a1指数曲线： y=a*e^b1.2 matlab中函数P=polyfit(x,y,n)[P S mu]=polyfit(x,y,n)polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表⽰横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从⾼到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平⽅和，mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。

matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。

在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。

【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。

在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。

1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。

2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。

误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。

3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。

通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。

二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。

1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。

可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。

2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。

一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。

3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。

polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。

在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。

4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。